Алгебра и теория чисел



страница1/3
Дата22.05.2015
Размер0.51 Mb.
ТипКурсовой проект
  1   2   3



Учреждение образования

«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

УО «ГГУ им. Ф. Скорины»
________________ И.В. Семченко

(подпись)

____________________

(дата утверждения)

Регистрационный № УД-____________/р.

АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Учебная программа для специальности

1- 31 03 01-02 Математика

(научно-педагогическая деятельность)


Факультет математический




Кафедра алгебры и геометрии




Курс (курсы) 1-2


Семестр (семестры) 1-3

Лекции 152 часа Экзамен 1,2,3 семестры

Практические

занятия 50 часов Зачет 1 семестр
Лабораторные

занятия 102 часа Курсовой проект (работа) нет




Всего аудиторных


часов по дисциплине 304 часов

Всего часов Форма получения


по дисциплине 598 часов высшего образования дневная

Составили: Л.А. Шеметков, д.ф.-м. н., профессор; А.Н. Скиба, д.ф.-м. н., профессор; А.В. Бузланов к.ф.-м.н., доцент.

2010

Учебная программа составлена на основе типовой учебной программы для высших учебных заведений по специальности 1-31 03 01 «Математика (по направлениям)», утвержденной 29 декабря 2008г., регистрационный номер ТД – G 161 / тип.



Рассмотрена и рекомендована к утверждению в качестве рабочего варианта
на заседании кафедры алгебры и геометрии
___ __________ 20__ г., протокол № __
Заведующий кафедрой

_________________ Л.А. Шеметков


Одобрена и рекомендована к утверждению
Методическим советом математического факультета
___ __________ 20__ г., протокол № __

Председатель


__________________ В.М.Селькин

Пояснительная записка

Дисциплина «Алгебра и теория чисел» входит в число тех дисциплин, которые образуют фундамент, на котором строится всё здание современной математической науки.

Целью дисциплины обязательного компонента является овладение студентами основами теории чисел и основными алгебраическими структурами.

Задачами дисциплины являются:

– ознакомление студентов с теоретическими и научно-прикладными исследованиям в области алгебры;

– усвоение основных понятий и фактов разделов алгебры и теории чисел;

– овладение основными методами решения алгебраических задач;

– формирование умений и навыков применения полученных знаний в практической деятельности.

Материал дисциплины обязательного компонента является базой последующего усвоения материала таких дисциплин, как «Дифференцированная геометрия», «Математический анализ» и др.

Дисциплина обязательного компонента «Алгебра и теория чисел» изучается студентами 1,2 курсов специальности 1-31 03 01 02 «Математика(научно-педагогическая деятельность) в объёме 306 часов учебных занятий (из них 154 часа лекционных, 50 часов практических и 102 часа лабораторных занятий).

Общее количество часов – 598; аудиторное количество часов — 304, из них: лекции — 152, лабораторные занятия — 102, практические занятия — 50. Форма отчётности — зачет (1 семестр) и экзамен (1,2,3 сем.)


Содержание учебного материала



Раздел 1 Основы алгебры

Тема 1 Основные алгебраические структуры

Бинарная алгебраическая операция на множестве, её свойства. Алгебраическая структура. Полугруппа. Группа. Аддитивная и мультипликативная группы. Примеры групп. Кольцо и его простейшие свойства. Примеры колец. Поле и его простейшие свойства. Характеристика поля. Примеры полей.


Тема 2 Основы теории чисел

Делимость целых чисел. Свойства делимости. Теорема о делении с остатком. НОД и НОК целых чисел. Алгоритм Евклида и нахождения НОД двух целых чисел с его помощью. Линейное выражение НОД двух целых чисел через исходные числа. Связь НОД и НОК двух целых чисел. Взаимно простые числа и их свойства. Простые числа и их свойства. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение числа. Нахождение НОД и НОК целых чисел с помощью канонических разложений. Сравнение и их свойства. Кольцо классов вычетов. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.



Тема 3 Комплексные числа

Построения поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Тригонометрическая форма комплексного числа. Изображение комплексных чисел. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа. Группа корней из единицы.



Тема 4 Матрицы и определители

Определение матрицы. Действия над матрицами. Полное матричное кольцо. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатая матрица. Перестановки. Симметрическая группа степени n. Циклы, транспозиции. Знак перестановки и способы его вычисления. Знак произведения перестановок. Знакопеременная группа степени n. Определители и их свойства. Определитель произведения матриц. Миноры и алгебраические дополнения. Обратная матрица, критерий её существования. Способы вычисления обратной матрицы. Ранг матрицы и его вычисление. Группа невырожденных матриц.


Тема 5 Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений: основные понятия. Матричная запись системами уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Крамеровская система. Правило Крамера. Матричный метод решения крамеровских систем. Критерий совместности системы линейных уравнений. Однородные системы. Условия существования ненулевых решений однородной системы линейных уравнений.


Тема 6 Многочлены от одной переменной

Построение кольца многочленов. Делимость многочленов. Свойства делимости. Теорема о делении с остатком. НОД двух многочленов. Алгоритм Евклида и нахождение НОД двух многочленов с его помощью. Линейное выражение НОД двух многочленов через исходные многочлены. Взаимно простые многочлены и их свойства. Неприводимые многочлены и их свойства. Корни многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера. Кратные корни многочлена и их связь со значениями производной многочлена. Формулы Виета. Разложение многочлена на неприводимые множители над полями комплексных и действительных чисел.


Тема 7 Интерполяция и рациональные дроби

Интерполяция и её задачи. Интерполяционная формула Лагранжа. Поле рациональных дробей. Кольцо правильных рациональных дробей. Простейшая рациональная дробь над полем. Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей.



Раздел 2 Линейная алгебра
Тема 1 Основные типы векторных пространств

Определение векторного пространства. Простейшие свойства векторных пространств. Примеры векторных пространств. Действительные векторные пространства. Комплексные векторные пространства. Векторные пространства


V1 V 2 и V3. Векторные пространства С [a, b]. Векторные пространства R(x). Векторные пространства Rn(x). Векторные пространства M (n, P). Векторные пространства Pn. Понятие изоморфизма векторных пространств.
Тема 2 Базис векторного пространства

Понятие системы образующих векторного пространства. Примеры образующих векторного пространства. Системы образующих в V1, V 2 и V3. Системы образующих в С [a, b]. Системы образующих в R(x). Системы образующих в Rn(x). Системы образующих в M (n, P). Системы образующих в Pn. Основные свойства образующих векторных пространств. Основные теоремы о линейной зависимости систем векторов. Понятия базиса векторного пространства. Базис пространство V1 V 2 и V3. Базис пространство С [a, b]. Базис пространство R(x). Базис пространство Rn(x). Базис пространство M (n, P). Базис пространство Pn. Теоремы о базисах векторных пространств. Координаты вектора в заданном базисе. Понятие размерности векторного пространства. Изоморфизм векторных пространств одинаковой конечной размерности. Линейная комбинация векторов. Понятие линейной зависимости векторов.
Тема 3 Понятие подпространства векторного пространства

Линейная оболочка. Ранг системы векторов. Понятия подпространства. Основные примеры подпространств. Пространство Rn(x) как пространство R(x). Пространство R(x) как пространство С [a, b]. Теорема о размерности суммы двух подпространств. Пересечение подпространств. Сумма подпространств. Прямая сумма пространств. Размерность прямой суммы двух векторных пространств. Теорема о прямых суммах пространств.


Тема 4 Общие свойства линейных отображений векторных пространств

Понятие линейного отображения. Основные типы линейных отображений векторных пространств. Тождественное линейное отображение. Нулевое линейное отображение. Гомотетия как линейное отображение. Основные свойства линейных отображений. Матрица линейного отображения. Ядро и образ линейного отображения. Действия с линейными отображениями. Операции дифференцирования. Сумма двух линейных отображений. Произведение двух линейных отображений. Умножение линейного отображения на скаляр. Алгебра линейных отображений.


Тема 5 Линейные операторы

Связь между линейными операторами и их матрицами. Ранг линейного оператора. Дефект линейного оператора. Понятие обратного отображения. Примеры обратных отображений. Группы линейных обратных отображений. Изоморфизм векторных пространств End (V) и M (n, P). Условия существования обратного отображения. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона-Кэли. Жорданова клетка. Корневые подпространства. Разложение в прямую сумму. Теорема о жордановой нормальной форме линейного оператора. Единственность жордановой нормальной формы. Необходимое и достаточное условие диагонализируемости матрицы. Алгоритм нахождения Жордановой нормальной формы матриц. Жорданова нормальная форма над полем нормальных чисел. Теорема о Жордановых нормальных формах матриц.


Тема 6 Евклидовы и унитарные векторные пространства

Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации. Ортогональные и унитарные матрицы. Изоморфизм унитарных пространств одинаковой размерности. Соответствие между билинейными формами и линейными операторами. Линейный оператор, сопряженный к данному. Ортогональные и унитарные линейные операторы. Теоремы о существовании собственного ортонормированного базиса. Понятие скалярного произведения в действительных векторных пространствах. Основные свойства скалярного произведения векторов. Понятия Евклидова пространства. Примеры Евклидовых пространств. Понятие изоморфизма Евклидовых пространств. Евклидово пространство Rn(x). Евклидово пространство С [a, b]. Евклидово пространство M (n, R). Евклидово пространство Rn. Евклидово пространство V1 V 2 и V3. Теорема об изоморфизме конечномерных Евклидовых пространств.


Тема 7 Квадратичные и билинейные формы

Понятие квадратичной формы. Стандартная форма задания квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Единственность записи квадратичной формы в стандартном виде. Примеры квадратичных форм. Способы задания квадратичных форм. Канонический вид квадратичных форм. Приведение квадратичной формы к нормальному виду. Понятие эквивалентности для квадратичных форм. Основные свойства эквивалентных квадратичных форм. Индекс инерции квадратичных форм. Положительный индекс инерции квадратичных форм. Закон инерции квадратичных форм. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Основные типы билинейных симметрических форм. Нормальный вид действительной билинейной формы. Линейное однородное преобразование переменных. Матрица линейного однородного преобразования переменных. Действие с линейными однородными преобразованиями переменных. Невырождённое линейное однородное преобразование переменных.


Раздел 3 Группы и кольца
Тема 1 Простейшие свойства группы Подгруппа

Простые следствия из определения группы. Мультипликативная и аддитивная группа. Порядок элемента. Типы групп: конечная, бесконечная, абелева, периодическая, без кручения. Примеры. Подгруппа, тривиальные подгруппы. Критерий для подгрупп. Пересечение подгрупп. Порождающее множество. Теорема о порождающем элементе циклической группы. Примеры (группа корней из единицы, аддитивная группа целых чисел). Цикличность подгрупп у циклических групп. Изоморфизм – отношение эквивалентности. Изоморфизм циклических групп. Произведение частей группы. Теорема Кэли и следствие о счетности множества конечных групп. Смежные классы и индексы. Теорема Лагранжа. Теорема о существовании подгрупп у циклических групп.


Тема 2 Нормальность Гомоморфизмы

Сопряженность и нормальность. Подгруппа, порожденная нормальным множеством. Пересечение нормальных подгрупп. Подгруппа индекса 2. Понятие простой группы. Простые абелевы группы. Формулировка теоремы Фейта-Томпсона о группах нечетного порядка. Факторгруппа. Гомоморфизмы. Три теоремы о гомоморфизмах. Внешнее и внутреннее прямое произведение и связь между ними. Произведение подгрупп: порядок и критерий. Тождество Дедекинда. Теорема Коши. Силовские подгруппы (определение). Дополняемость циклических подгрупп у конечной абелевой группы. Фундаментальная теорема о конечных абелевых группах. Теорема Ремака-Шмидта (без доказательства).


Тема 3 Простейшие свойства колец Подкольцо

Определение кольца и простейшие следствия. Примеры колец. Подкольцо. Пересечение подколец. Критерий для подкольца. Сумма и произведение частей кольца. Идеалы и действия над ними. Структура главных идеалов.


Тема 4 Гомоморфизмы колец

Типы гомоморфизмов колец. Кольцо эндоморфизмов абелевой группы. Вложение кольца в кольцо с единицей. Изоморфизм кольца с подкольцом кольца эндоморфизмов абелевой группы. Фактор-кольцо и теоремы о гомоморфизмах колец. Поле частных коммутативного кольца.


Тема 5 Теория делимости в кольцах

Делимость элементов. Группа обратимых элементов кольца. Кольцо целых чисел – кольцо главных идеалов. Наибольший общий делитель двух элементов в целостном кольце и кольце главных идеалов. Простые элементы целостного кольца. Факториальность кольца главных идеалов. Теорема о факториальности кольца многочленов над факториальным кольцом. Примеры факториальных колец многочленов, не являющихся кольцами главных идеалов. Простые идеалы коммутативного кольца с единицей. Теорема о максимальном идеале коммутативного кольца с единицей.

Приложения к теории чисел. Теоремы Вильсона, Ферма, Эйлера.
Раздел 4 Многочлены от нескольких переменных
Тема 1 Многочлены с рациональными коэффициентами

Целые и рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Критерий Эйзенштейна.


Тема 2 Кольцо многочленов от нескольких переменных

Определение и основные примеры многочленов от нескольких переменных. Теорема об однозначности задания многочленов в нормальной форме. Действия с многочленами от нескольких переменных. Построение кольца многочленов от нескольких переменных. Однородные многочлены. Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Применение симметрических многочленов при решении систем уравнений. Связь элементарных симметрических многочленов с формулами Виета.


Раздел 5 Расширения полей
Тема 1 Простые алгебраические расширения

Классификация расширений полей. Конечное расширение поля. Алгебраически порожденное расширение поля. Составное алгебраическое расширение поля. Теорема об алгебраичности конечного расширения поля. Понятие алгебраического и трансцендентного числа. Поле алгебраических чисел.



  1   2   3

Похожие:

Алгебра и теория чисел iconПрограмма-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» по физико-математическим наукам
В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: математическая логика; алгебра; теория чисел
Алгебра и теория чисел iconРабочая программа для студентов очной формы обучения направление 010100. 62 «математика», профили подготовки: «Алгебра, теория чисел, математическая логика»
Математика, профили подготовки: «Алгебра, теория чисел, математическая логика»; «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»;...
Алгебра и теория чисел iconПрограмма-минимум вступительного экзамена в аспирантуру по специальности
В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: математическая логика; алгебра; теория чисел
Алгебра и теория чисел iconПрограмма вступительного экзамена по специальности научных работников 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел»
Существование ортонормированного базиса, в котором матрица нормального оператора диагональна
Алгебра и теория чисел iconОсновные математические понятия и факты. Арифметика и алгебра
Натуральные числа и нуль. Чтение и запись натуральных чисел. Сравнение натуральных чисел. Сложение, вычитание, умножение и деление...
Алгебра и теория чисел iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру по профилю-«Математическая логика, алгебра и теория чисел»
...
Алгебра и теория чисел iconПрограмма вступительного экзамена направления подготовки аспирантов 01. 06. 01 Математика и механика
Вступительный экзамен проводится в устной форме, оценки выставляются по пятибальной шкале. В основу настоящей программы положены...
Алгебра и теория чисел iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру Направление подготовки 01. 06. 01 Математика и механика Специальность
Программа предназначена для поступающих в аспирантуру по специальности 01. 01. 06 математическая логика, алгебра, теория чисел. В...
Алгебра и теория чисел iconВопросы для экзамена по дисциплине алгебра и геометрия комплексные числа: основные понятия, геометрическое изображение комплексных чисел, формы записи комплексных чисел
Комплексные числа: основные понятия, действия над комплексными числами в алгебраической форме
Алгебра и теория чисел iconМетодическое пособие по курсу «Алгебра, геометрия и теория чисел» для мастер-класса «Прикладная математика и математическое моделирование»
Методическое пособие предназначено для самостоятельной, специализированной научно-исследовательской подготовки слушателей группы...
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com