Курс лекций по геометрии с примерами решения задач



страница1/36
Дата16.06.2015
Размер2,05 Mb.
ТипКурс лекций
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   36


КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ГЕОМЕТРИИ

С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Часть I. Аналитическая геометрия

Для самостоятельной работы студентов

физического и математического факультетов

УДК 514.072

ББК 22.151 р 30



Автор: доцент кафедры геометрии и математического анализа

УО «ВГУ им. П.М.Машерова», кандидат физико-математических

наук М.Н.Подоксенов
Рецензент: доцент кафедры прикладкой математики УО «ВГУ им. П.М.Машерова,

кандидат физико-математических наук Л.В.Командина

Данное учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с типовой учебной программой по курсу «Геометрия» для студентов физического факультета обучающихся по специальности «физика и математика». Излагаются теоретический материал и примеры решения задач.

Рекомендуется также для студентов очного и заочного отделений математического факультета, обучающихся по специальности «Математики и информатика».


УДК 514.072

ББК 22.151 р 30

 Подоксенов М.Н., 2008.



СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ 8

ГЛАВА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 9

§1. Направленные отрезки. Понятие вектора. 9

§2. Операции над векторами. 10

§3. Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве. 13

§4. Проекция вектора на ось. 14

§5. Скалярное произведение векторов. 16

§6. Координаты вектора и точки на прямой. 18

§7. Координаты вектора и точки на плоскости. 18

§8. Координаты вектора и точки в пространстве. 21

§9. Деление отрезка в данном отношении. 23

§10. Векторное произведение. 23

§11. Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах. 25

§12. Смешанное произведение векторов. 28

§13. Двойное векторное произведение. 30

§14. Полярная система координат на плоскости. 31

§15. Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве. 32

§16. Преобразование координат. 33

§17. Общее преобразование координат в пространстве. 37

§18. Примеры решения задач. 38

Решение. Вектор = +· имеет координаты (17 – , 0 + ). Находим его длину и приравниваем ее к 25. Получаем квадратное уравнение относительно неизвестного : 39

Решение. Координаты вектора (x, y), полученного из вектора (x, y) поворотом на угол , вычисляются по формулам: 39

Обозначим  = BAD. 40

sin  = = . 40

ГЛАВА 2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ 45

§1. Уравнение кривой и поверхности. 45

§2. Уравнение прямой на плоскости. 49

§3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. 54

§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой. 56

§6. Пучок прямых. 58

§7. Уравнение плоскости в пространстве. 60

§8. Уравнение плоскости в нормальной форме. Расстояние от точки до плоскости. 63

§9. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. 64

§10. Уравнение прямой в пространстве. 65

§11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. 67

§12. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми. 68

§13. Примеры решения задач. 71

x1= = = , y1= = = , M1 . 71

Аналогично M3(–1,–3). 71

Аналогично = (9, 9)  l3 . Поэтому уравнение l1: 71

Имеем О = l1  l3. Поэтому, чтобы найти координаты точки О необходимо решить совместно уравнения l1 и l3 : 71

Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4: 71

Подставляем найденное t в уравнение l и находим координаты точки D(–3,–2). Для того, чтобы найти координаты E вспомним физический смысл параметрического уравнения прямой: оно задает прямолинейное и равномерное движение. В нашем случае, начальная точка – это О, вектор скорости – это . Отрезок ОE вдвое длиннее отрезка ОD. Если за время tD = – мы прошли путь от О до D, то путь от О до E мы пройдем за время tE = 2tD = –1. Подставляя это значение в (*), находим E(– 4,5;–1). 73

Точка D делит отрезок BC пополам. Поэтому 73

xD = , yD = . 73

Отсюда находим 73

xС = , yD = , 73

xP = = = – , 73

yP = = = – . 73

xD = = = 4, 74

( + 5) x + (– + 4) y – 3 – 9 = 0. 74

Вспомним физический смысл параметрического уравнения прямой: оно задает прямолинейное и равномерное движение. В нашем случае, начальная точка – это S, вектор скорости – это . Отрезок SS вдвое длиннее отрезка SD и на его прохождение понадобится вдвое больше времени. Если за время tD = – 1 мы прошли путь от S до D, то путь от S до S мы пройдем за время t= 2tD = –2. Подставляя это значение в (*), находим S(–16, 15; 2). 76

ГЛАВА 3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 87

§1. Эллипс. 87

§2. Гипербола. 90

§3. Конические сечения. Парабола. 93

§4. Касательные к коническим сечениям. 98

§5. Диаметры конических сечений. 99

§6. Уравнения конических сечений в полярной системе координат. 101

§7. Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой. 102

§8. Классификация центральных кривых второго порядка (случай   0). 105

§9. Классификация нецентральных кривых второго порядка (случай  = 0). 107

109

§10. Примеры решения задач. 109



Если 111

Значит, кривая имеет центр. Найдем координаты центра (хo, yo) из системы уравнений (10): 111

Слагаемые с xy должны сократиться. Кроме того, если  = 0, то одна из переменных в квадрате сокращается полностью: 116

ГЛАВА 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 118

§1. Цилиндрические поверхности. 118

§2. Конические поверхности. 120

§3. Поверхность вращения. 123

§4. Эллипсоид. 125

§5. Однополостной и двуполостной гиперболоиды. 127

§6. Эллиптический и гиперболический параболоиды. 130

§7. Классификация поверхностей второго порядка. 132

§8. Примеры решения задач 136

ПРИЛОЖЕНИЕ 142

§1. Матрицы и определители. 142

§2. Правило Крамера. 143

Используемые сокращения 145

Алфавитный указатель 145

Литература 147




  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   36

Похожие:

Курс лекций по геометрии с примерами решения задач iconЭлективный курс «Методы решения физических задач: 10-11 классы»
Элективный курс, «Методы решения физических задач» рассчитан на учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений универсального...
Курс лекций по геометрии с примерами решения задач iconКурс лекций социология 1 Курс лекций 1
Данный курс лекций подготовлен в соответствии с Государственным образовательным стандартом, в нем нашли отражение основные темы курса,...
Курс лекций по геометрии с примерами решения задач iconИсследование окружности и её свойств в теоремах для решения задач работу
Раскрой материала с минимальными отходами, расчет центра тяжести изделия и оценка его прочностных свойств, построение изысканного...
Курс лекций по геометрии с примерами решения задач iconПояснительная записка Курс рассчитан на 17 часов
Для успешного решения геометрических задач необходимо свободно владеть всем теоретическим материалом. Но и при хорошем знании теории...
Курс лекций по геометрии с примерами решения задач iconКурс лекций область применения
Настоящий стандарт распространяется на разработку курса лекций и отдельных лекций по учебным дисциплинам любого профиля
Курс лекций по геометрии с примерами решения задач iconКурс лекций область применения настоящий стандарт распространяется на разработку курса лекций и отдельных лекций по учебным дисциплинам любого профиля
Стандарт устанавливает единые требования в структуре и форме представления курса лекций как учебного пособия
Курс лекций по геометрии с примерами решения задач iconА. В. Холопцев морская метеорология и океанография курс лекций
Курс лекций и материалы для самостоятельной работы по дисциплине «Гидрометеорологическое обеспечение судовождения» для студентов...
Курс лекций по геометрии с примерами решения задач iconПрограмма по математике факультативный курс «геометрия вокруг нас»
Для учеников 7 класса в этом отношении будет очень полезен предлагаемый элективный курс по геометрии содержащий большое количество...
Курс лекций по геометрии с примерами решения задач iconУчебная программа Дисциплины р5 «Акустические методы исследований в биологии и медицине»
Основное внимание при чтении лекций уделяется приближенным методам решения задач распространения и рассеяния скалярных волн в средах...
Курс лекций по геометрии с примерами решения задач iconУрок пара Тип урока: Комбинированный урок: повторительно обобщающий с элементами проверки знаний
Цель урока: Повторить теорию по геометрии(7-9 кл.), знание которой необходимо для успешного решения заданий гиа по геометрии; продолжить...
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com