Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю



Скачать 78,25 Kb.
Дата16.06.2015
Размер78,25 Kb.
ТипПрограмма

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАДРЫ ВЫСШЕЙ КВАЛИФИКАЦИИ

(АСПИРАНТУРА)
Утверждаю

Декан Механико-математического факультета НИ ТГУ

_________________ В.Н. Берцун

«27» марта 2014 г.



ПРОГРАММА

вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»

(направление подготовки: 01.06.01 – Математика и механика)

Томск 2014

В основу программы положены следующие разделы вузовских дисциплин: математический анализ, теория функций комплексного переменного, функциональный анализ, дифференциальные уравнения.


Общие положения

Программа вступительного экзамена по профилю «Вещественный, комплексный, функциональный анализ» предназна­чена для поступающих в аспирантуру в качестве руководящего учебно-­методического документа для целенаправленной подготовки к сдаче вступи­тельного экзамена.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

  1. Различные подходы к построению теории вещественных чисел. Полнота множества вещественных чисел.

  2. Метрические пространства. Полные метрические пространства.

  3. Свойства непрерывных отображений компактных множеств.

  4. Формула Тейлора для вещественной функции вещественного аргумента. Различные формы остаточного члена.

  5. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Признаки сравнения. Признаки Коши, Даламбера, Дирихле, Лейбница, интегральный признак.

  6. Построение меры Лебега в .

  7. Определение и свойства интеграла Лебега. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега.

  8. Основные операции анализа над функциональными рядами.

  9. Дифференциал отображения из в . Производная матрица (матрица Якоби). Основные правила дифференцирования. Теорема о смешанных производных.

  10. Замена переменных в кратном интеграле.

  11. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.

  12. Внешние дифференциальные формы и их интегрирование на многообразиях в . Формулы Грина, Гаусса, Остроградского, Стокса.


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  1. Геометрическая интерпретация уравнения . Поле направлений. Изоклины. Интегральные линии. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения и для нормальной системы.


ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  1. Интегрирование функции комплексного переменного по кусочно-гладкой кривой

Интегрирование по замкнутым кривым: интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши. Принцип максима модуля. Основная теорема Коши о вычетах. Принцип аргумента.

  1. Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора, в ряд Лорана

Разложение голоморфной в круге функции в степенной ряд. Множество и круг сходимости степенного ряда. Разложение голоморфной в кольце (в окрестности изолированной особой точки) функции в ряд Лорана. Теорема Сохоцкого. Непосредственное аналитическое продолжение.

  1. Конформные отображения плоских областей

Понятие конформности в точке и в области. Теорема Римана о существовании и единственности конформного отображения односвязной области на круг. Лемма Шварца. Интеграл Кристоффеля-Шварца.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

  1. Нормированные пространства и линейные операторы.

Неравенства Гельдера и Минковского для рядов и интегралов. Полнота. Сепарабельные нормированные пространства. Линейный ограниченный оператор. Примеры ограниченных и неограниченных линейных операторов. Пространство линейных ограниченных операторов.

2. Теорема Банаха-Штейнгауза. Поточечная сходимость операторов.3. Изоморфизмы и изометрии нормированных пространств. Некомпактность единичного шара в бесконечномерном нормированном пространстве.

4. Теорема Банаха об обратном операторе. Теорема о замкнутом графике.

5. Теоремы Хана-Банаха (аналитическая форма, для комплексного случая, для нормированных пространств). Следствия. Функционал Минковского. Геометрическая форма теоремы Хана-Банаха.

6. Относительно компактные множества. Теорема Хаусдорфа об -сетях. Теорема Арцела-Асколи. Вполне непрерывные операторы. Вполне непрерывность оператора Фредгольма в пространствах С[a,b] и L2[a,b]. Вполне непрерывность предельного оператора. Конечномерные операторы.

7. Гильбертовы пространства. Неравенство Коми-Буняковского. Ортогональность. Теорема о наилучшем приближении. Теорема о проекции.

8. Ортонормированные системы. Теорема Шмидта об ортогонализации линейно-независимой системы. Общий вид функционала в гильбертовых пространствах.

9. Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Самосопряжённые операторы. Теорема о норме самосопряжённого оператора. Вполне непрерывные операторы в гильбертовом пространстве. Приближение вполне непрерывных операторов конечномерными.

10. Теорема Стоуна-Вейерштрасса.

11. Спектральная теория линейных операторов.

12. Спектр самосопряжённого оператора.

13. Спектр вполне непрерывного оператора.

14. Теорема Гильберта-Шмидта и её применение.

15. Теорема о неподвижной точке и её применения. Решение уравнений Вольтерра.

16. Функции ограниченной вариации и их свойства. Теорема Жордана. Интеграл Стильтьеса. Общий вид функционала на пространстве С[a,b].

17. Элементы общей теории меры. Последовательности измеримых функций. Различные виды сходимости. Теорема Егорова и теорема Лузина.

18. Функциональное исчисление линейных операторов. Теоремы об отображении спектра. Нормальные, унитарные операторы. Их спектры. Положительные операторы. Теорема о корне. Спектр положительного оператора.

Литература


(Функциональный анализ)

  1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа.T.1,1988, т. 2, т. 3.

  2. Зорич В.А. Математический анализ, ч.1,1981; ч. 2, 1984.

  3. Шилов Г.Е. Математический анализ, функции одного переменного. Ч.3, 1970.

  4. Рудин У. Основы математического анализа. 1976.

  5. Клементьев З.И. Курс лекций по теoрии функций действительного переменного, 1978.

  6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1,2,3.

  7. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Т. 1, 1985.

  8. Сибиряков Г.В. Аксиоматическая теория вещественного числа. В книге «Место математического анализа как науки в подготовке специалистов на МММ ТГУ. Томск: ТГУ, 2008»

  9. Александров И.А. Теория функций комплексного переменного. Томск. ун-т, 2002.

  10. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1975 (и последующие издания).

  11. Евграфов М.А. Аналитические функции. – М.: Наука, 1991.

  12. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1967 (и последующие издания).

  13. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Т. I и II. М.: Наука, 1976.

  14. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

  15. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1959.

а) Основная литература



  1. 1. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. – М.: Высшая школа, 1982.

  2. Треногин В.А. Функциональный анализ и его применение. – М.: Наука, 1980.

  3. Колмогоров А.А., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1968.

  4. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1987.

б) Дополнительная литература



  1. В. Хатсон, Дж. Пим. Приложения функционального анализа и теории операторов. – М.: Мир, 1983.

  2. М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1977.

  3. Ф. Рисс, Б. Секфальфи-Надь. Лекции по функциональному анализу. – М.: Мир, 1979.

в) Учебно-методические пособия

1. C.П. Гулько, Л.Н. Гензе, Т.Е. Хмылева, В.Р. Лазарев. Электронно-образовательный ресурс по функциональному анализу. 2011

Составители программы: д.ф.-м.н., профессор Гулько С.П., к.ф.-м.н., доцент Копанев С.А.



Программа сформирована на основе федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования по программам специалитета и магистратуры.
Программа рассмотрена и утверждена методической комиссией ММФ 30.01.14г., протокол № 1.
Программа утверждена на заседании Ученого совета механико-математического факультета ТГУ 27.02.14г., протокол № 6.


Похожие:

Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю iconПрограмма вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю «Геоморфология и эволюционная география»
Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю
Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю iconПрограмма вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю

Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю iconПрограмма вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю «Геометрия и топология»
В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: геометрия
Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю iconПрограмма вступительного экзамена по специальной дисциплине, соответствующей профилю направления подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре 47. 06. 01 «Философия, этика и религиоведение»
Программа вступительного экзамена по специальной дисциплине, соответствующей профилю направления подготовки научно-педагогических...
Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю iconПрограмма вступительных экзаменов по специальным дисциплинам, соответствующих профилю
Востока, русской философской традиции; знакомство с классическими философскими текстами
Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю iconПрограмма вступительных испытаний поступающих на обучение по программам подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре по специальной дисциплине

Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю iconПрограмма вступительных экзаменов в аспирантуру по профилю «Этнология, этнография и антропология»
Предмет этнологии. Соотношение понятий этнология, история, этнография, культурная и социальная антропология. Эволюция представлений...
Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю iconПрограмма вступительных экзаменов в аспирантуру для поступающих на обучение по направлению подготовки: 44. 06. 01- образование и педагогические науки
Программа вступительных экзаменов предназначена для выпускников магистратуры высших учебных заведений, планирующих продолжать обучение...
Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю iconПрограмма вступительных экзаменов по биологии для абитуриентов, поступающих
Программа вступительных экзаменов по биологии для абитуриентов, поступающих на базе основного общего образования (9 классов)
Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю iconПрограмма вступительного экзамена по дисциплине «обществознание»
Программа составлена в соответствии с Примерной программой вступительных экзаменов по обществознанию в целях обеспечения равных прав...
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com