Программа-минимум вступительного экзамена в аспирантуру по специальности



Дата19.05.2015
Размер55.7 Kb.
ТипПрограмма-минимум

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Иркутский государcтвенный университет

П Р О Г Р А М М А

вступительного экзамена в аспирантуру по специальности

01.01.06 “Математическая логика, алгебра и теория чисел”

УТВЕРЖДЕНА


на заседании Ученого совета

Института математики и экономики

(протокол № 2 от 22.10.2004 г.)

Председатель Ученого совета

_______________Срочко В.А.

Иркутск – 2004

ПРОГРАММА-МИНИМУМ

вступительного экзамена в аспирантуру по специальности



01.01.06 “Математическая логика, алгебра и теория чисел”

по физико-математическим наукам



Введение

В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: математическая логика; алгебра; теория чисел.

Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по математике и механике при участии Математического института им. В.А. Стеклова РАН и Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

1. Математическая логика и теория алгоритмов

Понятие алгоритма и его уточнения. Вычислимость по Тьюрингу, частично рекурсивные функции, рекурсивно перечислимые и рекурсивные множества. Тезис Чёрча.

Универсальные вычислимые функции. Существование перечислимого неразрешимого множества. Алгоритмические проблемы.

Построение полугруппы с неразрешимой проблемой распознавания равенства.

Классы P и NP. Полиномиальная сводимость и NP-полные задачи. Теорема об NP-полноте задачи ВЫПОЛНИМОСТЬ.

Логика высказываний. Представимость булевых функций формулами логики высказываний. Конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные формы.

Исчисление высказываний. Полнота и непротиворечивость.

Логика предикатов. Приведение формул логики предикатов к предварённой нормальной форме.

Исчисление предикатов. Непротиворечивость. Теорема о дедукции.

* Полнота исчисления предикатов. Теорема Мальцева о компактности.

*Элементарные теории классов алгебраических систем. Категоричные в данной мощности теории. Теорема о полноте теории, не имеющей конечных моделей и категоричной в бесконечной мощности.

Разрешимые теории. Теория плотного линейного порядка.

Формальная арифметика. Теорема о представимости вычислимых функций в формальной арифметике (без доказательства).

*Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики. Теорема Тарского о невыразимости арифметической истинности в арифметике.

*Неразрешимость алгоритмической проблемы выводимости для арифметики и логики предикатов.

*Аксиоматическая теория множеств. Порядковые числа, принцип трансфинитной индукции. Аксиома выбора.



2. Алгебра

Теоремы Силова.

Простота группы An , n ? 5 и SO3.

Теорема о конечно порожденных модулях над евклидовым кольцом и ее следствия для групп и линейных операторов.

Свободные группы и определяющие соотношения.

Алгебраические расширения полей. Теорема о примитивном элементе. Поле разложения многочлена. Основная теорема теории Галуа.

Конечные поля, их подполя и автоморфизмы.

Радикал кольца. Структурная теорема о полупростых кольцах с условием минимальности.

Группа Брауэра. Теорема Фробениуса.

Нетеровы кольца и модули. Теорема Гильберта о базисе.

Алгебры Ли. Простые и разрешимые алгебры. Теорема Ли о разрешимых алгебрах. Теорема Биркгофа-Витта.

*Основы теории представлений. Теорема Машке. Одномерные представления. Соотношения ортогональности.

*Алгебраические системы. Свободные алгебры. Многообразие алгебр. Теорема Биркгофа.

*Решетки. Дедекиндовы решетки. Теорема Стоуна о булевых алгебрах.



3. Теория чисел

Квадратичный закон взаимности.

Первообразные корни и индексы.

Неравенства Чебышева для функции ?(x).

Дзета-функция Римана. Асимптотический закон распределения простых чисел.

Характеры и L-функции. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

Тригонометрические суммы. Модуль гауссовой суммы. Полные тригонометрические суммы и число решений сравнений.

*Критерий Вейля равномерного распределения. Теорема Вейля о последовательности значений многочлена.

Модулярная группа и модулярные функции. Теорема о строении алгебры модулярных форм.

Представление целых чисел унимодулярными квадратичными формами.

Приближение вещественных чисел рациональными дробями. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными дробями. Примеры трансцендентных чисел.

Трансцендентность чисел е и ?.



Основная литература

  1. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982.

  2. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. 2-е изд. М.: Наука, 1987.

  3. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. 2-е изд. М.: Наука, 1986.

  4. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. 3-е изд. М.: Наука, 1984.

  5. Новиков П.С. Элементы математической логики. 2-е изд. М.: Наука, 1973.

  6. Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. М.: Наука, 1980.

  7. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

  8. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. 3. Основные структуры алгебры. М.: Физматлит, 2000.

  9. Винберг Э.Б. М. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2001.

  10. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983.

  11. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

  12. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

  13. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.

  14. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

  15. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.

  16. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел. М.: Изд-во МГУ, 1995.

  17. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

  18. Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука, 1985.

  19. Коробков Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.

  20. Серр Ж.П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.

  21. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974.

Похожие:

Программа-минимум вступительного экзамена в аспирантуру по специальности iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру
Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 10. 01. 01 «Русская литература» / сост. В. В. Агеносов, Л. Г. Кихней,...
Программа-минимум вступительного экзамена в аспирантуру по специальности iconПрограмма вступительного экзамена по специальности
Программа вступительного экзамена в аспирантуру Московской государственной академии хореографии по специальности 17. 00. 01 – «Театральное...
Программа-минимум вступительного экзамена в аспирантуру по специальности iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру по специальности по направлению подготовки 50. 06. 01 Искусствоведение
Вступительный экзамен в аспирантуру по указанной специальности включает фундаментальные теоретически значимые вопросы по базовым...
Программа-минимум вступительного экзамена в аспирантуру по специальности iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру Направление подготовки
Программа предназначена для лиц, поступающих в аспирантуру по специальности 13. 00. 02 теория и методика обучения и воспитания (математика)....
Программа-минимум вступительного экзамена в аспирантуру по специальности iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру
Цель и задачи программы: проверить знания поступающих в аспирантуру по дисциплине «Физическая география» согласно стандарту высшего...
Программа-минимум вступительного экзамена в аспирантуру по специальности iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру по философии Специальности
Вступительный экзамен в аспирантуру Санкт-Петербургского Института внешнеэкономических связей экономики и права по курсу «Философия»...
Программа-минимум вступительного экзамена в аспирантуру по специальности iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 01. 01. 09
Основные теоремы дифференциального исчисления
Программа-минимум вступительного экзамена в аспирантуру по специальности iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру Направление подготовки 01. 06. 01 Математика и механика Специальность
Программа предназначена для поступающих в аспирантуру по специальности 01. 01. 06 математическая логика, алгебра, теория чисел. В...
Программа-минимум вступительного экзамена в аспирантуру по специальности iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 08. 00. 13 «Математические и инструментальные методы экономики»
Понятие множества. Способы задания множеств. Операции над множествами и их свойства
Программа-минимум вступительного экзамена в аспирантуру по специальности iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру фгбоу впо «рэу им. Г. В. Плеханова»
Программа вступительного экзамена в аспирантуру фгбоу впо «рэу им. Г. В. Плеханова» составлена в соответствии с федеральными государственными...
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com