Дипломная работа «Опорные задачи по теме площади фигур и их применение при решении задач егэ»



Скачать 381,3 Kb.
Дата16.06.2015
Размер381,3 Kb.
ТипДипломная работа




Министерство образования и науки Астраханской области

ГБОШИ АО «Школа-интернат одаренных детей им. А.П. Гужвина».



ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
«Опорные задачи по теме площади фигур и их применение при решении задач ЕГЭ»

Исполнитель:

учащаяся 11 «Б» класса

Пискунова Дарья.

Научный руководитель:

Забалуева А.В.

АСТРАХАНЬ 2015г.


План

Введение………………………………………………………………………….3

Глава 1. Теоретические основы изучения площадей многоугольников

1.1 Вычисление площадей в древности…………………………………………5

1.2 Площадь четырёхугольника..…………………………………..……………8

1.3 Универсальная формула…...………………………………………………..12

1.4 Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин……13

1.5 Формула Пика…………………………………………………………….....20


Глава 2. Опорные задачи………………………………………………………..22

Глава 3. Применение опорных задач при решении заданий ЕГЭ


Задача 3.1………………………………………………………………….…......28

Задача 3.2……………………………………………………….……………......29

Задача 3.3……………………………………………………….……………......31

Задача 3.4………………………………………………….……………………..32

Задача 3.5…………………………………………….………………………......34

Задача 3.6……………………………………….……………………………......35

Заключение……………………………………………………………………....38

Литература…………………………………………………………………….....39

Введение

Тема «площади многоугольников» является неотъемлемой частью школьного курса математики, что вполне естественно, ведь исторически само возникновение геометрии связано с потребностью сравнения земельных участков той или иной формы. Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Работа включает содержание курса математики общеобразовательной школы и ряд дополнительных вопросов, непосредственно примыкающих к этому курсу и углубляющих его по основным идейным линиям.

Целью данной работы является изучение опорных задач по теме площади фигур и их применение при решении заданий ЕГЭ.

В соответствии с поставленной целью в данном исследовании решались следующие задачи:


  1. изучить применение формул площадей различных фигур в курсе планиметрии;

  2. показать применение различных формул площадей при решении задач;

  3. рассмотреть методы решения задач с использованием различных формул площадей;

  4. рассмотреть опорные задачи по теме площади фигур;

  5. показать применение опорных задач по теме площади фигур.

Геометрия возникла еще в глубокой древности в связи с практическими потребностями человека: измерение расстояний, изготовление орудий труда определенных размеров, нахождение площади земельных участков и вместимости сосудов, вычисление объемов различных сооружений и т.д. Слово «геометрия» греческого происхождения («ге» - земля, «метрео» - мерю) и означает «землемерие». Отвлекаясь от физических свойств предметов, изучая лишь их размеры, форму и положение, человек пришел к отвлеченным понятиям геометрического тела и геометрической фигуры, поверхности, линии, точки, прямой, плоскости, отрезка и т.д. Геометрические фигуры встречаются в самых древних до нас математических документах: в «Московском» папирусе, в «папирусе Ахмеса» и в древневавилонских клинописных текстах, написанных около 4000 лет назад. В этих документах содержатся задачи, в которых выступает на первый план вычисление площадей и объемов отдельных фигур. В древних египетских и вавилонских математических документах упоминаются как треугольники, так и основные четырехугольники: параллелограммы, прямоугольники, квадраты, равнобедренные и прямоугольные трапеции.

Глава 1. Теоретические основы изучения площадей многоугольников



Вычисление площадей в древности
Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.

Еще в 4 – 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, или можно заполнить плоскость без пробелов.

В древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Когда каменщики определяли площадь прямоугольной стены дома, они перемножали высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определение: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Обе эти стороны должны быть выражены в одних и тех же линейных единицах. Их произведение и составит площадь прямоугольника, выраженную в соответствующих квадратных единицах. Скажем, если высота и ширина стены измерены в дециметрах, то произведение обоих измерений будет выражено в квадратных дециметрах. И если площадь каждой облицовочной Плотки составляет квадратный дециметр, то полученное произведение укажет число плиток, нужное для облицовки. Это вытекает из утверждения, положенного в основу измерения площадей: площадь фигуры, составленной из непересекающихся фигур, равна сумме их площадей.

Уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников. В своих «Началах» Евклид не употребляет слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражает результат измерения площади числом, а сравнивает площади разных фигур между собой.

Как и другие ученые древности, Евклид занимается вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому, например, можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур. Так, треугольник разбивается на такие части, из которых затем можно составить равновеликий ему прямоугольник. Из этого построения следует, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Прибегая к подобной перекройке, находят, что площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, площадь трапеции – произведению полусуммы оснований на высоту.

Одним из поздних греческих математиков – энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э. Будучи выдающимся инженером, он был назван также «Герон Механик». В своем произведении «Диоптрика» Герон описывает разные машины и практические измерительные инструменты.

Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников и треугольников. О нахождении площади треугольника по его сторонам Герон пишет: « Пусть, например, одна сторона треугольника имеет в длину 13 мерных шнуров, вторая 14 и третья 15. Чтобы найти площадь, поступают вот как. Сложи 13, 14 и 15; получится 42. Половина этого будет 21. Вычти из этого три стороны одну за другой; сперва вычти 13 – останется 8, затем 14 – останется 7 и, наконец, 15 – останется 6. А теперь перемножь их: 21 раз по 8 даст 168, возьми это 7 раз – получится 1176, а это еще 6 раз – получится 7056. Отсюда квадратный корень будет 84. Вот сколько мерных шнуров будет в площади треугольника».

В своем наиболее важном геометрическом произведении «Метрика» Герон излагает доказательство примененной выше формулы:


,

где   стороны,   полупериметр треугольника.

Эта формула носит название «формулы Герона». На самом деле она была установлена еще в 3 в. до н. э. величайшим математиком древности Архимедом.

Практические правила Герона для вычисления площадей применялись греческими, римскими и средневековыми землемерами и техниками.




1.2 Площадь четырёхугольника


Школьная программа предусматривает вычисление площадей фактически двух видов выпуклых четырёхугольников: параллелограмма и трапеции. Для четырёхугольника, фактически не являющегося параллелограммом или трапецией, формула нахождения его площади не выводится. В то же время применение такой формулы для решения ряда задач было бы удобным. Имеется в виду формула вычисления площади произвольного выпуклого четырёхугольника, которую можно назвать аналогом формулы Герона, учитывая их некоторое внешнее свойство.

Докажем следующую теорему: площадь произвольного выпуклого четырёхугольника может быть определена по формуле:


,
где , a, b, c, d – длины сторон, р – полупериметр, δ и β – противолежащие углы четырёхугольника.

Доказательство. Пусть в четырёхугольнике ABCD АВ = а, ВС = b,


CD = c, DA = d; ABC = β, ADC = δ (рис. 1)

Рис. 1
Из в силу теоремы косинусов



Из : .
Приравнивая правые части этих выражений, получим:
,
или . (1.1)
Найдём площадь четырёхугольника ABCD как сумму площадей треугольников ABC и ADC:
,
откуда (1.2)
В равенствах (1.1) и (1.2) обе части возведём в квадрат, а затем почленно сложим:

Выполним равносильные преобразования, получим
,
что и требовалось доказать.

Теорема имеет ряд следствий.



Следствие 1. Площадь произвольного четырёхугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле (как было сказано выше) Брахмагупты:

.

Доказательство сразу следует из теоремы, рассмотренной выше, с учётом того, что сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 1800, т. е.



,

.

Поэтому .



Следствие 2. Площадь произвольного четырёхугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле:
.

Доказательство. Так как у описанного четырёхугольника суммы противолежащих сторон равны, т. е.


,

то


, , , .

Имеем:



Следствие 3. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность и описанного около окружности, может быть вычислена по формуле:

.

Доказательство. Так как и в силу следствия 1



,

то




1.3 Универсальная формула


Существует универсальная формула, известная в математике под названием формулы Симпсона, с помощью которой можно вычислять площади плоских фигур: параллелограмма, трапеции и треугольника.

Она имеет вид: ,

где - длина нижнего основания, - длина среднего основания, - длина верхнего основания, h – высота фигуры.

Применяя формулу, имеем:

Для параллелограмма (квадрата, прямоугольника) (рис. 2, а)

,

для трапеции (рис 6, б)



,

для треугольника (рис 6, в)



.

а) б)


в)

Рис. 2


1.4 Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин


Метод координат, предложенный в XVII веке французскими математиками Р. Декартом (1596-1650) и П. Ферма (1601-1665), является мощным аппаратом, позволяющем переводить геометрические понятия на алгебраический язык. В основе этого метода лежит понятие – система координат. Мы будем рассматривать вычисление площади многоугольника по координатам его вершин в прямоугольной системе координат.

Площадь треугольника

Теорема 1. Если - площадь треугольника

, где , и ,

то справедливо равенство



, (3)

где .



будем называть определителем площади треугольника.

Доказательство. Пусть вершины треугольника расположены в первой координатной четверти. Возможны два случая.



Случай 1. Направление (или , или ) расположения вершин треугольника совпадает с направлением движения конца часовой стрелки (рис. 4).

Рис. 4


Имеем:

.

Но
,


Так как фигура - трапеция.

Аналогично находим, что



и .

Выполнив алгебраические преобразования



,

получим, что:



. (5)
В равенстве (5) определитель площади , о поэтому перед выражением стоит знак «минус», так как .

Покажем, что . Действительно, здесь



так как



(площадь прямоугольника с основанием и высотой больше суммы площадей прямоугольников с основаниями , и высотами , ; (рис. 4)), откуда .



Случай 2. Указанные направления в случае 1 противоположны направлению движения конца часовой стрелки (рис. 6)

Рис. 6


Здесь

.

Но


,

так как фигура - трапеция, а



и .

получим:



, (7)

где . Действительно, здесь



Теорема доказана, когда вершины треугольника расположены в первой координатной четверти.

Воспользовавшись понятием модуля, равенства (5) и (7) можно записать так: , так как

Замечание 1. При выведении формулы (3), рассматривалось простейшее расположение вершин , изображённое на рисунках 4 и 6; однако формула (1.8) верна при любом расположении вершин .

Рассмотрим случай, изображённый на рисунке 8.



Рис. 8


Здесь

.

Но


,

где






Поэтому, выполнив несложные геометрические преобразования:

получим снова, что , где



.
Площадь n-угольника

Многоугольник может быть выпуклым или невыпуклым, порядок нумерации вершин считается отрицательным, если вершины нумеруются по направлению движения конца часовой стрелки. Многоугольник, не имеющий самопересечения сторон, будем называть простым. Для простого именно n-угольника справедлива следующая



Теорема 2. Если - площадь простого n-угольника , где , то справедливо равенство

,

где



будем называть определителем площади простого n-угольника.

Доказательство. Возможны два случая.



Случай 1. n-угольник – выпуклый. Докажем формулу (3) методом математической индукции.

Для она уже доказана (теорема 1). Предположим, что она справедлива для n-угольника; докажем, что она остаётся справедливой и для выпуклого (n+1)-угольника.

Добавим к многоугольнику ещё одну вершину (рис. 9).

Рис. 9
Имеем:




Таким образом, формула справедлива для (n+1)-угольника, и, значит, условия математической индукции выполнены, т. е. формула (1.11) для случая выпуклого n-угольника доказана.

Случай 2. n-угольник – невыпуклый.

В любом невыпуклом n-угольнике можно провести диагональ, лежащую внутри него, и поэтому доказательство случая 2 для невыпуклого n-угольника аналогична доказательству для выпуклого n-угольника.



Замечание 2. Выражения для запоминаются нелегко. Поэтому, для вычисления его значений удобно выписать в столбец координаты первой, второй, третьей, …, n-й и снова первой вершин n-угольника и провести умножение по схеме:

(10) (11)


Знаки в столбце (10) надо расставить так, как указано в схеме (11).

Замечание 3. При составлении столбца (10) для треугольника можно начать с любой вершины.

Замечание 4. При составлении столбца (10) для n-угольника () необходимо соблюдать последовательность выписывания координат вершин n-угольника (с какой вершины начинать обход безразлично). Поэтому вычисление площади n-угольника следует начинать с построения «грубого» чертежа.




1.5 Формула Пика



Формула

Пусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с ненулевой площадью.

Обозначим его площадь через ; количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри многоугольника — через ; количество точек с целочисленными координатами, лежащих на сторонах многоугольника — через .

Тогда справедливо соотношение, называемое формулой Пика:

S = I + B/2 – 1.

В частности, если известны значения I и B для некоторого многоугольника, то его площадь можно посчитать за , даже не зная координат его вершин.

Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick) в 1899 г.

Доказательство.

Доказательство производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

Единичный квадрат. В самом деле, для него , , , и формула верна.

Произвольный невырожденный прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Для доказательства формулы обозначим через и длины сторон прямоугольника. Тогда находим: , , . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что формула Пика верна.


Прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. Для доказательства заметим, что любой такой треугольник можно получить отсечением некоторого прямоугольника его диагональю. Обозначив через число целочисленных точек, лежащих на диагонали, можно показать, что формула Пика выполняется для такого треугольника, независимо от значения.

Произвольный треугольник. Заметим, что любой такой треугольник может быть превращён в прямоугольник приклеиванием к его сторонам прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат (при этом понадобится не более 3 таких треугольников). Отсюда можно получить корректность формулы Пика для любого треугольника.

Произвольный многоугольник. Для доказательства триангулируем его, т.е. разобьём на треугольники с вершинами в целочисленных точках. Для одного треугольника формулу Пика мы уже доказали. Дальше, можно доказать, что при добавлении к произвольному многоугольнику любого треугольника формула Пика сохраняет свою корректность. Отсюда по индукции следует, что она верна для любого многоугольника.
Пример.

В = 15 (обозначены красным)

I = 34 (обозначены синим)


Глава 2. Опорные задачи.

В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрическиезадачи.


Предлагаем один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т.е. решение задач с использованием свойств площадей.

Свойство №1

Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не изменится





Свойство №2

Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).  





Свойство №3

Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол. 





Свойство №4

Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.





Свойство № 5

Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.




Свойство №6

Медианы треугольника делят его на три  равновеликие части





Свойство №7

Средние линии треугольника площади S  отсекают от него треугольники площади,  которых равны одной четвертой части площади ▲ABC





Свойство №8

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.



Пример 1. Пусть две прямые пересекаются в точке А. В и В1 – любые две точки на одной прямой, а С и С1 – на другой. Докажите, что .



Решение. Углы при вершине А треугольников АВС и АВ1С1 либо равны, либо дополняют друг друга до 1800 , то есть в любом случае синусы этих углов равны. Используя формулу площади треугольника,

имеем .



Пример 2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты точки В1 и С1 так, что , . Докажите, что .

Решение следует непосредственно из предыдущего примера.


Пример 3. Докажите, что длину биссектрисы треугольника АВС можно вычислить по формуле , где , , , А – угол ВАС.



Решение. Учитывая свойство 3 площади, имеем или . Заменив в левой части равенства и сократив обе его части на , получим , откуда .

Рассмотрим еще одну полезную задачу.




Пример 4. Пусть О – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Тогда имеет место равенство .

Решение. Пусть и высоты треугольников ABD и CBD, проведенные к стороне BD. Очевидно, что . .



Пример 5. В треугольнике АВС на сторонах АВ, ВС и СА взяты соответственно точки К, М и Р так, что АК:КВ=2:3, ВМ:МС=3:4, СР:АР=4:5. В каком отношении отрезок ВР делится отрезком КМ?

Решение. Пусть ВР и КМ пересекаются в точке О (рис. 14) и . Так как , , то . Так как , , то . Так как , , то . Следовательно, и .

При решении задач методом площадей следует помнить, что



  1. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.

2) Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре треугольника. Произведение площадей треугольников прилегающих к противоположным сторонам равны.

Глава 3. Применение опорных задач при решении заданий ЕГЭ.



Задача 3.1. В трапеции ABCD биссектриса угла A пересекает боковую сторону BC в точке E. Найдите площадь треугольника ABE, если площадь трапеции равна S, AB=a, AD=b, CD=c (c
Решение.

1) Из формулы находим высоту трапеции . Тогда .

2) Пусть AF — биссектриса угла A. Треугольник ADF— равнобедренный . Тогда CF=b-c.

3) Треугольник ABE и FCE подобны . Тогда , .

4) Треугольники ABE и ABC имеют общую высоту, поэтому и .

(рис.12)


Ответ: .


Задача 3.2

Окружность вписана в равнобедренную трапецию, основания которой равны 18 и 50. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.


Решение

1.Пусть окружность радиуса R с центром O, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD с основаниями BC=18 и AD=50, касается боковой стороны AB в точке М, а оснований AD и BC – в точках К и L соответственно. Тогда

BM=BL=BC=9, AM=AK=AD=25,

AB=AM+BM=25+9=34.

2.Отрезок ОМ – высота прямоугольного треугольника АОВ, проведенная из вершины прямого угла АОВ, поэтому R=OM===15.

3.Пусть прямая, о которой говорится в условии задачи, проходит через вершину В и пересекает основание AD трапеции в точке Р (рис.13). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому APB=CBP=ABP, значит, треугольник ABP – равнобедренный, AP=AB=34.



(рис.13)
Следовательно,

SΔABP=2SΔOAB=2∙AB∙OM=2∙∙34∙15=510.

4.Если S – площадь трапеции ABCD, а h – ее высота, то h=2R=30,

S = (AD+BC)h=(18+50)∙30=1020.

Следовательно, SΔABP/S = 510/1020=.

5.Поскольку трапеция равнобедренная, для прямой, проходящую через вершину С, получим тот же результат.

(рис.14)


6.Пусть теперь указанная прямая проходит через вершину А (рис.14), пересекает боковую сторону CD в точке Q, а продолжение основания BC – в точке Е. Треугольник АВЕ – равнобедренный (АЕВ=DAE=BAE), поэтому

BE=AB=34, CE=BE-BC=AB-BC=34-18=16.

7.Треугольник AQD подобен треугольнику EQC с коэффициентом , значит, если QH – высота треугольника AQD, то QH=h=∙30=, SΔAQD=AD∙QH=∙50∙=.

Следовательно, SΔAQD/S==.

Тот же результат для прямой, проходящей через вершину D.
Ответ: или .
Задача 3.3

В прямоугольнике ABCD со сторонами AB=4 и BC=10 на стороне AD расположены точки L и N таким образом, что DM=4, при этом P — точка пересечения прямых BN и CM. Площадь треугольника MNP равна 1. Найдите длину отрезка, соединяющего точки L и N.


Решение.

Пусть высота треугольника делит основание x на два отрезка x1 со стороны угла α и x2 со стороны угла β. Тогда если h — высота треугольника, то x1=h∙ctgα, x2=h∙ctgβ значит x=x1+x2=h(ctgα + ctgβ) и, следовательно, h=. Подставив в формулу для площади получим S=.

В зависимости от порядка расположения точек L и N на AD есть 2 случая:
Случай первый. SMNP= , где ctgα=, ctgβ=1
Тогда 2+x-10=0x=2.


(рис.15)

Случай второй. SMNP= , где ctgα=, ctgβ=1.

Тогда 2-x-10=0x=2,5.
(рис.16)
Ответ: 2 или 2,5.
Задача 3.4

Окружность радиуса вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите MN.


Решение.

1.Пусть O1 — центр окружности радиуса , O2 — второй окружности, A — вершина прямого угла, тогда

O1A=

(рис.17) (рис.18)

Возможны два случая. Первый случай: точка O1 лежит между точками A и O2 (рис.17), тогда O2A=O1A+O1O2=20, откуда радиус второй окружности O2M=10.
В треугольнике O1MO2 имеем: O1O2=8, O1M=, O2M=10 . Поскольку общая хорда MN окружностей перпендикулярна линии центров O1O2 и делится ею пополам, высота MN треугольника O1MO2 равна половине MN.
Полупериметр треугольника O1MO2 равен p=4+8 , тогда для площади треугольника имеем:

SO1MO2==8,


откуда
MN==2; MN=MH=4.
Второй случай: точка O2 лежит между точками A и O1 (рис.18), тогда O2A=O1A-O1O2=4, откуда радиус второй окружности O2M=2. В треугольнике O1MO2 имеем O1O2=8, O1M=6, O2M=2. Аналогично первому случаю, высота MN треугольника O1MO2 равна половине MN.

В треугольнике O1MO2 полупериметр:


p==4+4
SO1MO2==8,
откуда MN==2; MN=MH=4.

Ответ: 4 или 4.
Задача 3.5

На диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма взяли точку, от­лич­ную от её се­ре­ди­ны. Из неё на все сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма (или их про­дол­же­ния) опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры.

а) До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник, об­ра­зо­ван­ный ос­но­ва­ни­я­ми этих пер­пен­ди­ку­ля­ров, яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б) Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­ной тра­пе­ции, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна 24, а один из его углов равен 45°.


(рис.19)
Решение.

а) Возьмём на диа­го­на­ли AC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD точку O (не по­се­ре­ди­не) и про­ведём через неё пер­пен­ди­ку­ля­ры NL и KM к сто­ро­нам па­рал­ле­ло­грам­ма (см. рис.). Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки CKO и AMO по­доб­ны.

Точно так же по­доб­ны тре­уголь­ни­ки CNO и ALO:

 

OK:OM = OC:OA = ON:OL.

От­сю­да сле­ду­ет по­до­бие тре­уголь­ни­ков ONK и OLM. Тогда на­крес­тле­жа­щие углы OML и OKN равны, а по­это­му пря­мые NK и ML па­рал­лель­ны. Сле­до­ва­тель­но, четырёхуголь­ник KLMN — па­рал­ле­ло­грамм или тра­пе­ция.

До­ка­жем, что это тра­пе­ция. Если KLMN — па­рал­ле­ло­грамм, то ON = OL.

В этом слу­чае OC = OA, то есть O – се­ре­ди­на AC. Про­ти­во­ре­чие. Зна­чит, KLMN — тра­пе­ция.

б) Обо­зна­чим пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма S , а его ост­рый угол - α . Угол между диа­го­на­ля­ми NL и KM тра­пе­ции KLMN равен углу между пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми диа­го­на­лям пря­мы­ми BC и CD, то есть этот угол равен α .

По­это­му пло­щадь тра­пе­ции равна:

 

Под­став­ляя  = 45° и S = 24, по­лу­ча­ем, что пло­щадь тра­пе­ции равна

 



Ответ: 6.
Задача 3.6

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а вто­рой — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 4 и 1.


(рис. 20)




Решение.

а) Обо­зна­чим цен­тры окруж­но­стей O1 и O2 со­от­вет­ствен­но. Пусть общая ка­са­тель­ная, про­ведённая к окруж­но­стям в точке K, пе­ре­се­ка­ет AB в точке M. По свой­ству ка­са­тель­ных, про­ведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Тре­уголь­ник AKB, у ко­то­ро­го ме­ди­а­на равна по­ло­ви­не сто­ро­ны, к ко­то­рой она про­ве­де­на, пря­мо­уголь­ный. Впи­сан­ный угол AKD пря­мой, по­это­му он опи­ра­ет­ся на диа­метр AD. Зна­чит, AD AB. Ана­ло­гич­но, по­лу­ча­ем, что BC  AB. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

 

б) Пусть, для опре­делённо­сти, пер­вая окруж­ность имеет ра­ди­ус 4, а вто­рая — ра­ди­ус 1.



Тре­уголь­ни­ки BKC и AKD по­доб­ны, . Пусть SBKC = S, тогда SAKD = 16S. У тре­уголь­ни­ков AKD и AKB общая вы­со­та, сле­до­ва­тель­но  ,то есть SAKB = 4S. Ана­ло­гич­но, SCKD = 4S. Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 25S.

Вы­чис­лим пло­щадь тра­пе­ции ABCD. Про­ведём к AD пер­пен­ди­ку­ляр O2H, рав­ный вы­со­те тра­пе­ции, и найдём его из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка O2HO1:

 

 

Тогда


 

Сле­до­ва­тель­но, 25S = 20, от­ку­да S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2.

 

Ответ: 3,2.

Заключение.
Изучив научную литературу и ознакомившись с геометрическим материалом, описывающим понятия, законы и теоремы связанные с площадями плоских фигур, я поняла, что умение решать задачи на нахождение площадей фигур важно. Навыки, полученные в результате работы над данной темой, могу быть применены в обычных жизненных ситуациях, так же при дальнейшем глубоком изучении геометрии как науки.

В данной работе были представлены опорные задачи по теме площади фигур, их применение, основные способы решения заданий с4 с применением формул площадей N-угольников. Площадь четырёхугольника, вычисление площади многоугольника по координатам его вершин, формула Пика, формула Герона, формула Симпсона.

Результаты исследования позволяют сделать следующий вывод: основная сложность изучения материалам состоит в том, что не существует единого универсального метода в нахождении площади n-угольника.

Я надеюсь, что мое исследование может послужить неплохим справочным материалом при решении заданий ЕГЭ С4 с применением формул площадей



Литература


  1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных учреждений.- М.: Просвещение, 1995.

  2. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия 8/9. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1996.

  3. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. Для студентов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1987.

  4. Атанасян Л. С. Геометрия 7-9. учебник для общеобразовательных учреждений.- М.: Просвещение, 2000.

  5. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Геометрия 7-11. Учебник для общеобразовательных учреждений.- М.: Просвещение, 1996.

  6. Березина Л. Ю., Мельникова И. Б. Геометрия в 7-9 классах – М., 1990.

  7. Блок А. Я. Методика преподавания в школе. – М.: Просвещение, 1987.

  8. Воропаева Р. Н. Методические советы из опыта преподавания//Математика, 2001, №35, с. 25-28.

  9. Гильберт Д. Основания геометрии. – М. – Л.: Гостехиздат, 1948.

10.Глейзер Г. И. История математики в школе. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1964.

Похожие:

Дипломная работа «Опорные задачи по теме площади фигур и их применение при решении задач егэ» iconКонспект открытого урока по математике в 10 классе (профильный уровень). Учитель Голосова Т. В. Тема урока. Различные способы доказательства теоремы о трех перпендикулярах и её применение при решении задач
Образовательные – повторить понятие расстояния от точки до плоскости и теорему о трех перпендикулярах; показать применение этой теоремы...
Дипломная работа «Опорные задачи по теме площади фигур и их применение при решении задач егэ» iconЗадания В5: вычисление площади плоской фигуры
В задачах на вычисление площади треугольника или четырехугольника искомая фигура ф является частью другой фигуры Ф, которая разбивается...
Дипломная работа «Опорные задачи по теме площади фигур и их применение при решении задач егэ» iconМетод Монте-Карло
Обучающая: вспомним с учащимися, как вычисляются площади фигур, обсудить, площади которых фигур мы можем вычислять, рассказать учащимся...
Дипломная работа «Опорные задачи по теме площади фигур и их применение при решении задач егэ» iconТема урока: «Формула площади круга» Урок математики в 6 классе. Тема урока: «Формула площади круга». Из опыта работы учителя математики Жировой И. В
Итак, на сегодняшнем уроке мы узнаем, что такое круг, выведем формулу площади круга, а также будем учиться решать задачи на применение...
Дипломная работа «Опорные задачи по теме площади фигур и их применение при решении задач егэ» iconИсследовательская работа Круги Эйлера и теория графов в решении задач школьной математики и информатики
В связи с этим во многие школьные предметы вложены различного типа задачи, которые и развивают у детей логическое мышление. Решая...
Дипломная работа «Опорные задачи по теме площади фигур и их применение при решении задач егэ» iconУрок геометрии в 8 классе по теме: "Площади фигур. Теорема Пифагора"
Площадь трапеции авсд с основаниями ав и сд и высотой во вычисляется по формуле
Дипломная работа «Опорные задачи по теме площади фигур и их применение при решении задач егэ» iconОпорные задачи по планиметрии (Окружность)
Проект по информатике и геометрии Тема: Опорные задачи по планиметрии (Окружность)
Дипломная работа «Опорные задачи по теме площади фигур и их применение при решении задач егэ» iconЗадача по теме «Площади фигур»
Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников
Дипломная работа «Опорные задачи по теме площади фигур и их применение при решении задач егэ» iconРешение задач по теме «Окружность»
...
Дипломная работа «Опорные задачи по теме площади фигур и их применение при решении задач егэ» iconViii класс: Тема Площади фигур. Теорема Пифагора. Понятие площади. Равновеликие фигуры
Несмотря на то, что с понятием площади мы хорошо знакомы из повседневной жизни, строгое определение этому понятию дать непросто....
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com