Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»



страница8/10
Дата22.05.2015
Размер1,03 Mb.
ТипРабочая учебная программа
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Тема №8. Линейные отображения и преобразования линейных пространств.

  1. Докажите, что в пространстве L следующие преобразования являются линейными:

  1. 0x=0 для любого x∈L;

  2. Ex=x для любого x∈L;

  3. Ax=kx для любого x∈L.

  1. Пусть L – n-мерное векторное пространство над полем K, e1, e2, …, en – базис в L, .докажите, что следующие преобразования пространства L – линейные:

  1. .

  2. , ki∈K.

  1. Пусть L – линейное пространство над полем K, A – линейное преобразование пространства L. Докажите, что при любых x1, x2, …, xn∈L и k1, k2, …, kn∈K: .

  2. Пусть a1, a2, …, an – система векторов в пространстве L, A – линейный оператор пространства L. Докажите, что:

  1. Если система векторов a1, a2, …, an линейно зависима, то и система векторов Aa1, Aa2, …, Aan (образов векторов a1, a2, …, an)линейно зависима.

  2. Если система Aa1, Aa2, …, Aan линейно независима, то система векторов a1, a2, …, an линейно независима.

  1. Пусть V3 – линейное пространство, A  оператор поворота на π/2 вокруг оси OX (от OY к OZ), B – оператор поворота на π/2 вокруг оси OY (от OZ к OX). Докажите, что:

  1. A4=B4=E.

  2. AB≠BA.

  1. Найдите образ и ядро линейных оператора дифференцирования в пространстве многочленов степени ≤n.

  2. В пространстве многочленов степени ≤n найдите матрицу оператора дифференцирования в базисе 1,x,x1,…,xn.

  3. Пусть e1, e2, e3, e4 – базис линейного пространства, матрица линейного преобразования в данном базисе имеет вид

Найти матрицу этого линейного преобразования в базисе

f1=2e1+3e2+4e3+5e4

f2=3e1+3e2+4e3+5e4

f3=4e1+4e2+3e3+5e4

f4=5e1+5e2+5e3+5e4



  1. Пусть A – линейный оператор на K3, x=(x1, x2, x3). Найдите ранг и дефект оператора A, а также базис образа и ядра: Ax=(x1-2x2+3x3, x1-2x2+3x3, x1+2x2+3x3).

  2. Докажите, что в линейном пространстве любое подпространство инвариантно относительно следующих операторов:

  1. Тождественного;

  2. Нулевого;

  3. Подобия;

  4. Проектирования.

  1. Пусть A – линейный оператор пространства L. Докажите, что:

  1. Система собственных векторов x1, x2, …, xn оператора A с попарно различными собственными значениями k1, k2, …, kn линейно независима;

  2. Если пространство L является n-мерным, то оператор A имеет не более n различных собственных значений;

  3. Если пространство L является n-мерным, а оператор A имеет n различных собственных значений, то существует базис пространства L, состоящий из собственных векторов;

  4. Нулевой вектор и все собственные векторы, отвечающие данному собственному значению, образуют подпространства пространства L;

  1. В пространстве ℝ3 найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей:

  1. .

  2. .

  1. В пространстве ℂ3 найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей:

  1. .

  2. .

(Примерный вариант)

Тема №9. Евклидовы и унитарные пространства.

  1. Докажите, что следующие формулы определяют скалярное произведение:

  1. В пространстве ℝn: если a=(a1,a2,…,an) и b=(b1,b2,…,bn), то (a,b)=a1b1+a2b2+…+anbn.

  2. В пространстве C[a,b]: .

  3. В пространстве Mn(ℝ): .

  1. Докажите, что в евклидовом пространстве .

  2. Докажите, что для любых ai, bi∈ℝ: .

  3. Докажите, что в евклидовом пространстве E:

  1. a⊥a ↔ a=0;

  2. 0⊥a при любом a∈E;

  3. Если вектор a ортогонален любому вектору пространства E, то a=0;

  4. Если вектора a ортогонален каждому из векторов b1, b2, …, bn, то он ортогонален любой их линейной комбинации;

  5. Система ненулевых попарно ортогональных векторов линейно независима.

  1. Докажите, что в евклидовом пространстве |a|=|b| ↔ a+b⊥a-b.

  2. Ортонормируйте систему векторов пространства ℝ4: a1=(1,1,1,1), a2=(1,1,-3,-3), a3=(4,3,0,-1).

  3. Покажите, что система векторов ортогональна, дополните ее до ортогонального базиса и нормируйте:

a1=(1,-1,1,-1), a2=(1,1,1,1).

  1. Постройте ортонормированный базис подпространства, натянутого на систему векторов:

a1=(3,0,0,2), a2=(1,2,2,4), a3=(3,0,-6,-13), a4=(-1,2,4,9).

  1. Пусть M – подпространство евклидова пространства E. Докажите, что:

  1. Множество M всех векторов из E, ортогональных каждому вектору из M, является подпространством пространства E;

  2. Если e1, e2, …, en – базис подпространство M, f1, f2, …, fm – базис подпространства M, то e1, e2, …, en,, f1, f2, …, fm – базис подпространства E;

  3. E=M+M.

  1. В евклидовом пространстве ℝ4 найдите ортонормированный базис ортогонального дополнения к линейной оболочке системы векторов: a1=(4,10,-1,4), a2=(1,1,-1,-2), a3=(2,4,-1,0).

(Примерный вариант)

Тема №10. Преобразования евклидовых и унитарных пространств.

  1. Доказать, что поворот плоскости на угол вокруг начала координат является линейным преобразованием, и найти матрицу этого преобразования в любом ортонормированном базисе, если положительное направление отсчета углов совпадает с направлением кратчайшего поворота, переводящего первый базисный вектор во второй.

  2. Выясните, является ли матрица линейного преобразования ортогональной?

  3. Векторы a1=(1,2) и a2=(1,0) заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе пространства L и сами образуют базис этого пространства. Матрица в базисе a1, a2 задает линейное преобразование пространства L. Найдите в этом базисе матрицу преобразования, сопряженного данному.

  4. Найти матрицу линейного преобразования, переводящего векторы a1, a2, a3 соответственно в векторы b1, b2, b3, в том же базисе, в котором даны координаты векторов:

  1. a1=(2,3,5), a2=(0,1,2), a3=(1,0,0)

b1=(1,1,1), b2=(1,1,-1), b3=(2,1,2).

  1. a1=(2,0,3), a2=(4,1,5), a3=(3,1,2)

b1=(1,2,-1), b2=(4,5,-2), b3=(1,-1,1).

  1. .пусть линейное преобразование пространства переводит линейно независимые векторы a1, a2, …, an в векторы b1, b2, …, bn соответственно. Доказать, что матрицу этого преобразования в некотором базисе e1, e2, …, en можно найти из равенства , где столбцы матриц A и B состоят из координат векторов a1, a2, …, an и соответственно b1, b2, …, bn относительно базиса e1, e2, …, en.

  2. Показать, что левое и правое умножение матрицы второго порядка на матрицу являются линейными преобразованиями пространства всех матриц второго порядка, и найти матрицы этих преобразований в базисе, состоящем из матриц:

.

  1. Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства всех многочленов степени не превышающей n от одного неизвестного с вещественными коэффициентами.

Найти матрицу этого преобразования в базисе:

  1. 1, x, x2, …, xn;

  2. 1, x-a, , …, , где a=const.

  1. Линейное преобразование в базисе e1, e2, e3, e4 имеет матрицу

Найти матрицу этого преобразования в базисе:



  1. e1, e1+e2, e1+e3, e1+e4;

  2. e1, e1+e2, e1+e2+e3, e1+e2+e3+e4.

  1. Линейное преобразование в базисе a1=(8,-6,7), a2=(-16,7,-13), a3=(9,-3,7) имеет матрицу

.

Найти матрицу преобразования в базисе b1=(1,-2,1), b2=(3,-1,3), b3=(2,1,2).



  1. Пусть преобразование в базисе a1=(1,2), a2=(2,3) имеет матрицу . Преобразование в базисе b1=(3,1), b2=(4,2) имеет матрицу . Найти матрицу преобразования в базисе b1, b2.

  2. Пусть преобразование в базисе a1=(-3,7), a2=(1,-2) имеет матрицу . Преобразование в базисе b1=(6,-7), b2=(-5,6) имеет матрицу . Найти матрицу преобразования в базисе b1, b2.

(Примерный вариант)

Тема №11. Функции на линейных пространствах.

  1. Найти матрицу квадратичной формы .

  2. Найти невырожденное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.

  3. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.

  4. Привести методом Лагранжа квадратичную форму к каноническому виду.

  5. Выяснить, являются ли эквивалентными квадратичными формы

и .

(Примерный вариант)



Тема №12. Аффинные и точечные пространства.

  1. Найти параметрические уравнения плоскости, заданной общими уравнениями:





  1. Найти общее уравнение плоскости, заданной параметрическими уравнениями:





  1. Доказать, что любая плоскость π аффинного пространства сама является аффинным пространством, размерность которого равна размерности π.

(примерный вариант)

Тема №13. Преобразования аффинных пространств.



  1. Докажите, что при параллельной проекции фигуры с одной плоскости на другую, фигура на второй

  1. совпадает с тем, что изображено на первой, если плоскости параллельны;

  2. является растяжением (сжатием) того, что изображено на первой плоскости, относительно прямой пересечения плоскостей, если плоскости пересекаются.

  1. Что такое гомотетия с коэффициентом

  1. Равным 1;

  2. Равным -1.

  1. Какое преобразование обратно гомотетии с коэффициентом

  1. Равным 10;

  2. Равным .

  1. Докажите, что гомотетия относительно точки является аффинным преобразованием.

  2. Докажите, что гомотетию относительно точки можно представить как композицию двух растяжений или сжатий относительно перпендикулярных прямых, проходящих через заданную точку.

  3. Докажите, что при гомотетии все расстояния увеличиваются или уменьшаются.

  4. Докажите, что при гомотетии окружности переходят в окружности, а правильные треугольники - в правильные треугольники.

  5. Докажите, что композиция двух гомотетий есть гомотетия, причем центры этих гомотетий лежат на одной прямой.

  6. Докажите, что композиция гомотетии с коэффициентом не равным единице и параллельного переноса есть гомотетия с тем же самым коэффициентом, но относительно другой точки.

  7. Докажите, что при аффинном преобразовании пересекающиеся прямые переходят в пересекающиеся, параллельные прямые – в параллельные, параллелограмм – в параллелограмм, трапеция – в трапецию

  8. Докажите, что отношение длин отрезков на одной и той же прямой при аффинном преобразовании сохраняется

  9. Докажите, что отношение длин отрезков на параллельных прямых при аффинном преобразовании сохраняется.

  10. Докажите, что при аффинном преобразовании выпуклая фигура переходит в выпуклую фигуру.

  11. Докажите, что применяя движения, растяжения и сжатия можно получить любое аффинное преобразование.

(Примерный вариант)

Тема №14. Элементы теории чисел.



  1. Является ли отношение делимости ⋮:

  1. Отношением порядка на множестве натуральных чисел;

  2. Отношением порядка на множестве целых чисел;

  3. Симметричным, антисимметричным, транзитивным на множестве целых чисел.

  1. Найдите a и b, если при любом целом n имеет место: n3+an+b ⋮ n2+1.

  2. Найдите все числа большие 25000, но меньшие 30000, у которых как при делении на 131, так и при делении на 1965 остаток равен 125.

  3. Было 7 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 7 кусков каждый. Затем некоторые из получившихся кусков снова разрезали на 7 кусков и так сделали несколько раз. Могло ли в результате получиться 1973 куска?

  4. Докажите, что .

    1. Перечень тем контрольных и тестовых заданий для самостоятельной работы.

Типовые варианты тестовых и контрольных заданий

Контрольная работа по теме «Матрицы и детерминанты»

(часть 1)

(демонстрационная версия)



  1. Выполнить указанные действия над матрицами и найти:

    1. Матрицу, получившуюся в результате выполнения арифметических действий;

    2. Значение детерминанта этой матрицы, пользуясь теоремой Лапласа или следствием из неё;

    3. При помощи элементарных преобразований привести определитель результирующей матрицы к треугольному виду.



  1. Найти матрицу, обратную к данной матрице:



Контрольная работа по теме «Системы линейных уравнений»

(часть 2)

(демонстрационная версия)



  1. Найти решение системы линейных уравнений методом Крамера:



  1. Найти решение матричного уравнения:



  1. Найти общее и частное решения системы неоднородных линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных.

Найти общее и фундаментальные решения системы однородных линейных уравнений, соответствующей неоднородной исходной системе.

Выразить общее решение неоднородной системы через общее решение однородной системы.



Тестовые задания для самопроверки по темам

«Матрицы и детерминанты» и «Системы линейных уравнений»

(демонстрационная версия)



Линейная алгебра - Матрицы

В результате выполнения арифметического действия над матрицами получится матрица …

Варианты ответов:

a)



b)



c)



d)





Линейная алгебра - Матрицы

В результате выполнения арифметического действия над матрицами получится матрица …

Варианты ответов:

a)



b)



c)



d)





Линейная алгебра - Матрицы

В результате выполнения арифметического действия над матрицами получится матрица …

Варианты ответов:

a)



b)



c)



d)





Линейная алгебра - Матрицы

Выполните указанное действие и укажите результат

Варианты ответов:

a)



b)



c)



d)





Линейная алгебра - Детерминанты

Значение детерминанта равно …

Варианты ответов:

a)



b)



c)



d)





Линейная алгебра - Детерминанты

Значение детерминанта равно …

Варианты ответов:

a)



b)



c)



d)





Линейная алгебра - Детерминанты

Значение детерминанта равно …

Варианты ответов:

a)



b)



c)



d)





Линейная алгебра – Матрицы – Обратные матрицы

К матрице обратной является матрица …

Варианты ответов:

a)



b)



c)



d)





Формулировка задания

Варианты ответов

Найти решение системы линейных уравнений методом Крамера

















Формулировка задания

Варианты ответов

Найти решение матричного уравнения
















Формулировка задания

Варианты ответов

Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса













1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconРабочая программа для студентов специальности 090105. 65 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем»
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов специальности 090105. 65 «Комплексное обеспечение информационной безопасности...
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconУчебная программа Дисциплины б4 «Дискретная математика» по специальности 090302 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем»
Целью преподавания дисциплины «Дискретная математика» является подготовка специалистов к деятельности в сфере разработки, исследования...
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconРабочая программа дисциплины для специальности 230105 Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем
Рабочая программа составлена в соответствии с гос впо по направлению подготовки (специальности) 230105 Программное обеспечение вычислительной...
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconРабочая программа дисциплины «Информационные системы в экономике»
Целью изучения дисциплины является освоение студентами современных подходов в области информационных систем и технологий применительно...
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconРабочая программа для студентов специальности 230201. 65 «Информационные системы и технологии»
Учебно-методический комплекс. Рабочая учебная программа для студентов специальности «Информационные системы и технологии» Института...
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconПрограммам специальности: 090104 «Комплексная защита объектов информатизации» 090105 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем»
Мифи на 2-ой и последующие курсы (перевод), на 2-ое высшее образование, по программам специальности
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconРабочая программа по и нформатике и икт для базового уровня
С точки зрения деятельности, это дает возможность сформировать методологию использования основных автоматизированных информационных...
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconРабочая программа для студентов очной формы обучения направление 050100. 62 "Педагогическое образование " профиль подготовки "Математическое образование"
Шармин В. Г. Обучение учащихся доказательству теорем. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 050100....
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconРабочая программа для студентов очной формы обучения направление 050100. 62 "Педагогическое образование " профиль подготовки "Математическое образование"
Шармин В. Г. Основания геометрия. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 050100. 62 "Педагогическое...
Рабочая учебная программа для студентов специальности 010503. 65 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» iconРабочая программа для студентов очной формы обучения направления 090900. 62 «Информационная безопасность»
Администрирование серверов. Технология виртуализации Учебно-методический комплекс
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com