Исследовательская работа по математике «делимость чисел»



Скачать 223,52 Kb.
Дата01.06.2015
Размер223,52 Kb.
ТипИсследовательская работа

Министерство образования и высшей школы Республики Коми
Муниципальное учреждение

«Управление образования администрации

Муниципального образования городского округа «Усинск»
Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №3

с углубленным изучением отдельных предметов

города Усинска Республики Коми»

Исследовательская работа

по математике

«ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ».


Автор: Бударецкий Станислав

ученик 10а класса

Руководитель: Акбулатова

Наталья Владимировна

учитель математики


Усинск

2007год
Содержание:

страницы


I. Введение...........................................................................................................2

II. Делимость чисел.



  1. Свойства делимости. Делимость суммы, разности и произведения..2

  1. Признаки делимости...................................................................................4

  1. НОД и НОК двух чисел. Алгоритм Евклида..............................................6

  1. Нахождение Пифагоровых троек............................................……………9

III. Заключение......................................................................................................12

Список использованной литературы………………………………………………..13

Приложение...........................................................................................................14

I. Введение.

Тема моей исследовательской работы – «Делимость чисел». Натуральные и целые числа знакомы нам с младших классов. Однако задачи о делимости и уравнения в целых числах служат излюбленным материалом для математических олимпиад и факультативов. Данная тема меня заинтересовала, когда при решении одной из задач мне понадобилось подобрать такие два числа, чтобы сумма квадратов этих чисел была бы равна квадрату целого числа. В ходе изучения научно-популярной литературы я встретил формулировку «Великой теоремы Ферма». Она меня натолкнула на решение поставленной задачи.

В данной работе рассматриваются делимость чисел, свойства делимости, делимость суммы, разности и произведения, признаки делимости, НОД и НОК двух чисел, алгоритм Евклида, нахождение Пифагоровых троек.

Цель работы: «Подобрать такие два числа, чтобы сумма квадратов этих чисел была бы равна снова квадрату целого числа» (*).

Чтобы достичь этой цели я поставил перед собой следующие задачи:

- изучить более подробно, чем в школьном курсе, тему «Делимость чисел»;

- рассмотреть решение задач по данной теме;

- найти способ решения поставленной передо мной задачи (*);

- составить программу для компьютера решения задачи (*).

В своей работе я использовал такие методы исследования, как теоретический анализ и наблюдения закономерностей.

В ходе выполнения поставленных целей и задач я опирался на научно-популярную литературу следующих авторов: Виленкина Н.Я., Нестеренко Ю.В., Макарычева Ю.Н., Петрович А.Ю., ресурсы Интернета, а также на журнал «Квант».
II. Делимость чисел.

1. Свойства делимости. Делимость суммы, разности и произведения.

Начнем рассмотрение темы «Делимость чисел» с простейших понятий и формулировок.



Определение: Целое число a делится на целое число b, не равное 0, если существует такое число k, что a = kb.
Свойства делимости:

1. Всякое число a, отличное от 0, делится на себя.

2. Нуль делится на число b, не равное 0.

3. Если a делится на b (b ≠ 0) и b делится на c (c ≠ 0), то a делится на c.

4.Если a делится на b (b ≠ 0) и b делится на a (a ≠ 0), числа a и b либо равны, либо являются противоположными числами.

Проверка на делимость выражений:

1. Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то сумма делится на это число.

2. Если в разности целых чисел уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое число, то разность делится на это число.

3. Если в сумме целых чисел все слагаемые делятся, кроме одного делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.

4. Если в произведение целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

5. Если в произведении двух целых чисел один из множителей делится на m , а другой на n, то произведение делится на mn.



Свойства делимости выражений:

1. Произведение n последовательных чисел делится на n;

2. Произведение трех последовательных чисел делится на 6;

3. Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.



Пример 1.1 Докажите, что на прямой 32x + 48y = 105 нет ни одной точки с целочисленными координатами.

Доказательство: Число 32x делится на 2 и число 48у делится на 2, значит, и сумма этих чисел будет делиться на 2. Число 105 - нечетное, т.е. не делится на 2. Так как левая часть делится на 2, а правая нет, то точек с целочисленными координатами на прямой 32x + 48y = 105 не существует. ч.т.д.

Пример 1.2. Доказать, что сумма 13 + 23 + ... + 483 + 493 делится на 25.

Доказательство: Сгруппируем равноудаленные от концов слагаемые: 13 + 23 + ... + 483 + 493 = (13 + 493) + (23 + 483) + ... (243 + 263) + 253. Затем сложим кубы в скобках: (1 + 49)(12 + 49 · 1 + 492) + (2 + 48)(22 + 48 · 2 + 482) + ... + (24 + 26)(242 + 24 · 26 + 262) + 252 = 50(12 + 49 · 1 + 492) + 50(22 + 48 · 2 + 482) + ... + 50(242 + 24 · 26 + 262) + 252. Так как каждое слагаемое делится на 25, то и сумма будет делиться на 25. ч.т.д.

Пример 1.3. Доказать, что при любом целом n значение выражения n3 - 3n2 - 4n кратно 6.

Доказательство: Выделим в выражении слагаемое, кратное 6: n3 - 3n2 - 4n = n3 - 3n2 + 2n - 6n, затем разложим на множители первые 3 слагаемых: n3 - 3n2 + 2n = n(n - 1)(n-2). Значит, n3 - 3n2 - 4n = n(n-1)(n-2) - 6n, а так как n(n-1)(n+1) делится на 6 (см. выше свойства делимости выражений) и 6n делится на 6, то n3 - 3n2 - 4n кратно 6. ч.т.д.

Пример 1.4. Доказать, что n5 - n делится на 5, при всех целых числах n.

Доказательство: Разложим на множители это выражение n5 - n = n(n4-1) = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n+1)(n-1)(n2+1). В последней скобке вычтем и прибавим 4, получится n(n-1)(n+1)(n2+1)(n2-4+1+4) = n(n-1)(n+1)(n2+1)(n2 - 4 + 5)= ((n - 2)(n+2) +5)n(n-1)(n+1)(n2+1) = n(n-1)(n+1)(n+2)(n-2) +5n(n-1)(n+1)(n2+1). Так как первое слагаемое представляет собой произведение 5 последовательных чисел, оно делится на 5. Второе число тоже делится на 5, значит, и n5-n делится на 5. ч.т.д.
2. Признаки делимости.

Определение: Грань (двузначная, трёхзначная) числа – набор цифр числа, полученный при его разбиении слева направо (по 2, 3 цифры).

Пример 2.1.

1) 4 | 45 | 67 | 60 - деление числа 4456760 на двузначные грани справа налево.

2) 94 | 705 | 854 | 547 деление числа 94705854547 на трехзначные грани справа налево.

Признаки делимости:

1. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда n последних разрядов числа делится на 2n.



Доказательство:

Всякое число можно представить в виде 10nan+10n-1an-1 +...+102a2+10a1+a0. Число 10nan делится на 2n (так как 10n = 5n · 2n), то если 10n-1an-1 +...+102a2+10a1+a0 делится на 2n,а это последние n разрядов, то и число 10nan+10n-1an-1 +...+102a2+10a1+a0 делится на 2n. ч.т.д.

2. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается цифрой 0 или 5.

3. Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, выраженное его двумя последними цифрами, делится на 25.

4. Число делится на 3(9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3(9).

5.1) Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между цифр стоящих на четных местах, и суммой цифр стоящих на нечетных местах, делится на 11.

2) Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма двузначных граней делится на 11.

6. 1) Число делится на 7, 11 или 13 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа делится на 7, 11, или 13 соответственно.

2) Число делится на 37 тогда и только тогда, когда сумма трехзначных граней числа делится на 37.

7. Число делится на 10n тогда и только тогда, когда последние n цифр равны 0.

8. Если натуральное число делится на каждое из двух взаимно простых чисел, то оно делится на их произведение.

Пример 2.2. Делится ли на 11 число a = 94317991999?

Решение: Разобьем на двузначные грани 9|43|17|99|19|99. Вычислим их сумму: 9 + 43 + 17 + 99 + 19 + 99 = 286. Не производя деления, подсчитаем знакочередующуюся сумму цифр полученного числа: 2 – 8 + 6 = 0. Так как 0 делится на 11, следовательно, 286 делится на 11, как и данное число.

Ответ: число a = 94317991999 делится на 11.

Пример 2.3. Являются ли числа 7, 11, 13 делителями числа 5159539?

Решение: Разобьем данное число справа налево на трехзначные грани: 5 | 159 | 539. Знакочередующаяся сумма полученных чисел равна 539 - 159 + 5 = 385. Так как 385 = 5 · 7 · 11 делится на 7 и 11, то данное число делится на 7 и 11, но не делится на 13.

Ответ: числа 7 и 11 являются делителями числа 5159539, а число 13 не является делителем этого числа.

Пример 2.4. Найти все пятизначные числа вида 71X1Y, делящиеся на 132.

Решение: Искомое число должно делиться на 3, 4 и 11, то есть простые делители числа 132. Сумма его цифр равна 9 + X + Y, так что X + Y делится на 3. Знакочередующаяся сумма цифр Y – 1 + X – 1 + 7 = X + Y + 5 должна делиться на 11, откуда X + Y = 6. Для делимости на 4 необходимо, чтобы двузначное число 1Y делилось на 4. откуда Y = 2 или 6. Соответственно X = 4 или 0.

Ответ: 71412 и 71016.

Пример 2.5. Докажите, что при всех целых n число: 10n + 18n - 1 делится на 27.

Доказательство:

10n + 18n - 1 можно представить, как (10n-1) +18n = (10 – 1)(10n-1+

10n-2+...+102+10+1) – 18n = 9(10n-1+10n-2+...+102+10+1) + 18n. Разделив на 9 это выражения нам останется доказать, что 10n-1+10n-2+...+102+10+1 + 2n делится на 3. Выражение 10n-1+10n-2+...+102+10+1 можно представить, как 111…11 – n раз, а если еще прибавить оставшиеся 2n, то получится n + 2n = 3n. Выражение 3n делится на 3, значит, и 10n-1+10n-2+...+102+10+1 + 2n делится 3n, тогда и 10n + 18n - 1 делится на 27. ч.т.д.

Частные признаки делимости:

1.Трехзначное число, написанное одинаковыми цифрами, делится на 37.

2. Если сумма цифр единиц с учетверенной цифрой каждого из остальных разрядов делится на 6, то число делится на 6, и обратно.

3.Если сумма цифр трехзначного числа равна 7, то число будет делиться на 7, если цифра единиц равна цифре десятков.

4.Если сумма всех десятков с учетверенной цифрой единиц делится на 13, то и само число делится на 13.

5.Если сумма удвоенной цифры единиц и утроенного числа десятков числа делится на 17, то число делится на 17.



Пример 2.6. Делится ли число 696563 на 7?

Решение: Разобьем данное число справа налево на трехзначные грани: 696 | 563. Знакочередующаяся сумма полученных граней: 696 - 563 = 133. Цифра единиц этого числа равна цифре десятков, а сумма цифр числа равна 7, значит, число 133 делится на 7, следовательно, и число 696563 делится на 7.

Ответ: число 696563 делится на 7.

Пример 2.7. Доказать, что число 555 делится на 185.

Доказательство: Разложим на простые множители число 185: 185 = 37 · 5. Число 555 делится на 5, так как последняя цифра этого числа равна 5. Число 555 делится на 37, так как это трехзначное число, написанное одинаковыми цифрами. 37 и 5 взаимно обратны, значит, 555 делится на 185.

Ответ: число 555 делится на 185.
3. НОД и НОК двух чисел. Алгоритм Евклида.

Основная теорема арифметики: Любое натуральное число n, большее единицы, можно разложить в произведение простых чисел. Это разложение единственно, с точностью до порядка следования сомножителей.

Если натуральное число a делится на натуральное число b, то b называется делителем числа a, a число a кратным числа b.

Пусть a и b - натуральные числа.

Определение: Число c называют общим делителем для a и b, если оно является делителем и для a, и для b.

Множество общих делителей чисел a и b конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем a. Значит, среди этих делителей есть наибольший, который называется наибольшим общим делителем чисел a и b и для его обозначения используют следующую запись: НОД(a;b). Для его нахождения нужно разложить числа a и b на простые множители. Перемножить общие множители этих чисел - это и будет НОД этих чисел.



Пример 3.1. Найти НОД(48;60).

Решение: Разложим на множители 48 = 24 · 3, 60 = 22 · 3 · 5. Общие множители 22 · 3, значит, НОД(48;60) = 12.

Ответ: 12

Если НОД(a;b) = 1, то такие числа называются взаимно простыми.



Определение: Общим кратным двух чисел a и b называется натуральное число, которое кратно a и b.

Среди общих кратных натуральных чисел a и b есть наименьшее. Его называют наименьшим общим кратным этих чисел и обозначают НОК(a;b). Для его нахождения нужно найти простые делители чисел a и b, а затем перемножить делители, входящие в число a и делители, входящие в число b, но не входящие в число a - это и будет НОК(a;b).



Пример 3.2. Найти НОК(48;60).

Решение: Разложим на множители 48 = 24 · 3, 60 = 22 · 3 · 5. Объединим множители: 22 · 3 · 5. Значит, НОК(48;60) = 240.

Ответ: 240.

Алгоритм Евклида.

Лемма: Пусть a=bc+p, тогда НОД(a,b) = НОД(a,p).

Доказательство: Пусть a и b делятся на k. Тогда, очевидно, bc делится на k и p = a - bc делится на k. Если b и p делятся на e, то bc делится на e и a = bc+p делится на e. Значит, у пары чисел (a;b) множество общих делителей в точности такое же, как у пары чисел (b;p). Отсюда и НОД у этих чисел один и тот же. ч.т.д.

Пример3.3. Найти НОД(6069;663).

Решение: Разделим 6069 на 663 с остатком:

6069 = 663 · 9 + 102. Из леммы следует, что НОД(6069;663) = НОД(663;102). Ищем НОД(663;102). Для этого делим 663 на 102: 663 = 102 · 6 + 5. Применив снова лемму, получаем: НОД(663;102) = НОД(102;51), но 112 делится на 51 без остатка: 102 = 51 · 2, поэтому НОД(102;51) = 51. Следовательно, 51 = НОД(102;51) = НОД(663;102)НОД(6069;663).



Ответ: НОД(6069;663) = 51.

Метод нахождения наибольшего общего делителя, основанный на последовательном приведении леммы, носит специальное название алгоритм Евклида.

Алгоритм Евклида - это простой метод нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. Если у нас есть два натуральные числа, причем a > b, то сначала делим a на b и получаем остаток p, который меньше, чем b. Затем делим b на p1 и находим остаток p2, меньший чем p1. Далее, мы делим число p1 на p2 и получаем остаток p3, меньший, чем p2 и т.д., пока какой-нибудь pk-1 не разделится на остаток pk нацело, без остатка (т.е. pk+1 = 0).

Явно, что указанный процесс обязательно кончится, поскольку каждый остаток меньше предыдущего, а все остатки - неотрицательные числа. Последний остаток pk и есть НОД(a;b).

pk = НОД(pk;pk-1) = НОД(pk-1;pk-2) = ... = НОД(p2;p1) = НОД(p1;b) = НОД(a;b).

Пример 3.4. Пусть a и b - два отрезка, a > b. Отложим b на a столько раз, сколько возможно; получим остаток p1. Отложим p1 на b столько раз, сколько возможно; получим остаток p2. Отложим p2 на p1 сколько возможно; получим остаток p3 и т.д. Если откладывая некоторое pk на pk-1, мы не получили остатка (т.е. pk+1 = 0), то отрезок pk и есть наибольшая общая мера отрезков a и b. Если длинны a и b целые, то все p1, p2, ... также имеют целые длины. Процесс откладывания отрезков оборвется и последний остаток pk и есть НОД(a;b). Если в процессе откладывания отрезков не обрывается, то a и b - называется несоизмеримыми (отношение a/b - иррационально).

Рассмотрим пример использования алгоритма Евклида в решении геометрической задачи:



Пример 3.5. От прямоугольника 324 см x 141 см отрезали несколько квадратов со стороной 141 см, пока не останется прямоугольник, у которого одна из сторон меньше 141 см. От полученного прямоугольника снова отрезают квадраты, стороны которых равны его меньшей стороне, пока это все возможно, и т.д. (см. рисунок).

На какие квадраты разрезан будет прямоугольник? (Укажите их размеры и количество).





Решение: Так как от прямоугольника отрезаются квадраты со сторонами меньшей стороны прямоугольника, то нужно найти НОД чисел 141 и 324, который будет показывать на сколько квадратов был разделен последний прямоугольник. В ходе решения мы найдем остальные квадраты, причем остатки от деления и будут сторонами следующих квадратов (из условия). 324 = 141 · 2 + 42, значит, было отрезано 2 квадрата размерами 141 см x 141 см. НОД(324;141) = НОД(141;42). 141 = 42 · 3 + 15, значит, было отрезано 3 квадрата размерами 42 см x 42 см. НОД(141;42) = НОД(42;15). 42 = 15 · 2 + 12, значит, было отрезано 2 квадрата размерами 15 см x 15 см. НОД(42;15) = НОД(15;12). 15 = 12 · 1 + 3, значит, был отрезан 1 квадрат размерами 12 см x 12 см. НОД(15;12) = НОД(12;3). 12 = 3 · 4, значит, последний прямоугольник будет полностью разрезан на 4 квадрата размерами 3 см x 3 см.

Ответ: прямоугольник будет разрезан на квадраты: 2 квадрата 141 см x 141 см, 3 квадрата 42 см x 42 см, 2 квадрата 15 см x 15 см, 1 квадрат 12 см x 12 см и 4 квадрата 3 см x 3 см.
4. Нахождение пифагоровых троек.

Пифагор и Платон, а возможно еще раньше вавилонские математики, знали, что уравнение x2 + y2 = z2 имеет бесконечно много решений в целых числах. Древнегреческому математику Диофанту (окю.250 г до н.э.) было известно, что каждое такое решение представимо в виде x = r2 + s2, y = 2rs, z = r2 + s2 при подходящих целых числах r и s, и что при любых двух целых числах r и s соответствующие значения x, y и z образуют решение.



Определение: Пифагорово число (пифагорова тройка) – комбинация из трех целых чисел (x;y;z), удовлетворяющих соотношению Пифагора: x2 + y2 = z2.

Пример 4.1. Некоторые пифагоровы тройки: (3;4;5): 32 + 42 = 52; (6;8;10): 62 + 82 = 102; (20;21;29): 202 + 212 = 292; (12;35;37): 122 + 352 = 372; (9;40;41): 92 + 402 = 412.

Мне удалось доказать следующее утверждение:



Утверждение: К любому целому числу, по модулю большего двух, можно подобрать такое число, что сумма квадратов этих чисел равна квадрату целого числа.

Доказательство:

Разность между квадратами двух целых чисел n+1 и n равна (n+1)2 - n2 = n2 + 2 · n - 1 – n2 = 2 · n - 1 или нечетному числу. А так как, квадрат любого нечетного числа равен нечетному числу, то для любого нечетного числа (кроме единицы), можно подобрать такое число, что сумма квадратов этих чисел равна целому числу. Любое число, делящееся на 4 (кроме 2 и 0) можно представить в виде суммы двух нечетных чисел следующих друг за другом: 4n = (2n + 1) + (2n – 1). Разность квадратов двух целых чисел следующих через две единицы n+1 и n-1 равна (n + 1)2 – (n – 1)2 = n2 + 2n + 1 – (n2 - 2n + 1) = n2 + 2n + 1 – n2 + 2n - 1 = 4n или числу кратному 4. Так как квадрат любого четного числа делится на 4. Поэтому любому четному числу (не равному 0 и 2), можно подобрать такое число целое число, что сумма квадратов этих чисел снова равна квадрату целого числа. ч.т.д.



Метод нахождения пифагоровых троек при заданном числе.

Пусть дано некоторое число x. Нужно найти такие числа y и z, что x2 + y2 = z2.

По формуле квадрата суммы (a + b)2 = a2 + 2ab + b = a2 + b(2a + b), значит, (a + b)2 = a2 + b(2a + b). Если x2 = b(2a + b), то y2 =a2, а z2 = (a + b)2. Можно выразить a: a = (x2 - b2)/(2b). Так как a - целое число, то x2 должно делится на b (см. пункт 2 делимость разности), но при этом b < x, так как при b = x, х = 0, а его находить нет смысла, при b>x, a < 0, но так как это квадратное уравнение, то можно взять положительные корни с противоположным знаком. Разность должна быть четной (x2 - b2), а это достигается при четности или нечётности чисел x и b. Значит, число b - будет являться делителем числа x и b < x, причем если x - нечетное число, то и b - нечетное, а если x - четное, то и b четное и 2k не кратно b, где k - степень числа 2 при разложении на простые множители числа x2. Найдя a, мы и найдем y, и последнее число z = a + b. Тем самым мы нашли все пифагоровы тройки с заданным числом x. При этом, чем больше делителей у числа, тем больше троек можно составить.

Общий план нахождения пифагоровых троек при заданном числе:

1. (a + b)2=a2 + b(2a + b) , квадрат заданного числа равен x2 = b(2a + b). (1)

2. Находим делители числа x, соблюдая правила: b < x и если x - нечетное число, то и b - нечетное, а если x - четное, то и b четно и 2k не кратно b, где k - степень числа 2 при разложении на простые множители числа x2.

3. Находим число a, выразив из формулы (1). y = a.

4. z = a + b. Возвращаемся в пункт 3, подставляем следующий делитель.

5. Когда все делители закончились, записываем все тройки чисел (x; y; z).



Пример 4.2. Найти все пифагоровы тройки с числом 6.

Решение: Найдем все делители числа 62, меньшие 6. Для этого разложим его на простые множители: 62 = 22 · 32. Отсюда делители числа 6, удовлетворяющие условию: 2 и 4. Берем первый делитель 2 и находим пифагорову тройку: y = (62 – 22).(2 · 2) = 8, z = y + 2 = 10. Число 4 не удовлетворяет, так как 4 = 2k, где k = 2 – степень числа 2 при разложении на множители числа 62.

Ответ: (6;8;10)

Пример 4.3. Дано: катет прямоугольного треугольника равен 12. Найдите другой катет и гипотенузу, если они выражаются натуральными числами.

Решение: По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Обозначим катет - x, а гипотенузу за y, тогда 122 + x2 = y2. Найдем все делители числа 122, меньшие 12. Для этого разложим на простые множители число 12: 12 = 22 · 3, значит, 12 = 24 · 32, отсюда находим все четные делители 122: 2, 4, 6, 8. Находим второй катет при делители 2: x = (122 – 22)/(2 · 2) = 35, отсюда гипотенуза равна y = x + 2 = 37. Находим следующие пары. Делитель 4: x = (122 – 42)/(2 · 4) = 16, y = 20. Делитель 6: x = (122 – 62)/(2 · 6) = 9, y = 15. Делитель 8: x = (122 – 82)/(2 · 8) = 5, y = 13. Мы нашли все возможные варианты решения.

Ответ: (12;35;37), (12;16;20), (12;9;15), (12;5;13).

Мне удалось составить компьютерную программу на языке Pascal (см. Приложение).


III. Заключение.

Вот и подошла к концу моя исследовательская работа. В начале своей работы я ставил перед собой много целей и задач и, на мой взгляд, со всеми ими справился. Кроме того, я узнал много новой и познавательной информации о делимости чисел. В ходе изучения научно-популярной литературы я встретил формулировку «Великой теоремы Ферма»: «Для любого целого n > 2 уравнение: хn + yn = zn не имеет положительных целых решений x, y и z».

Это, наверное, самая знаменитая теорема во всей математике. Теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное решение доказательство слишком длинно, чтобы его можно было здесь поместить. Позже Ферма опубликовал доказательство случая n = 4. Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 году – для n = 5. Свой вклад в доказательство внесли Ламе, Софии Жермен, Куммер и многие другие выдающиеся математики. Усилия по доказательству теоремы привели к получению многих результатов современной теории чисел. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение хn + yn= zn при n > 3 имеет конечное число взаимно простых решений. Последний шаг в доказательстве теоремы был сделан только в сентябре 1994 года Эндрю Уайлсом. 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics».

«Великая теорема Ферма» заинтересовала меня тем, что уже порядка более трёхсот пятидесяти лет учёные так и не могут найти элементарного доказательства этой теоремы. В перспективе я хочу попытаться всё-таки доказать эту Великую теорему в том виде, как ее мог доказать сам Ферма.



Приложение. Компьютерная программа решения задачи на языке Pascal.


program yPABHEHuE;

uses crt;

var k,l:integer;

i:longint;

x,a:longint;

y,z:real;

begin

textbackground(yellow);



clrscr;

gotoxy(25,3);

textcolor(blue);

writeln ('Введите целое число не равное по модулю большее 2 ');

textcolor (red);

gotoxy(40,4);

readln(a) ;

x:=abs(a);

writeln;

for i:= 1 to 20 do begin

if (x=1) or (x=0) or (x=2) Then

begin writeln ('Это число не удовлетворяет условию введите другое число');

textcolor(red);

readln(a);

x:=abs(a);

k:=K+2;


end else end;

l:=k;


textcolor(blue);

If x mod 2 = 1 Then begin writeln; Writeln ('Возможные варианты решения уравнения');

textcolor(black);

writeln; for i:=1 to x-1 do

if (i mod 2 = 1) and (x*x mod i = 0) then begin

k:=K+1;


y:=(x*x-i*i)/(2*i);

z:=y+i;


if k<=43 then gotoxy (1,7+k);

If (k>43) and (k<=86-l )

then gotoxy(30,7+k-43+l);

if k>86-l then gotoxy(60,7+k-86+l);

write('(',a,';',y:1:0,';',z:1:0,')');

end;


end;

textcolor(blue);

If x mod 2 = 0 then begin writeln ; Writeln ('Возможные варианты решения уравнения');

for i:=1 to x-1 do

if (x*x mod i = 0) and (i mod 2 = 0) then begin

y:=(x*x-i*i)/(2*i);

z:=y+i;

k:=k+1;


if not (z=round(z)) then k:=k-1;

if k<=43 then gotoxy (1,7+k);

If (k>43) and (k<=86-l) then gotoxy(30,7+k-43+l);

if k>86-l then gotoxy(60,7+k-86+l);

textcolor(black);

if z=round(z) then write('(',a,';',y:1:0,';',z:1:0,')');



end;

end;


readln

end.

Похожие:

Исследовательская работа по математике «делимость чисел» iconРешение уравнений и неравенств с модулем Исследовательская работа Холодных Сергей
Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области...
Исследовательская работа по математике «делимость чисел» iconПрограмма государственного экзамена по математике и теории и методике обучения математике для студентов, обучающихся по специальностям математика с дополнительной специальностью физика, информатика с дополнительной специальностью математика
Множество действительных чисел. Изображение действительных чисел на прямой. Свойства действительных чисел: упорядоченность, непрерывность,...
Исследовательская работа по математике «делимость чисел» iconНаучно-исследовательская деятельность
Необходимым элементом учебного процесса является научно- исследовательская работа преподавателей (нир) и студентов (нирс), позволяющая...
Исследовательская работа по математике «делимость чисел» iconИсследование пифагоровых чисел
Работа над данной темой велась в течение 6 месяцев. По окончанию исследовательской работы сделаны соответствующие выводы и намечен...
Исследовательская работа по математике «делимость чисел» iconСправочник по элементарной математике Множество натуральных (природных) чисел n =
Нок (наименьшее общее кратное) чисел m и n можно получить, если составить произведение простых делителей, взятых в наибольшей степени,...
Исследовательская работа по математике «делимость чисел» iconИсследовательская работа "Шотландские кланы "

Исследовательская работа по математике «делимость чисел» iconИсследовательская работа Пищевые добавки и их влияние на здоровье

Исследовательская работа по математике «делимость чисел» iconПрограмма вступительного экзамена (теста) по математике Арифметика, алгебра и начала математического анализа
Натуральные числа. Делимость. Простые и составные числа. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
Исследовательская работа по математике «делимость чисел» iconИсследовательская работа: «Школьный мел и его влияние на здоровье учителей»

Исследовательская работа по математике «делимость чисел» iconИсследовательская работа по математике «Свойства педального треугольника. Точка Брокара» Полякова Юлия Васильевна
Брокара. Были использованы такие понятия как педальный треугольник, угол Брокара, точка Брокара, прямая Симсона. В работе показано...
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com