Егэ задачи геометрия. Егэ



Скачать 67.82 Kb.
Дата17.06.2015
Размер67.82 Kb.
ТипДокументы


Postupivuz.ru Postupivuz.ru Postupivuz.ru



20 задач по геометрии . ЕГЭ В9.

Задачи В9. Геометрия. ЕГЭ.

1. Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при стороне основания равен 45 градусов. Найдите площадь поверхности пирамиды.



DO=h,   угол DKO=45º,

3-к DOK -прямоугольный и равнобедренный, т.к. угол ODK = 180-90-45 = 45°  --> 

OK=OD=h. DK2= h2+h2;   DK = h√2.    

OK - радиус вписанной окружности правильного 3-ка, значит стороны 3-ка равны a= 2r√3, т.е. AB = a = 2h√3.     

S осн = SABC  = a2√3/4 = (2h√3)2√3/4 = 3h2 √3.

SADB = AB*DK/2 = 2h√3*h√2 /2 = h2√6

Sполн = 3*SADB + Sосн  = 3h2√6 +3 h2√3 =3 h2√3(√2+1)

2. В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 5 см, 8 см, 4√5см. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.





Пусть а=8, b=4√5,  c=5.    d2= 8*8+(4√5)2 = 144  -->  d=12.

Искомый угол - / KOM - угол между диагональю ОК и ее проекцией ОМ.

В 3-ке КОМ: КМ / ОМ = c / d = tg / KOM = 5/12.   / KOM = arctg 5/12

Можно ответ  выразить через синус. Найдем m. m2= d2 + c2 = 144 + 25 =169;  d=13;   c/m = 5/13 = sin / KOM / KOM = arcsin 5/13.

Ответ: arcsin 5/13

3. В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите отношение объёма конуса к объёму шара.



Пусть АВ=а, тогда АС=BС=а,  R = a/2.

Высота конуса = ОВ = √(BC2-OC2) =  √(a2 - a2/4) = a√3/2



Vконуса = пR2*OB/3 = п a2/4*a√3/2 /3 = п a3√3/24

r - радиус шара.  r=a√3 /6.

Vшара = 4/3 *пr3 = 4/3* пa3 3√3 / 216 = пa3√3/54

Vконуса / Vшара = 54/24 = 2.25 Ответ: 2,25.

№ 4. Объем цилиндра 96π см3, площадь его осевого сечения 48 см². Найти площадь сферы, описанной около цилиндра. Ответ : S/π



xy=48,   y = 48/x.

D - диагональ осевого сечения является диаметром шара.

D2 = x2 + (48/x)2      S сферы =πD2.

По условию V цил = 96π.

V цил = πx2/4 *y = πx2/4*(48/x) = 12πх = 96π;   x=96/12 = 6.

D2=62 +(48/6)2 = 62+82 = 100. S сферы = πD2 = 100π.

Ответ: 100.

5. Радиус шара равен R. Найдите площадь поверхности вписанного в шар куба.

Если куб вписан в шар, то его наибольшая диагональ D2 = 3a2 ;

D2 = (2R)2 = 3a2 ;    a2 = 4R2/3.

S=6a2 = 6*4R2/3 = 8R2    Ответ:  8R2

6. Шар объёмом 6м3  вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра (в м3), описанного около шара.



Диаметр шара D=2R,  равен диаметру основания цилиндра и равен высоте цилиндра H.

R - радиус шара и основания цилиндра.



Vшара= 4/3 ∏R3 = 6.    R3 = 4,5/∏

V цилиндра = ∏R2 ·H =∏R2 ·2R = 2∏R3 = 2∏·4,5 / ∏ = 9.

Ответ: 9.

№ 7. В сферу вписан конус, образующая которого равна 1, а угол при вершине осевого сечения равен 60º. Найдите площадь сферы.

S=4ПR2, где R - радиус сферы.

Рассмотрим осевое сечение сферы. Оно представляет собой окружность, в которую вписан равнобедренный треугольник АВС с углом при вершине 60 градусов, углы при основании равны 60, значит этот треугольник равносторонний со стороной а. Радиус окружности, описанной около треугольника - это радиус сферы. По теореме синусов а/sin60=2R, где R - радиус окружности, описанной около треугольника , откуда  R=a/√3

Тогда S=4ПR2=4Пa2/3 = 4П/3 Ответ: 4П/3

№ 8. Стороны оснований и диагональ прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:2:3. Длина бокового ребра равна 4. Найдите объем параллелепипеда.

k - коэффициент пропорциональности, тогда а = k, b = 2k  , d = 3k

По формуле d2 = а2 + b2 + снаходим  стороны  (3k)2 = k2 + (2k)2 + 42           d- диагональ, а, b, с - стороны параллелепипеда.

9k 2 = k2 + 4k2 + 16;   4k2=16;   k=2;   k=-2 не удовлетворяет условию:  а=2,    b=2*2=4,       с=4.

V= аbс = 2*4*4 = 32. Ответ: 32.

9. Каким должен быть радиус основания цилиндра с квадратным осевым сечением, для того чтобы его объем был такой же, как и у шара радиуса 3м?

Объем цилиндра равен Vц = πr2*h , где h-высота цилиндра, в нашем случае она равна h= 2r => Vц= 2πr3

Объем шара равен Vш = 4/3 πR3 , находим объем шара: Vш= 4/3 π*33 = 36π.

Приравняем Vц = Vш и найдем r цилиндра 2πr3 = 36π;

r3=18; r = 3√18

10. Чему равна полная поверхность конуса, описанного около правильного тетраэдра с ребрами длины а?

Т.к. тетраэдр правильный, то в основание конуса вписан равносторонний треугольник со стороной a. R=a/√3.

S боковой поверхности конуса Sбок.= πRL, где L=a, => Sбок.= πa2/√3

S полной поверхности конуса S= πa2/√3 + πa2/3 = πa2(1/√3+1/3)

11. Чему равна площадь сферы, описанной около куба с ребром 1?

По теореме Пифагора находим диагональ основания куба. Обозначим ее AD.

AD2 = 12+12 = 2; AD=√2 Находим диагональ всего куба, она же - диаметр сферы.

AC2 = AD2+DC 2= 2+12 = 3; AC = √3; Sсферы = 4πR2 = 4π*(3/4) = .

12. Найдите объем прямоугольной призмы, вписанной в цилиндр, если основание призмы служит прямоугольник, одна из сторон которого равна 6, радиус основания цилиндра 5 , высота призмы 10.

Т.к. прямоугольник вписан в окружность, то его диагональ будет диаметром этой окружности, а также является гипотенузой прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен 6. По теореме Пифагора найдем второй катет:

x2 = (2*5)2 - 62 ; x=8

Найдем объем призмы:

V=6*8*10=480

13                            

             

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.



Решение. В основании параллелепипеда - квадрат. Его стороны равны диаметру основания цилиндра, т.е.  а=d=2.

V= Sосн·H = a2· H = 22·1=4.             Ответ: 4.



№ 14.

Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 7,5. Найдите его объем.



Решение.

Если прямоугольный параллелепипед описан около сферы, то он - куб. Его ребра равны диаметру сферы, т.е. a = 7,5·2=15.

V= a3 =153 = 3375. Ответ: 3375.

15. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 27.

Vцилиндра = Sосн H,         Vконуса = Sосн H/3 =27.   Видим, что объем конуса в 3 раза меньше объема цилиндра, значит Vцилиндра = Vконуса*3 = 27*3 =81.

Ответ: 81.

16.

Шар объёмом 6 метров кубических вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра (в метрах кубических).

V шара = (4/3)пR3 =6            -->   R3 =6*3/(4п) = 4,5/п

Vцил = пR2H = пR2*2R= 2пR3 = 2п* 4,5/п = 9 (м3)            

Ответ: 9.

Замечание. Высота цилиндра, в который вписан шар, равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара.

17. В цилиндрический сосуд налили 200 cм3  воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь, при этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Выразить ответ в см3.



Решение. Найдем площадь основания цилиндра.  S=200/12=50/3. Если уровень воды поднялся на 9см, то объем воды с опущенной деталью увеличился на S*9=50/3*9=150 см куб. Это и есть объем детали.

Ответ: 150.

№ 18. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. 
Найдите ребро куба.

 Решение. Пусть ребро куба равно А, тогда V1=A·A·A, a  V2=(A+1)(A+1)(A+1)=(A+1)3 = A3+3A2+3+1.

Уравнение:  V2–V1=19,     (A3+3A2+3A+1) – A3 = 19,   3A2+3A-18=0,  A2+A-6=0,    A1=2, A2=-3 - не подходит. Чтобы решить, надо знать формулу  (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ответ:   А=2

№ 19. Закрытый сосуд в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами 30, 40, и 45 см стоит на горизонтальной поверхности таким образом, что наименьшая грань является дном. В сосуд налили воду до уровня 36 см. На каком уровне окажется вода, если сосуд поставить на наибольшую грань? (ответ дайте в см).

Решение. V=30*40*36   - объем воды   V= 40*45* h, 40*45 – наибольшая грань, h – уровень воды

30*40*36 = 40*45*h    -->   h=30*36/45 = 24 Ответ: 24.



№ 20. С1. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна L и наклонена с плоскости боковой грани под углом a, найти площадь боковой поверхности призмы.

AB=L,   угол BAC=a,    угол BCA=90°,    



Sбок = 4x∙H

Из 3-ка BAC:  x=L sina,   d=L cosa.



Из 3-ка ACO:  H=AO=√ (d2 - x2) = L√(cos2a - sin2a)  = L√(cos2a).

S = 4L2sina (cos2a)

Ответ: 4L2sina(cos2a)


Похожие:

Егэ задачи геометрия. Егэ icon1. Результаты единого государственного экзамена2013 года
Учащиеся 11-х классов сдавали два обязательных письменных экзамена – егэ по русскому языку, егэ по математике, а также экзамены в...
Егэ задачи геометрия. Егэ iconПеречень электронных дисков, содержащихся в фонде библиотеки гбоу сош «огц» п г. т. Рощинский
Живая физика. Живая геометрия; Готовимся к егэ. Физика; Готовимся к егэ. Математика; Физика. 7 9 класс
Егэ задачи геометрия. Егэ iconОсновными направлениями работы
Подготовка к егэ – 2015 в Управлении образования и образовательных организациях началась ещё летом: сразу же после завершения сезона...
Егэ задачи геометрия. Егэ iconПрограмма подготовки учащихся 11 класс к егэ
Цель программы: создать условия для успешной полготовки, организации и проведения егэ в 2012-2013 учебном году
Егэ задачи геометрия. Егэ iconН. Б. Печатнова Контрольно-измерительные материалы егэ
Одним из путей внедрения научных методов оценки учебных достижений, в частности, является введение единого государственного экзамена...
Егэ задачи геометрия. Егэ iconПо подготовке к егэ по русскому языку
Егэ, результаты которого принимаются в качестве вступительного испытания – это важный стимул для изучения любого предмета, в том...
Егэ задачи геометрия. Егэ iconЛитература 6 3 19 июня Физика (Доп.) 7 Информация о выборе егэ выпускниками
Информационный лист о выборе егэ андреевой Еленой Юрьевной выпускницей 11 а класса мбоу
Егэ задачи геометрия. Егэ iconОсновная цель курса: создание условий для развития логического мышления, математической культуры и интуиции учащихся посредством решения задач повышенной сложности нетрадиционными методами. Задачи курса
Программа предназначена для учащихся 11 класса, планирующих сдавать егэ профильного уровня. Содержание учебного материала соответствует...
Егэ задачи геометрия. Егэ iconКомплекты по Русскому языку, в 5-11 класс
Сборники кимов; Методика подготовки к егэ; Репетитор; Тренировочные задания; Сборники заданий; сd-диск «Русский язык. Подготовка...
Егэ задачи геометрия. Егэ iconПрограмма спецкурса для 10 класса по подготовке к егэ «Математика с 0»
Цель курса: ликвидировать у учащихся 10 классов существующие пробелы в знаниях, подготовить учащихся к сдаче егэ по математике на...
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com