Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»



страница7/10
Дата22.05.2015
Размер1,03 Mb.
ТипРабочая учебная программа
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Тема №1. Элементы общей алгебры (основные алгебраические системы).

  1. Найдите все подмножества множества {1, 2, 3}.

  2. Докажите, что множество {1, 2, …, n} имеет 2n различных подмножеств.

  3. Каким условиям должны удовлетворять множества A и B, чтобы: A∩B=A∪B, (A\B)∪B=A, (A∪B)\B=A.

  4. Докажите, что для произвольных множеств A, B и C справедливы следующие равенства:

  1. A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);

  2. A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);

  3. A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A;

  4. A∪∅=A, A∩∅=∅;

  5. (A\B)\C=(A\C)\B;

  6. (A\B)\C=(A\C)\(B\C);

  7. (A∪B)\(A∩B)=(A\B)∪(B\A);

  8. A\(A\B)=A∩B;

  9. (B∪C)\A=(B\A)∪(C\A);

  10. B∪(A\B)=A∪B, B∩(A\B)=∅;

  11. A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C), A\(B∩C)=(A\B)∪(A\C).

  1. Докажите, что для любых подмножеств A и B универсального множества U справедливы следующие равенства:

  1. A∪U=U, A∩U=A;

  2. A∪=U, A∩=∅;

  3. =U, =∅;

  4. , ;

  5. ;

  1. Докажите, что для произвольных множеств A, B и C:

  1. ;

  2. ;

  3. , , ;

  4. ;

  5. .

  1. Докажите, что для любых подмножеств A, B и C универсального множества U:

  1. .

  2. , .

  1. Из 100 студентов 28 изучают английский язык, 30 – немецкий, 42 – французский, 8 – английский и немецкий, 10 – английский и французский, 5 – немецкий и французский и 3 студента изучают все три иностранных языка. Сколько студентов не изучают ни одного языка? Изучают только французский язык?

  2. Из 100 студентов 24 не изучают ни одного из иностранных языков, 26 – немецкий, 48 – французский, 8 – французский и английский, 8 – немецкий и французский, 18 – только немецкий, 23 – немецкий, но не английский. Сколько студентов изучают только английский язык?

  3. Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые:

  1. Делятся на 2 и на 3;

  2. Делятся на 2, но не делятся на 3;

  3. Делятся на 3, но не делятся на 2;

  4. Делятся на 2 или на 3;

  5. Не делятся ни на 2, ни на 3?

(Примерный вариант)

  1. Найдите A×B и B×A, если:

  1. A={1, 2}, B={1, 2, 3};

  2. A={a, b}, B={a, c, e}.

  1. Изобразите на декартовой плоскости следующие множества:

  1. [0, 1]×[0, 1];

  2. [0, 1]×(-∞, 3];

  3. [1, 2]×[-∞, +∞];

  4. [0, +∞)×{2, 3};

  1. Докажите, что при любых множествах A, B и C:

  1. (A∪B)×C=(A×C)∪(B×C), (A∩B)×C=(A×C)∩(B×C);

  2. (A\B)×C=(A×C)\(B×C);

  3. A⊂B → A×C⊂B×C;

  4. (A×B)∪(B×A)=C×C →A=B=C.

  1. Докажите, что для любых множеств A, B, C и D: (A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D). Справедливо ли аналогичное равенство для объединения множеств?

  2. Докажите, что для любых бинарных отношений ρ и σ между элементами множеств X и Y:

  1. (ρ∪σ)-1-1∪σ-1, (ρ∩σ)-1-1∩σ-1;

  2. (ρ\σ)-1-1-1;

  3. ;

  4. ρ⊆σ ⟶ ρ-1⊆σ-1.

  1. Докажите, что:

  1. Отношение ρ рефлексивно ↔ idA⊆ρ;

  2. Отношение ρ антирефлексивно ↔ idA∩ρ=∅;

  3. Отношение ρ симметрично ↔ ρ=ρ-1;

  4. Отношение ρ антисимметрично ↔ ρ∩ρ-1⊆idA, (idA={(x, x)| x∈A}).

  1. Укажите, какими свойствами (рефлексивностью, антирефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью) обладает каждое из следующих отношений:

  1. «∥» на множестве всех прямых плоскости;

  2. «⊥» на множестве всех прямых плоскости;

  3. «=» на множестве действительных чисел;

  4. «<» на множестве действительных чисел;

  5. «≤» на множестве действительных чисел;

  6. «∩» на множестве всех прямых плоскости;

  7. Отношение подобия треугольников на плоскости;

  8. «⊆» на семействе всех подмножеств универсального множества;

  9. «⊂» на семействе всех подмножеств универсального множества.

  1. На множестве натуральных чисел для каждого из следующих бинарных отношений найдите область определения и область значений и укажите, какими свойствами (рефлексивностью, антирефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью) оно обладает:

  1. ρ={(1,1)};

  2. ρ={(3,5), (5,3), (3,3), (5,5)}, ρ={(3,5), (5,3)};

  3. xρy ↔ НОД(x,y)=1;

  4. xρy ↔ y-x=12;

  5. xρy ↔ |x-y|=12;

  6. xρy ↔ x=y2;

  7. xρy ↔ (x-y) | 3.

  1. Найдите область определения и область значений каждого из следующих отношений, заданных на множестве действительных чисел, и укажите, какими свойствами (рефлексивностью, антирефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью) оно обладает:

  1. ρ={(x,y)| x2=y2};

  2. ρ=[0,2]×[0,2];

  3. ρ=[0,2]×[1,3];

  4. ρ={(x,y)| xy=0}.

  1. Что можно сказать об отношениях и , если отношение ρ:

  1. Рефлексивно;

  2. Антирефлексивно;

  3. Симметрично;

  4. Антисимметрично;

  5. Транзитивно?

  1. Докажите, что при любом отношении ρ на множестве отношения и симметричны.

  2. Докажите, что отношение «⊆» является отношением порядка.

  3. Пусть A={1,2,3,4,5,6}. Покажите, что:

  1. Подмножества A1={2,3,4}, A2={1}, A1={5,6} образуют покрытие A;

  2. Подмножества A1={1,2}, A2={3}, A3={4,5,6} образуют разбиение A.

  1. Докажите, что если ρ – рефлексивное и транзитивное отношение на множестве, то – отношение эквивалентности.

  2. Определите, какие из следующих отношений являются отображениями; какие из отображений взаимно-однозначны, какие – обратимы:

  1. φ={(x,y)∈ℝ×ℝ| y=x2};

  2. φ={(x,y)∈{0,+∞)×(-∞,+∞)| y=x2};

  3. φ={(x,y)∈[0,1]×[0,1]| y=x2};

  4. φ={(x,y)∈[-1,0]×[-1,0]| x2+y2=1};

  5. φ={(x,y)∈ℕ×ℕ| |x-y|=1}.

  1. Пусть f – отображение X на Y. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:

  1. x1≠x2 → f(x1)≠f(x2);

  2. f(x1)=f(x2) → x1=x2.

(Примерный вариант)

  1. Докажите, что при любом натуральном n:

  1. (4n+15n-1) | 9;

  2. (6n+3n+2+3n) | 11.

  1. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.

  2. Докажите, что при любом натуральном n:

  1. 13+23+33+…+n3=¼n2(n+1)2;

  2. ;

  3. 1∙1!+2∙2!+3∙3!+…+n∙n!=(n+1)!-1;

  4. .

  5. .

  1. Докажите тождества:

  1. ;

  2. ;

  3. .

(Примерный вариант)

Тема №2. Матрицы.

  1. Вычислите (2A-3BCT, если , , .

  2. Вычислите f(A), если , f(x)=x2-5x+7.

  3. Найдите матрицы, перестановочные с матрицами A и B, если , .

  4. Возвести в степень:

  1. .

  2. .

  1. Вычислите ранг матриц:

  1. .

  2. .

  1. Докажите, что:

  1. Если к матрице приписать один столбец, то ее ранг либо не изменится, либо увеличится на единицу.

  2. Если после вычеркивания какого-либо столбца ранг матрицы не изменится, то этот столбец линейно выражается через другие столбцы.

  3. Если какой-нибудь столбец матрицы линейно выражается через другие столбцы этой матрицы, то после его вычеркивания ранг матрицы не изменится;

  4. Ранг суммы матриц не превосходит суммы их рангов.

(Примерный вариант)

Тема №3. Детерминанты.

  1. Определите число инверсий в перестановках:

  1. 1 3 5 7 9 2 4 6 8.

  2. 2 5 8 1 4 7 3 6 9.

  1. Подберите k и l так, чтобы перестановка:

  1. 7 4 3 k l 8 5 2 была нечетной;

  2. 6 3 5 k 7 l 2 1 была четной.

  1. Определите число инверсий в перестановках:

  1. 1 3 5 7 … 2n-1 24 6 8 … 2n.

  2. 2 4 6 8 … 2n 1 3 5 7 … 2n-1.

  1. Выясните, какие из произведений элементов матрицы являются членами определителя 7-ого порядка, и укажите знак этого члена определителя:

  1. a43a53a63a15a23a34a71.

  2. a23a67a54a16a35a41a72.

  3. a15a28a74a36a61a43.

  4. a72a16a33a55a27a61a44.

  1. Вычислите определители, пользуясь определением:

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  1. Вычислите определители:

  1. используя разложение по элементам 1 и 2 строк.

  2. используя разложение по элементам 3 столбца.

  1. Вычислите определители:

  1. .

  2. .

  1. Как изменится определитель, если:

  1. Каждый элемент i-ой строки умножить на -1;

  2. Все строки переписать в обратном порядке;

  3. К каждой строке, начиная со 2-ой, прибавить предыдущую;

  4. К каждой строке, начиная со 2-ой, прибавить предыдущую, а к первой строке прибавить последнюю?

  1. Решите матричные уравнения: AX=B, XB=C, AXB=C, где: , , .

(Примерный вариант)

Тема №4. Системы линейных уравнений.

  1. Решить систему линейных уравнений по методу Крамера:





  1. Найти решение системы линейных уравнений методом Гаусса:





  1. Найти систему фундаментальных решений системы линейных однородных уравнений:





  1. Укажите, при каких значениях параметра t следующие системы совместны, несовместны, имеют единственное решение, имеют бесконечное число решений:





(Примерный вариант)

Тема №5. Поле комплексных чисел.

  1. Найти сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел z1=3+2i и z2=-1-i.

  2. Найти тригонометрическую форму комплексного числа z=4+2i.

  3. Найти алгебраическую форму комплексного числа z=cos(3π/4)-sin(3π/4).

  4. Найти (3+i)5.

  5. Найти .

(Примерный вариант)

Тема №6. Кольцо многочленов.

  1. Пусть f(x)∈P[x], c∈P. Докажите, что f(x)-f(c) ⋮ x-c.

  2. Найдите частное и остаток при делении:

  1. x4+2x2 +20x+7 на x+3;

  2. x3+x2-7 на x+4+4i

  1. Разложить многочлен x4-8x3+24x2-50x+22 по степеням x-2.

  2. Найдите кратность корня c многочлена f(x), если c=1 и f(x)=2x4-7x3+9x2-5x+1.

  3. Докажите, что 100x100-50x50+10x10-5x5+x-56 ⋮ x-1.

  4. При каких значениях p и q x16-3x9+4x4+px2+qx ⋮ x2-1.

  5. Найдите НОД и НОК двух многочленов (x3-8)(x2-4x+4) и (x2-4)3

  6. Решить уравнение x4+2x3+2x2+6x-3=0.

  7. Разложите на элементарные дроби .

(Примерный вариант)

Тема №7. Линейные пространства.

  1. Пусть φ:L1⟶L2 — изоморфизм между линейными пространствами. Докажите, что система векторов a1, a2, …, ak из L:

  1. Линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система их образов a1’, a2’, …, ak’.

  2. Линейно независима тогда и только тогда, когда линейно независима система их образов a1’, a2’, …, ak’.

  3. Является максимальной линейно независимой тогда и только тогда, когда максимальной линейно независимой является система их образов.

  1. Докажите, что каждая из следующих систем векторов является базисом пространства ℂ над полем ℝ:

  1. 1, i.

  2. 1+i, 1-i.

  1. Проверьте, образует ли каждая из следующих систем векторов базис в пространстве ℝ4, и найдите координаты вектора x=(1,2,3,4) в каждом из этих базисов:

  1. a1=(1,1,1,1), a2=(1,-1,1,-1), a3=(1,-1,1,1), a4=(1,-1,-1,-1).

  2. a1=(1,2,3,0), a2=(1,2,0,3), a3=(1,0,2,3), a4=(0,1,2,3).

  3. a1=(1,-2,-3,5), a2=(-4,2,-1,3), a3=(1,-5,2,-4), a4=(-2,-5,-2,4).

  1. Проверьте, образует ли каждая из следующих систем многочленов в пространстве многочленов ≤4, и найдите координаты многочлена f(x)=5x4-4x3+3x2-2x+1 в каждом из этих базисов:

  1. 1, x, x2, x3, x4.

  2. 1-x4, x-x4, x2-x4, x3-x4, x4.

  3. 1, x-1, (x-1)2, (x-1)3, (x-1)4.

  1. Докажите, что множество матриц порядка n над полем K с операциями – сложением матриц и умножением матрицы на число из K – является n2-мерным векторным пространством над K.

  2. Докажите, что в n-мерном векторном пространстве:

  1. Любая линейно независимая система из n векторов является базисом.

  2. Любую линейно независимую систему можно дополнить до базиса.

(Примерный вариант)

  1. Докажите, что подмножество M линейного пространства L над полем K является его подпространством тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

  1. M≠∅;

  2. a, b∈M → a+b∈M;

  3. a∈L, k∈K → ka∈M.

  1. Докажите, что следующие подмножества пространства ℝn являются его подпространствами:

  1. {(a1,a2,…,an)| an=0}.

  2. {(a1,a2,…,an)| a1+a2+…+an=0}.

  3. {(a1,a2,…,an)| a1-a2+..+(-1)nan=0}.

  1. Пусть L – линейное пространство над полем P, a1,a2,…,an – система векторов из L и L(a1,a2,…,an) – множество всех конечных линейных комбинаций из векторов этой системы. Докажите, что:

  1. L(a1,a2,…,an) – подпространство пространства L;

  2. Размерность подпространства L(a1,a2,…,an) равна рангу системы векторов a1,a2,…,an.

  1. Найдите размерность и базис линейного подпространства, натянутого на систему векторов:

  1. a1(3, 11, 5, 4), a2(4, 12, 5, 10), a3(1, 13, 6, 4), a4(3, 11, 9,2).

  2. a1(0, 1, 6, 3, 2), a2(5, 3, 1, 1, 0), a3(4, 2, 4, 2, 1), a4(6, -5, 6, -3, -1), a5(0, -5, -2, -3, -1).

  1. Докажите, что множество решений системы линейных однородных уравнений с n неизвестными с коэффициенты из поля P является подпространством пространства всех решений соответствующей ей системы линейных неоднородных уравнений.

  2. Пусть L – линейное пространство. Докажите, что:

  1. Сумма конечного числа подпространств пространства L является его подпространством;

  2. Пересечение любого количества подпространств пространства L является его подпространством:

  3. Линейная оболочка L(a1,a2,…,an) векторов a1,a2,…,an совпадает с пересечением всех подпространств пространства L, содержащих эти векторы.

  4. Пусть L(a1,a2,…,ak) и L(b1,b2,…,bl) – линейные оболочки систем векторов a1,a2,…,ak и b1,b2,…,bl соответственно. Максимальная линейно независимая подсистема системы a1,a2,…,ak,b1,b2,…,bl является базисом подпространства L(a1,a2,…,ak)+ L(b1,b2,…,bl).

  1. Найдите базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на систему векторов:

a1(1, 2, 1, 0) b1(2, -1, 0, 1)

a2(-1, 1, 1, 1) b2(1, -1, 3, 7)



  1. Построить линейное многообразие решений системы и найти его размерность:

(Примерный вариант)



Является ли линейным пространством над полем вещественных чисел:

  1. Множество всех векторов плоскости с общим началом в точке O:

  1. Концы которых лежат на одной прямой;

  2. Каждый из которых лежит на одной из осей координат OX и OY;

  3. Концы которых лежат в первой четверти системы координат;

  1. Множество векторов пространства компоненты которых:

  1. Являются целыми числами;

  2. Удовлетворяют тому условию, что их сумма равна нулю;

  3. Удовлетворяют тому условию, что их сумма равна единице;

  4. С четными номерами равны между собой.

(Примерный вариант)

  1. Система векторов x, y, z линейно независима. Будет ли линейно независимой система x+y, y+z, z+x?

  2. Доказать, что система из четырех векторов a1(1,0,0), a2(0,1,0), a3(0,0,1), a4(1,1,1) является линейно зависимой и что любая система из этих трех векторов является линейно независимой.

  3. В пространстве всех непрерывных функций на отрезке (a,b) выбраны четыре функции x1(t)=1, x2(t)=t, x3(t)=t2, x4(t)=1+t+t2. Доказать, что система из четырех этих функций линейно зависима и любая система из трех этих функций линейно независима.

  4. Доказать, что если система a1, a2,…, ak линейно независима и b1a12a2+…+λkak, то указанное представление вектора b единственно.

(Примерный вариант)

  1. Каким должно быть число ζ, чтобы система векторов (0,1,ζ), (ζ,0,1), (ζ,1,ζ) являлась базисом трехмерного линейного векторного пространства?

  2. Доказать, что совокупность симметрических вещественных матриц порядка n образует линейное пространство над R, если за операции взять сложение матриц и умножение матрицы на действительное число. Найти базис и размерность этого пространства.

  3. Те же вопросы для совокупности кососимметрических матриц порядка n (т.е. матриц, у которых aij=-aji).

  4. Найти какой-нибудь базис и размерность линейного пространства, состоящего из тех векторов, компоненты которых удовлетворяют условию x1+x2+…+xn=0.

  5. Рассмотрим множество всех тех векторов линейного пространства размерности n, каждая компонента которых равна 0 либо 1. Сколько различных базисов содержится в этом множестве?

(Примерный вариант)

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconРабочая программа для студентов специальности 090105. 65 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем»
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов специальности 090105. 65 «Комплексное обеспечение информационной безопасности...
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconУчебная программа Дисциплины б4 «Дискретная математика» по специальности 090302 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем»
Целью преподавания дисциплины «Дискретная математика» является подготовка специалистов к деятельности в сфере разработки, исследования...
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconРабочая программа дисциплины для специальности 230105 Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем
Рабочая программа составлена в соответствии с гос впо по направлению подготовки (специальности) 230105 Программное обеспечение вычислительной...
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconРабочая программа дисциплины «Информационные системы в экономике»
Целью изучения дисциплины является освоение студентами современных подходов в области информационных систем и технологий применительно...
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconРабочая программа для студентов специальности 230201. 65 «Информационные системы и технологии»
Учебно-методический комплекс. Рабочая учебная программа для студентов специальности «Информационные системы и технологии» Института...
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconПрограммам специальности: 090104 «Комплексная защита объектов информатизации» 090105 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем»
Мифи на 2-ой и последующие курсы (перевод), на 2-ое высшее образование, по программам специальности
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconРабочая программа по и нформатике и икт для базового уровня
С точки зрения деятельности, это дает возможность сформировать методологию использования основных автоматизированных информационных...
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconРабочая программа для студентов очной формы обучения направление 050100. 62 "Педагогическое образование " профиль подготовки "Математическое образование"
Шармин В. Г. Обучение учащихся доказательству теорем. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 050100....
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconРабочая программа для студентов очной формы обучения направление 050100. 62 "Педагогическое образование " профиль подготовки "Математическое образование"
Шармин В. Г. Основания геометрия. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 050100. 62 "Педагогическое...
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconРабочая программа для студентов очной формы обучения направления 090900. 62 «Информационная безопасность»
Администрирование серверов. Технология виртуализации Учебно-методический комплекс
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com