Программа дисциплины «симплектическая геометрия и ее приложения»



Скачать 164,9 Kb.
Дата16.06.2015
Размер164,9 Kb.
ТипПрограмма дисциплины

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА теоретической физики.

Утверждаю

Декан физического факультета

Кузнецов В.М.

« » 200 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ


«СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ»

Рекомендовано

методической комиссией

физического факультета


председатель методической

комиссии

________________________

« »____________ 200 г.

Томск – 2005 г.
Программа обсуждена и на заседании кафедры теоретической физики

________________________

(дата)
Заведующий кафедрой Шаповалов Александр Васильевич

I. Oрганизационно-методический раздел
1. Цель курса.

Программа предназначена для магистрантов физического факультета.

2. Задачи учебного курса

После изучения курса студент должен:



  • иметь общее представление о роли симплектических методов в

теоретическом исследовании физических систем

  • владеть навыками применения симплектических методов в исследовании

конкретных моделей классической и квантовой механики

  • знать классификацию элементарных динамических систем соответствующих данной группе Ли методом орбит и уметь анализировать таковые для групп Пуанкаре, Галилея, Гейзенберга-Вейля и других важнейших примеров..

  • владеть общими методами геометрического и деформационного квантования

3. Требования к уровню освоения курса

Курс рассчитан на один семестр. Требования к разделам программы определяются государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования к уровню подготовки выпускника по специальности 010400-физика.

.
II. Содержание курса

Традиционно методы симплектической геометрии занимают важное место в математи-

ческом аппарате классической механики. Однако во второй половине двадцатого века область их применения в физике несравненно расширилась. В настоящее время симплекти-ческие методы широко используются в теории интегрируемых систем, в статистической механике, в оптике, в методах квантования и т.д., причем в большинстве случаев использо-вание языка и методов симплектической геометрии является не просто удобным математи-ческим приемом, а наилучшим образом отражает сущность физических систем.


В курсе излагаются, с подробными доказательствами, основные факты о локальной

и глобальной геометрии симплектических и пуассоновых многообразий, техника

гамильтоновой редукции, классификация элементарных динамических систем с

данной группой симметрии (метод Костанта-Кириллова-Сурьо), выводятся обобщенные правила квантования Бора-Зоммерфельда как критерий квантуемости многообразия

классической механики, излагается и иллюстриуется на примерах метод геометрического квантования, дается общее понятие о деформационном квантовании.

.

Требования к разделам программы курса определяются государственным образовательным стандартам высшего профессионального образования к уровню подготовки выпускников по специальности физика.


1. Темы и краткое содержание

Тема I. Линейная симплектическая геометрия.



  1. Общий обзор и аргументация предмета.

  2. Кососимметрические билинейные функционалы. Канонический базис. Невырожденные функционалы. Пфаффиан.

  3. Симплектические векторные пространства.. Канонические преобразования. Симплектическая группа и ее алгебра Ли. Конформная симплектическая группа. Антиканонические преобразования.

  4. Полярное разложение. Топология симплектической группы.

  5. Изотропные, коизотропные и лагранжевы подпространства.

  6. Согласованные комплексные структуры. Многообразие лагранжевых подпространств.

  7. Трансверсальные лагранжевы подпространства. Индекс Маслова. Формула Лере.

Тема II. Геометрия симплектических многообразий



  1. Симплектические многообразия. Теорема Дарбу.

  2. Кокасательные расслоения. Симплетический потенциал.

  3. Скобки Пуассона. Гамильтоновы векторные поля.

  4. Гамильтонова редукция на подмногообразие. Предсимплектические многообразия.

  5. Принцип Гамильтона с точки зрения симплектической геометрии.

  6. Преобразование Лежандра. Фазовое пространство.

Тема III. Метод Кириллова-Костанта-Сурьо

  1. Роль симметрии. Понятие элементарной динамической системы.

  2. Отображение комоментов.Существование и произвол отображения комоментов.

  3. Существование комоментов для полупростых алгебр Ли и для неоднородных псевдоортогональных алгебр Ли.

  4. Метод Кириллова-Костанта-Сурьо классификации элементарных динамических систем (метод орбит). Коприсоединенное действие. Геометрия орбит. Отображение моментов.

  5. Элементарные динмические системы для групп SO(3), Пуанкаре, Галилея и Гейзенберга.

  6. Невырожденные коприсоединенные орбиты.

  7. Периодические гамильтоновы системы. Расширенная симметрия в задаче Кеплера. Природа кулонова вырождения.

Тема IV. Обобщенные правила квантования Бора-Зоммерфельда



  1. Принцип соответствия. Эвристическая конструкция предквантования.

  2. Эрмитовы линейные рсслоения со связностью. Существование и классификация таких расслоений.Группа и алгебра Ли диффеоморфизмов линейного расслоения, сохраняющих связность, как центральное расширение алгебры гамильтоновых векторных полей.

  3. Предквантование на симплектическом многообразии. Квантуемые многообразия. Каноническое предквантование.

  4. Условие квантования Бора-Зоммерфельда. Квантуемые (пред)симплектические многообразия.

  5. Предквантование элементарных динамических систем.

Тема V. Геометрия лагранжевых слоений и поляризация на симплектических многообразиях.



  1. Понятие вещественной поляризации. Основные примеры. Ковариантное дифференцирование вдоль слоев поляризации (связность Ботта).

  2. Теорема о глобальной геометрии симплектического многообразия с вещественной поляризацией.

  3. Кэлерова и комплексная поляризация. Сильная интегрируемость. Согласованный симплектический потенциал. Основные примеры. Теорема о глобальной геометрии симплектического многообразия с сильно интегрируемой комплексной поляризацией.

  4. Гамильтонова редукция поляризации. Предполяризация. Поляризация элементарных динамических систем.

Тема VI. Метод геометрического квантования и его приложения.



  1. Метод геометрического квантования. Квантование на кэлеровых многообразиях.

  2. Волновые функции как полуплотности. Квантование полуплотностей. Конструкция спаривания. Каноническое квантование как иллюстративный пример.

  3. Спаривание поляризаций. Правило соответствия Блаттнера-Костанта-Стернберга (БКС). Проблема существования БКС-ядра.

  4. Влияние топологии на физическую систему. Монополи и квантование заряда. Эффект Ааронова-Бома.

  5. Пример элементарной динамической системы: квантование углового момента.

  6. Примеры спариваний: преобразование Фурье, преобразование Баргманна, спаривание кэлеровых поляризаций.

  7. Квантование на римановом многообразии. Оператор Лапласа-Бельтрами. Стационарное уравнение Шредингера.

Тема VII. Концепция деформационного квантования.



  1. Пуассоновы многообразия. Регулярные пуассоновы многообразия. Примеры пуассоновых многообразий. Пуассонова связность.

  2. Деформация скобки Пуссона. Физический смысл деформации.

  3. Деформация линейной скобки. Скобка Мойала. Проблема деформации скобки общего вида.

  4. Многообразия Федосова. Конструкция Федосова деформации невырожденной скобки.

  5. Конструкция абелевой связности и алгебра плоских сечений расслоения Федосова. Индуцированное -произведение в пуассоновой алгебре.

  6. Представление канонических преобразований в расслоении Федосова.

  7. Конструкция следа в алгебре наблюдаемых.

Примерная тематика рефератов, курсовых работ


ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ БИЛЕТЫ ПО СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ



ОДИННАДЦАТЫЙ СЕМЕСТР

_____________________________________________________________________



Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 1





  1. Кососимметрические билинейные функционалы. Канонический базис. Невырожденные функционалы. Пфаффиан.

  2. Квантование на римановом многообразии. Оператор Лапласа-Бельтрами. Стационарное уравнение Шредингера.

И.В. Горбунов

_____________________________________________________________________

Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 2


  1. Симплектические векторные пространства.. Канонические преобразования. Симплектическая группа и ее алгебра Ли. Конформная симплектическая группа. Антиканонические преобразования.

  2. Примеры спариваний: преобразование Фурье, преобразование Баргманна, спаривание кэлеровых поляризаций.

И.В. Горбунов

_____________________________________________________________________

Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 3


  1. Полярное разложение. Топология симплектической группы.

  2. Пример элементарной динамической системы: квантование углового момента.

И.В. Горбунов


_____________________________________________________________________




Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 4


  1. Изотропные, коизотропные и лагранжевы подпространства.

  2. Конструкция следа в алгебре наблюдаемых.на произвольном симплектическом многообразии.

И.В. Горбунов

_____________________________________________________________________

Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 5


  1. Согласованные комплексные структуры. Многообразие лагранжевых подпространств.

  2. Спаривание поляризаций. Правило соответствия Блаттнера-Костанта-Стернберга (БКС). Проблема существования БКС-ядра

И.В. Горбунов

_____________________________________________________________________

Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 6


  1. Симплектические многообразия. Теорема Дарбу.

  2. Волновые функции как полуплотности. Квантование полуплотностей. Конструкция спаривания. Каноническое квантование как иллюстративный пример.

И.В. Горбунов


_____________________________________________________________________

Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 7


  1. Кокасательные расслоения. Симплетический потенциал.

  2. Метод геометрического квантования. Квантование на кэлеровых многообразиях.

И.В. Горбунов

_____________________________________________________________________

Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 8


  1. Скобки Пуассона. Гамильтоновы векторные поля.

  2. Понятие о вещественной поляризации. Основные примеры. Ковариантное дифференцирование вдоль слоев поляризации (связность Ботта).

И.В. Горбунов


_____________________________________________________________________


Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 9


  1. Гамильтонова редукция на подмногообразие. Предсимплектические многообразия.

  2. Теорема о глобальной геометрии симплектического многообразия с вещественной поляризацией.

И.В. Горбунов

_____________________________________________________________________

Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 10


  1. Принцип Гамильтона с точки зрения симплектической геометрии.

  2. Кэлерова и комплексная поляризация. Сильная интегрируемость. Согласованный симплектический потенциал. Основные примеры. Теорема о глобальной геометрии симплектического многообразия с сильно интегрируемой комплексной поляризацией.

И.В. Горбунов

_____________________________________________________________________

Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 11


  1. Преобразование Лежандра. Фазовое пространство.

  2. Гамильтонова редукция поляризации. Предполяризация. Поляризация элементарных динамических систем.

И.В. Горбунов


_____________________________________________________________________


Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 12


  1. Отображение комоментов. Существование и произвол отображения комоментов.

  2. Условие квантования Бора-Зоммерфельда. Квантуемые (пред)симплектические многообразия.

И.В. Горбунов
_____________________________________________________________________

Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 13


  1. Элементарные динмические системы для групп SO(3) и Гейзенберга.

  2. Эрмитовы линейные рсслоения со связностью. Существование и классификация таких расслоений. Группа и алгебра Ли диффеоморфизмов линейного расслоения, сохраняющих связность, как центральное расширение алгебры гамильтоновых векторных полей.

И.В. Горбунов

_____________________________________________________________________


Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 14


  1. Элементарные динмические системы для групп Пуанкаре и Галилея.

  2. Предквантование на симплектическом многообразии. Квантуемые многообразия. Каноническое предквантование.

И.В. Горбунов


_____________________________________________________________________

Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 15


  1. Существование комоментов для полупростых алгебр Ли и для неоднородных псевдоортогональных алгебр Ли.

  2. Принцип соответствия. Эвристическая конструкция предквантования.

И.В. Горбунов

_____________________________________________________________________

Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 16


  1. Метод Кириллова-Костанта-Сурьо классификации элементарных динамических систем (метод орбит). Коприсоединенное действие. Геометрия орбит. Отображение моментов.

  2. Деформация линейной скобки Пуассона. Скобка Мойала. Проблема деформации скобки общего вида.

И.В. Горбунов

_____________________________________________________________________

Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 17


  1. Невырожденные коприсоединенные орбиты.

  2. Деформация скобки Пуссона. Физический смысл деформации.

И.В. Горбунов

_____________________________________________________________________

Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 18


  1. Периодические гамильтоновы системы. Расширенная симметрия в задаче Кеплера. Природа кулонова вырождения.

  2. Многообразия Федосова. Конструкция Федосова деформации невырожденной скобки.

И.В. Горбунов

_____________________________________________________________________




Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 19


  1. Предквантование элементарных динамических систем.

  2. Конструкция абелевой связности и алгебра плоских сечений расслоения Федосова. Индуцированное -произведение в пуассоновой алгебре.

И.В. Горбунов

_____________________________________________________________________

Томский государственный университет


Кафедра теоретической физики

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Экзаменационный билет N 20


  1. Пуассоновы многообразия. Регулярные пуассоновы многообразия. Примеры пуассоновых многообразий. Пуассонова связность.

  2. Влияние топологии на физическую систему. Монополи и квантование заряда. Эффект Ааронова-Бома.

И.В. Горбунов

_____________________________________________________________________

III. Распределение часов курса по темам и видам работ


№ пп

Наименова-ние тем

Всего

часов


Аудиторные занятия (час)

Самостоятельная

работа


в том числе

лекции

семинары

лабораторные

занятия

































































































































































































ИТОГО





















IV. Форма итогового контроля

Текущий контроль изучения курса студентами осуществляется по итогам выполнения индивидуальных, контрольных заданий, результатам аудиторной работы студента.

Итоговым контролем является семестровый зачет. Зачет проставляется по результатам текущего контроля, при условии сдачи индивидуальных заданий, контрольных работ, аудиторного текущего контроля.

Результаты текущего контроля оцениваются по пятибалльной шкале (в случае экзамена по курсу) или в форме зачета в соответствии с прилагаемым контрольным листом.



Рубежный контроль по данному курсу не предусмотрен.
V. Учебно-методическое обеспечение курса


  1. Рекомендуемая литература (основная)

  1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. Наука. 1989.

  2. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. Мир. 1881.

  3. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. Наука. 1978.

  4. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. МГУ. 1983.

  5. Карасев М.В., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона. Наука. 1991.

  6. Березин Ф.А. Методы вторичного квантования. Наука. 1986.

  7. Березин Ф.А. Квантование. Изв. АН СССР. Сер. Математика. Т.38, №5 (1974) с.116-1175.

  8. Костант Б. Квантование и унитарные представления. Часть I. Предквантование. УМН. Т.28,вып.1 (1973) с. 163-225.

  9. Кириллов А.А. Геометрическое квантование. Современные проблемы математики. ВИНИТИ. 1985, Т.4 с. 141-178.

  10. Souriau J.-M. Structure of Dynamical Systems. A Symplectic View of Physics. Progress in Math. V.149. 1997.

  11. Woodhouse N. Geometric quantization. Clarendon Press, Oxford. 1980.

  12. Sniatsky J. Geometric quantization and quantum mechanics. Applied Math. Sciences. V. 30. 1976.

  13. Bayen F., Flato M., Fronsdal C., Lichnerovich A. and Sternberg D. Deformation Theory and Quantization. Annals of Physics. V.111 (1978) p. 61-151.

  14. Fedosov B.V. A simple geometrical construction of deformation quantization. J. Differential Geometry. V.48 (1994) p.213-238.

  15. Fedosov B.V. Deformation Quantization and Index Theory. Akademie Verlag, Berlin. 1996.



  1. Рекомендуемая литература (дополнительная)


Авторы Горбунов И.В.

Похожие:

Программа дисциплины «симплектическая геометрия и ее приложения» iconВопросы к экзамену: 15 VI. Тематический план изучения дисциплины 16 приложения 18 приложение 1 18 I. Организационно-методический раздел цель дисциплины Целью учебной дисциплины «Международная индустрия гостеприимства и туризма

Программа дисциплины «симплектическая геометрия и ее приложения» iconУчебная программа «основы разработки мобильных приложений»
Проектирование приложения: задачи и портрет пользователя, сценарий использования приложения
Программа дисциплины «симплектическая геометрия и ее приложения» iconПрограмма дисциплины геометрия Цикл ен. Ф. Специальность : 013800
Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины "Геометрия"
Программа дисциплины «симплектическая геометрия и ее приложения» iconПрограмма дисциплины " компьютерная геометрия и графика" Рекомендуется Министерством образования РФ для направления подготовки
В результате изучения дисциплины “Компьютерная геометрия и графика” студентом должны быть приобретены следующие знания, умения и...
Программа дисциплины «симплектическая геометрия и ее приложения» iconПрограммы учебной дисциплины «Дискретная математика и математическая логика и их приложения в информатике и компьютерных науках»
«Дискретная математика и математическая логика и их приложения в информатике и компьютерных науках»
Программа дисциплины «симплектическая геометрия и ее приложения» iconРабочая программа дисциплины аналитическая геометрия и линейная алгебра направление подготовки Физика живых систем
Целями освоения дисциплины «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» являются
Программа дисциплины «симплектическая геометрия и ее приложения» iconРабочая программа учебной дисциплины б10 Начертательная геометрия. Специальность: 190300. 65 Подвижной состав железных дорог
Целями освоения учебной дисциплины «Начертательная геометрия» являются: заложение у студентов знаний и умений с помощью чертежа излагать...
Программа дисциплины «симплектическая геометрия и ее приложения» iconПрограмма вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю «Геометрия и топология»
В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: геометрия
Программа дисциплины «симплектическая геометрия и ее приложения» iconПрограмма дисциплины «алгебра и геометрия»
...
Программа дисциплины «симплектическая геометрия и ее приложения» iconРабочей программы дисциплины «Начертательная геометрия и инженерная графика» Цели освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен обладать следующими компетенциями
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com