А. Н. Колмогоров Вавилов В. В., Красников П. М



страница1/6
Дата01.06.2015
Размер0,73 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5   6

Вавилов В.В.

Красников П.М.


Математические

Коллоквиумы

µ §


Школа имени А.Н. Колмогорова

2006


А.Н. Колмогоров

Вавилов В.В., Красников П.М.

Математические коллоквиумы. ЁCМ.: Школа им. А.Н. Колмогорова СУНЦ МГУ, 2006. ЁC с.

Для активизации работы учащихся при обучении математики в школьной практике используются многие методические приемы. В книге представлена еще одна возможная формы работы ЁC математические коллоквиумы, которые плановым образом проводятся нами в специализированной школе им. А.Н. Колмогорова при Московском государственном университете.

Некоторые из этих заданий коллоквиумов мы приводим в тексте книги полностью, добавив к ним комментарии методического характера адресованные учителям. При этом, отдельно выделены основные цели, которые мы преследуем в процессе работы учащихся над задачами коллоквиума.

В приложении к книге мы поместили тексты заданий коллоквиумов, которые проводились с учащимися в самые последние годы, опустив всякого рода замечания и комментарии.


„¦ Вавилов В.В., Красников П.М., 2006

„¦ Школа им. А.Н. Колмогорова СУНЦ МГУ, 2006

Оглавление

Введение ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..

Теорема Пифагора ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..

Две прогрессии ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..

Площадь многоугольника ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK

Линейные и квадратичные функции ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..

Геометрия тетраэдра ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.

Рациональные числа и периодические десятичные дроби ЎK

Сечения многогранников ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..

Классические неравенства ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK

Приложение:

Инверсия ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..

Преобразования плоскостиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK

Дюжина задач на геометрию масс ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK

Максимумы и минимумы в геометрии ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK

Действительные числа ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..

Алгоритм Евклида ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.

Предел функции ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.

Производная и касательная ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK

Принцип Дирихле ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK

Применение производной ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..

Принцип включения-исключения ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.

Введение

Постановка и решение задач ЁC цель и средство обучения математике. Уместно напомнить высказывание известного математика П. Халмоша: «Задачи ЁC сердце математики, и мы должны подчеркивать все более и более в классе, на семинарах, в книгах и статьях, которые мы пишем, чтобы наши ученики стали лучшими постановщиками и решателями задач, чем мы сами». Решение задач, как отмечалось и многими другими крупнейшими учеными и педагогами, та столбовая дорога в математику, шире которой нет и, видимо, другого способа привить интерес к математике и полюбить эту мудрую науку не существует.

Для активизации работы учащихся при обучении математики в школьной практике используются многие методические приемы. Мы расскажем здесь еще об одной возможной форме работы ЁC математических коллоквиумах, которые плановым образом проводятся нами в специализированной школе им. А.Н. Колмогорова при Московском государственном университете.

Коллоквиум (лат. colloquium), если сделать дословный перевод с латинского, ЁC это разговор, беседа и, как правило, между учителем и учеником. Сразу стоит отметить, что коллоквиум в средней школе по своим целевым установкам (и в представленной нами системе проведения) отличается от аналогичной формы работы в вузе. Главное отличие состоит в том, что школьные коллоквиумы (как мы их понимаем) имеют две составляющие: обучающую и контролирующую. В вузах же, как правило, ограничиваются только контролирующей функцией. Проведение коллоквиумов позволяет в значительной мере соединить процесс обучения и контроля воедино.

Как проводятся коллоквиумы и какие методические принципы положены в основу разработки их заданий?

Для проведения коллоквиума необходим тематический список задач (иногда крупный, чаще не очень), часть из которых изучается на уроках, часть ЁC в ходе самостоятельной работы. Все учащиеся без исключения должны выполнить задание (в течение двух-трех недель) с полными записями решений задач и доказательствами теорем. При этом, неукоснительным требованием является система оформления: четкие чертежи (выполненные циркулем и линейкой с применением различных цветов), полнота аргументации в решениях задач, ясные ссылки на теоремы и ранее решенные задачи. Затем - индивидуальная устная беседа с учителем по решенным и нерешенным задачам. Если есть возможность проводить такие коллоквиумы после уроков, то мы проводим их там, а если такой возможности нет, то они проводятся во время обязательных часов. Эта система довольно эффективна, так как на коллоквиум требуется, во-первых, принести тетрадь с тщательно оформленными записями (что само по себе уже важно и дисциплинирует учащихся), не тратится много времени на подробный разбор домашних заданий в классе (при такой схеме ЁC обычных поурочных домашних заданий или вообще нет, или их немного), школьники привыкают к правильному оформлению решений и к полноте необходимой аргументации ЁC «писанию и чистописанию», ну а сама беседа с преподавателем приносит неоценимую помощь обучающемуся, так как она нацелена на улучшение качества знаний и умений конкретного ученика и на его личные пробелы. Еще один важный плюс при проведении коллоквиумов состоит в том, что нет особой нужды в текущем опросе учащихся с выставлением оценки, что сильно экономит драгоценное время на текущих уроках. По ходу такой (систематической) работы как бы сама собой решается и «проблема накопляемости оценок», решение которой при обычной схеме ориентировано не на весь класс ЁC многие школьники «отдыхают» или начинают заниматься другим делом, а в это время у доски «страдает» вызванный к ней учащийся (а это уже неэффективно использованное учебное время). Бытующее мнение (но не у нас в школе) о том, что для сдачи коллоквиума школьники занимаются списыванием решений задач друг у друга не выдерживает серьезной критики, да мы и не препятствуем взаимным консультациям учащихся; опытный учитель всегда легко оценит качество изученного материала и практически всегда определит реальные источники написанных решений задач. Отметим, что ничего страшного нет в том, что на коллоквиуме предъявлены решения не всех задач из списка; общая же организационная схема такова ЁC прием заданий проходит только два раза, во время второй попытки отличную оценку получить нельзя. Еще одной важной компонентой такой работы является то, что в такие списки зачастую включаются задачи исследовательского плана (математические проекты), требующие значительного времени на их продумывание, а это практически невозможно на текущих занятиях. Кроме того, сюда включаются так называемые «задачи на доказательство теорем», которые представлены в виде цепочки вспомогательных задач.

Проведение даже одного коллоквиума требует от преподавателя значительных усилий. Мало разработать его задание (но это уже огромный труд, если к нему подходить с описанных позиций), нужно его еще и принять на коллоквиуме индивидуально у каждого ученика. Задания для коллоквиумов нами отрабатываются постепенно год от года и руководит этой работой лектор (в школе им. А.Н. Колмогорова ЁC лекционно ЁC семинарская вузовская система), а для приема заданий коллоквиума мы приглашаем преподавателей и аспирантов механико-математического факультета МГУ ЁC выпускников нашей же школы, а также и преподавателей школы, которые в данных классах не работают.

Простой подсчет показывает, что в семестр наши школьники только по основным математическим курсам должны решать около 400 задач, не считая задач на контрольных работах, на зачетах и др. А это колоссальная нагрузка для учащихся, имеющих кроме математики еще много дисциплин и, тем самым, много других домашних заданий и практикумов. Система математических коллоквиумов помогает четче и более планово организовать изучение той или иной темы и контроль за ее усвоением учащимися. Подчеркнем еще раз, что беседа с учителем по каждой из задач коллоквиума (решенной и нерешенной) играет неоценимую роль и очень многого стоит в процессе обучения, совершенствовании его качества и повышения интереса школьников к изучению математики.

При разработке заданий мы придерживаемся следующих методических принципов:

1.Для проведения коллоквиума выбирается одна тема или ее часть.

2.Задание коллоквиума состоит из нескольких типов задач: на вычисление, теоретического характера (теоремы и задачи на доказательство), исследовательского характера (проекты).

3.По мере возможности в тексты заданий включаются задачи и теоремы, занимающие важное место в истории развития математики.

4.Большинство задач объединены в логические блоки, каждый из которых включает базовые задачи, содержащие в себе методы решения следующих задач, задачи, являющиеся следствиями, обобщениями предыдущих, подготовительные задачи. В каждое задание мы стремимся включить задачи с красивыми рисунками и чертежами, с практическими работами и другими упражнениями, нацеленными на поддержание и развитие интереса к изучению данной темы.

5.Доказательство теорем и решения трудных задач разбиваются в последовательную цепочку более простых утверждений и задач.

6.Задачи исследовательского характера (проекты) нацелены на более углубленное изучение темы коллоквиума и на развитие интереса к творческой деятельности вообще (в частности, для подготовки докладов учащихся на школьные конференции).

Приведем тематику заданий коллоквиумов, которые проводились нами в последние годы: По следам теоремы Пифагора. Бесконечные периодические десятичные дроби. Площадь многоугольника. Равносоставленность многоугольников. Инверсия. Максимумы и минимумы в геометрии. Линейная и квадратичная функции. Задачи с параметрами. Производная и касательная. Площадь и интеграл. Геометрия и тригонометрия триэдров. Геометрия тетраэдра. Сечения многогранников. Классические неравенства. Центр масс и момент инерции в геометрии. Площадь круга и его частей. Принцип Дирихле. Принцип включения-исключения. Две прогрессии. Метод математической индукции в геометрии. Многоликий алгоритм Евклида.

Некоторые из этих заданий коллоквиумов мы приводим в тексте книги полностью (в приложении к книги приведены только сами задании), добавив к ним комментарии методического характера адресованные учителям. При этом, отдельно выделены основные цели, которые мы преследуем в процессе работы учащихся над задачами коллоквиума.


Ноябрь 2006 Авторы

Теорема Пифагора

Цели: Повторение и изучение различных доказательств теоремы Пифагора и ее обобщений. Рассматриваются доказательства этой теоремы, полученные Евклидом, Паппом и другими авторами. Подробно изучается конструкция Евклида («Пифагоровы штаны»), лежащая в основе его доказательства теоремы Пифагора в конце первой книги «Начала». Заключительная часть задачного материала посвящена некоторым приложениям в комбинациях с другими важными теоремами планиметрии.


Используя рис.1, известный по меньшей мере с 2000 г. до новой эры, завершите доказательство теоремы Пифагора для (египетского) прямоугольного треугольника со сторонами 3,4,5. Разберите по аналогии общий случай.

Рис.1 Рис.2 Рис.3

Доказательство теоремы Пифагора на основе рис.2 было найдено генералом Д.Э. Гарфильдом за несколько лет до того, как он стал президентом США. Оно было опубликовано примерно в 1875 году в New England Journal of Education. Восстановите это доказательство, выразив тот факт, что площадь четырехугольника равна сумме площадей трех треугольников.

Используя построения на рисунке 3, придуманные американским ученым Генри Перигалем, докажите теорему Пифагора еще одним способом.

При помощи циркуля и линейки постройте

а) квадрат, равновеликий данному прямоугольнику;

б) квадрат, площадь которого равна сумме площадей двух данных квадратов;

в) квадрат, равновеликий данному выпуклому четырехугольнику.

Найдите расстояние до вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами а и b до центра квадрата, построенного вне треугольника на его гипотенузе.

(Евклид) Докажите, что на «пифагоровых штанах» (рис. 4), имеет место равенство µ §. Как с помощью этого доказать теорему Пифагора?

Рис.4 Рис.5

На рис. 5 треугольник АВС ЁC остроугольный, µ § и I2, II, III, IV- квадраты. Докажите, что [II] - [I] = [IV] - [III], где [X] обозначает площадь квадрата X.

(Теорема Евклида) Докажите следующие два утверждения:

а) квадрат стороны, лежащий против острого угла треугольника, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения одной из этих сторон на проекцию на нее другой стороны;

б) квадрат стороны, лежащий против тупого угла тупоугольного
треугольника, равен сумме квадратов двух других сторон, сложенной с
удвоенным произведением одной из этих сторон на проекцию на нее другой стороны.

Рис.6


9. На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону построены квадраты PQBA, RSCB и TUAC. Найти площадь шестиугольника PQRSTU, если АВ=15, ВС=14 и СА=13.

10. (Теорема Паппа) Пусть ABC- произвольный треугольник и на сторонах АВ и АС во внешнюю сторону построены произвольные параллелограммы АА'B'В и АСС''А" (рис. 7) таким образом, чтобы они не накладывались друг на друга. На стороне ВС построим параллелограмм ВВ'"С'"С также во внешнюю сторону, у которого ВВ'" || АР и ВВ'" = АР, где Р - точка пересечения прямых A'B' и А"С". Тогда площадь третьего параллелограмма равна сумме площадей первых двух.

Рис.7

11. a) Найти разность площадей параллелограммов MLHD и FIKJ (Рис. 8; ABC- прямоугольный треугольник, на сторонах которого построены квадраты), если известна разность площадей квадратов BCGF и ACED.



Рис.8

б) Чему равна разность площадей квадратов, построенных на сторонах DH и FI вместо параллелограммов?

12. (Исследовательский проект) Пусть X, Y, Z - центры квадратов (рис.9), построенных на сторонах прямоугольного треугольника.

а) Доказать, что µ §, µ §, µ §, µ §, AQ = QR.

б) Доказать, что точки в каждой из троек µ §лежат на одной прямой.

в) Найти длины отрезков BE, CE', DB', ZY, XY.

г) Выяснить, какие из утверждений в пунктах а) - в) остаются справедливыми для произвольного, исходного на рис.9, треугольника АВС?

Рис. 9


13. Пусть F -середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника AВС и ВС = 3AС. Точки D и Е делят сторону ВС на три равные части (рис.10). Докажите, что треугольник DEF является прямоугольным и равнобедренным.

Рис.10


14. а) Медиана и высота, проведенные из одного угла С треугольника AВС делит этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Медиана, биссектриса и высота треугольника ABC разбивают угол С на четыре равных угла. Найдите углы треугольника.

15. Внутри прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С точка О является вершиной равновеликих треугольников ABO, ОАС, ОВС. Докажите, что ОА2+OВ2 = 5 OС2.

16. В треугольнике ABC из вершины прямого угла С опущена высота CD.

а) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если радиусы

окружностей, вписанных в треугольники АСD и ВСD равны R1 и R2.

б) Найдите периметр треугольника ABC, если периметры треугольников ADС и BDС равны p1 и р2.

17. Докажите, что необходимым и достаточным условием того, чтобы данный треугольник был прямоугольным, является равенство 2R + r = р, где R - радиус описанной окружности, г - радиус вписанной окружности, р - полупериметр треугольника.


Методические замечания
1. Целесообразно сопроводить этот коллоквиум рассказами исторического характера. И, в частности, о роли Евклида и его «Начал» в становлении геометрии как науки и, по ЁC существу, первой серии книг по методике ее преподавании. Уместно остановиться и на методологических принципах написания «Начал» и на роли аксиом в математических построениях. По этому поводу имеется обширная литература: См., например, вводную статью к изданию [1] и [2,3]. Отметим также следующие две книги А.В. Волошинова: Математика и искусство.(М.: Просвещение, 2000); Пифагор (М.: Просвещение, 1993). В них заинтересованный преподаватель найдет много интересных сведений самого разнообразного характера.

2. В задании содержатся разные доказательства теоремы Пифагора. Однако доказательство, составляющее задачу 3, играет важную роль при изучении темы «Равносоставленность многоугольников» в дальнейшем. Поэтому следует при разборе задач коллоквиума обратить на нее особое внимание и добиться полного понимания того, что она дает способ разбиения двух квадратов на части, из которых можно сложить новый квадрат. Неплохо устроить небольшую лабораторную (практическую) работу, попросив учащихся изготовить такие части из бумаги прямо на уроке.

3. Конечно, центральное место в задании отведено конструкции Евклида «пифагоровы штаны») и не только для прямоугольных треугольников. Она состоит в том, что на сторонах исходного треугольника, как на основаниях, строятся квадраты. Такая конструкция кроме математической эстетичности обладает множеством интересных свойств, а также оказывается полезной для доказательства различных содержательных фактов (в том числе, и самой теоремы Пифагора). Рассмотрение цикла задач, связанных с этой конструкцией, кроме формирования определенных умений и навыков у школьников привлекает их внимание как красивыми и информативными картинками, так и любопытными фактами. С этой целью и предложен небольшой исследовательский проект.

Целесообразно подчеркнуть, что теорема Евклида, по существу, является одной из форм теоремы косинусов для треугольников.

4. Теорема Паппа (задача 10) интересна и сама по себе. Любопытны их соединение идей Евклида и Паппа при составлении новых задач (например, задача 11). Кроме того, она также является и одной из первых задач (вместе с доказательством Евклида» на общий метод сравнения площадей многоугольников. Этой теме в школьной программе уделяется особое внимание при повторении планиметрии и ей посвящено отдельное задание другого коллоквиума. Если же такого коллоквиума проводить не планируется, то его материал используется при проведении уроков в классе.

Список литературы:

1. Евклид. Начала. Т.1. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

2. Литцман В. Теорема Пифагора. -М.: Просвещение, 1960.

3. Вавилов В.В. По следам теоремы Пифагора. ЁCМ.: Школа имени А.Н. Колмогорова, ”Самообразование”, 2000.

4. В.В. Вавилов, П.М. Красников. Пифагоровы штаны. - Учебно-методическая газета «Математика. 1 сентября», №17, 2005.


Две прогрессии
Цели: Повторение и закрепление пройденного материала; в частности, на задачах вступительных экзаменов в вузы. Знакомство с историческими аспектами развития понятий и задачами прикладного характера. Анализ аналитико-графических связей между двумя прогрессиями. Знакомство с обшей теорией рекуррентных последовательностей и введение в математический анализ последовательностей: конечные разности, суммирование, и др. (пропедевтика основ дифференциального, интегрального исчислений и теории обыкновенных дифференциальных уравнений).
1. Арифметическая прогрессия
1.1. а) Пусть {an} ЁC арифметическая прогрессия со знаменателем d. На графике какой функции в плоскости Оху лежат точки с координатами µ §, ЎK , (n,µ §),ЎK? Найдите уравнение этой функции и постройте ее график.

б). Докажите, что последовательность {an}, у которой заданы первые два члена а1 и а2, является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда

an+1 - 2an + an-1 = 0 при всех n = 2,3,ЎK .

в). Являются ли арифметическими прогрессиями последовательности, общий член которых вычисляется по формуле ([x] ЁC целая часть числа х):

а) an = n2, b) an = [n + 1/ 2] , c) an = 1 + 2 µ §; d) an = „Зn -10„З?

г). Пусть {an}, {bn} ЁC арифметические прогрессии. Является ли арифметической прогрессией последовательность:

1) {an + bn}; 2) {an - bn}; 3) {10an - 7bn}; 4) {anbn}; 5) {an/bn}, если bn „j 0?

1.2. Найти числа, одновременно являющиеся членами двух конечных арифметических прогрессий 3, 7, 11, ЎK, 407 и 2, 9, 16, ЎK, 709. Сколько имеется таких чисел?

1.3. О первых семи членах убывающей арифметической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна нулю, а сумма их четвертых степеней равна 51. Найти седьмой член этой прогрессии.

1.4. а) Доказать, что если {an} - арифметическая прогрессия без нулевых членов, то

µ §.

б) Вычислите сумму



µ §.

в)* Доказать, что

µ §.
1.5. Найти четыре целых числа, являющихся последовательными членами арифметической прогрессии, при условии, что наибольшее из них равно сумме квадратов трех остальных.

1.6. Найти все возможные значения суммы убывающей арифметической прогрессии (m ЁCнекоторое целое число)

µ §, µ § , ЎK, µ §.

1.7. Доказать, что если даны две функции f(x) и ѓЪ(x), такие что

f(x) = ѓЪ (x+ d) - ѓЪ(x),

где d ЁC некоторое число, то

f(x) + f(x+d) + f(x+2d) + ЎK+ f(x+nd) = ѓЪ(x+(n+1)d) - ѓЪ(x).

Проверить, что

а) sinµ § (sin x + sin (x + d) + sin(x+2d) +ЎK+sin(x+nd))=µ §;

б) 1 + 3 + 5 + 7 + ЎK + (2n-1) = n2.

1.8. а) Найти сумму квадратов натуральных чисел

S2 = 12 + 22 + 32 + ЎK+ n2.

б) Пусть

Sk = 1k + 2k + 3k + ЎK + nk, k =0, 1, 2, 3, ЎK

Доказать, что

(k+1)Sk +µ § Sk-1 + ЎK + S0 = (n+1)k+1 ЁC nk+1.

в) Используя найденную рекуррентную зависимость, найти S3.

1.9*. Дана бесконечная арифметическая прогрессия, члены которой ЁC целые положительные числа. Один из них ЁC полный квадрат. Доказать, что прогрессия содержит бесконечно много квадратов.

2. Геометрическая прогрессия

Пусть {bn}- геометрическая прогрессия. Докажите, что

а) µ § при 1 „T k „T n-1.

б) bnbm = bkbl , если m+n = k+l.

2.2. Докажите, что если {an} - арифметическая прогрессия с разностью d , то последовательность c общим членом µ §, где b > 0 и b „j 1, является геометрической прогрессией, первый член которой равен µ §, а знаменатель равен bd. Если {bn} - геометрическая прогрессия, у которой первый член b1 и знаменатель q положительны, то последовательность с общим членом

µ §,


где с > 0 и с „j1, является арифметической прогрессией, первый член которой равен logcb1, а разность равна logcq.

2.3. Пусть {an}и {bn}- арифметическая и геометрическая прогрессии соответственно, причем a2 > a1 > 0, a1 = b1, a2 = b2. Доказать, что ak < bk при любом k „d3.

Докажите следующие формулы:

а) µ §


б) если 1 „T k < n, q „j 1, то

µ §


в) Найти Tn = 1 + 2a + 3a2 + 4a3 + ЎK + nan-1.
2.4.(Геометрическая интерпретация) Пусть 0 Докажите, что сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом, равным 1, и со знаменателем q равна ординате точки Dn. Докажите то же утверждение для случая -1< q <0 (рис. 2).


Рис.1 Рис.2

2.5.Найти S = 1 + 11 + 111 + ЎK + 11ЎK1,

где в записи последнего числа этой суммы участвует 1000 цифр.

2.6.Четыре числа b1, b2, b3, b4 образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Если к ним прибавить 6, 7, 6 и 1 соответственно, то получим числа, образующие в том же порядке арифметическую прогрессию. Найдите числа b1, b2, b3, b4.

2.7.Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия содержит член bn = 1/6. Отношение суммы членов прогрессии, стоящих перед bn, к сумме членов, стоящих после bn , равно 6. Найдите n, если сумма всей прогрессии равна 3/4.

Доказать, что условие

µ §,

где b1, b2,ЎK, bn ЁC действительные числа, является необходимым и достаточным для того, чтобы эти числа составляли конечную геометрическую прогрессию.



3. Рекуррентные последовательности

  1   2   3   4   5   6

Похожие:

А. Н. Колмогоров Вавилов В. В., Красников П. М iconА. Н. Колмогоров М.: Просвещение, 2011

А. Н. Колмогоров Вавилов В. В., Красников П. М iconНазвание раздела
Программы по алгебре и началам математического анализа. 10-11 классы. / авт. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б....
А. Н. Колмогоров Вавилов В. В., Красников П. М iconАлександр Александрович Любищев «Такая добровольная каторга»
«когда нибудь окажется бесценной для истории науки XX века». С любищевым переписывались знаменитые биологи Л. С. Берг, Н. И. Вавилов,...
А. Н. Колмогоров Вавилов В. В., Красников П. М iconПриложение 1
Н СССР (1966 г.) и утвержденный мп СССР (1967 г.). В состав этой комиссии входили академик А. Н. Колмогоров, действительный член...
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com