Егэ задачи геометрия. Егэ



Скачать 67,82 Kb.
Дата17.06.2015
Размер67,82 Kb.
ТипДокументы


Postupivuz.ru Postupivuz.ru Postupivuz.ru



20 задач по геометрии . ЕГЭ В9.

Задачи В9. Геометрия. ЕГЭ.

1. Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при стороне основания равен 45 градусов. Найдите площадь поверхности пирамиды.



DO=h,   угол DKO=45º,

3-к DOK -прямоугольный и равнобедренный, т.к. угол ODK = 180-90-45 = 45°  --> 

OK=OD=h. DK2= h2+h2;   DK = h√2.    

OK - радиус вписанной окружности правильного 3-ка, значит стороны 3-ка равны a= 2r√3, т.е. AB = a = 2h√3.     

S осн = SABC  = a2√3/4 = (2h√3)2√3/4 = 3h2 √3.

SADB = AB*DK/2 = 2h√3*h√2 /2 = h2√6

Sполн = 3*SADB + Sосн  = 3h2√6 +3 h2√3 =3 h2√3(√2+1)

2. В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 5 см, 8 см, 4√5см. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.





Пусть а=8, b=4√5,  c=5.    d2= 8*8+(4√5)2 = 144  -->  d=12.

Искомый угол - / KOM - угол между диагональю ОК и ее проекцией ОМ.

В 3-ке КОМ: КМ / ОМ = c / d = tg / KOM = 5/12.   / KOM = arctg 5/12

Можно ответ  выразить через синус. Найдем m. m2= d2 + c2 = 144 + 25 =169;  d=13;   c/m = 5/13 = sin / KOM / KOM = arcsin 5/13.

Ответ: arcsin 5/13

3. В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите отношение объёма конуса к объёму шара.



Пусть АВ=а, тогда АС=BС=а,  R = a/2.

Высота конуса = ОВ = √(BC2-OC2) =  √(a2 - a2/4) = a√3/2



Vконуса = пR2*OB/3 = п a2/4*a√3/2 /3 = п a3√3/24

r - радиус шара.  r=a√3 /6.

Vшара = 4/3 *пr3 = 4/3* пa3 3√3 / 216 = пa3√3/54

Vконуса / Vшара = 54/24 = 2.25 Ответ: 2,25.

№ 4. Объем цилиндра 96π см3, площадь его осевого сечения 48 см². Найти площадь сферы, описанной около цилиндра. Ответ : S/π



xy=48,   y = 48/x.

D - диагональ осевого сечения является диаметром шара.

D2 = x2 + (48/x)2      S сферы =πD2.

По условию V цил = 96π.

V цил = πx2/4 *y = πx2/4*(48/x) = 12πх = 96π;   x=96/12 = 6.

D2=62 +(48/6)2 = 62+82 = 100. S сферы = πD2 = 100π.

Ответ: 100.

5. Радиус шара равен R. Найдите площадь поверхности вписанного в шар куба.

Если куб вписан в шар, то его наибольшая диагональ D2 = 3a2 ;

D2 = (2R)2 = 3a2 ;    a2 = 4R2/3.

S=6a2 = 6*4R2/3 = 8R2    Ответ:  8R2

6. Шар объёмом 6м3  вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра (в м3), описанного около шара.



Диаметр шара D=2R,  равен диаметру основания цилиндра и равен высоте цилиндра H.

R - радиус шара и основания цилиндра.



Vшара= 4/3 ∏R3 = 6.    R3 = 4,5/∏

V цилиндра = ∏R2 ·H =∏R2 ·2R = 2∏R3 = 2∏·4,5 / ∏ = 9.

Ответ: 9.

№ 7. В сферу вписан конус, образующая которого равна 1, а угол при вершине осевого сечения равен 60º. Найдите площадь сферы.

S=4ПR2, где R - радиус сферы.

Рассмотрим осевое сечение сферы. Оно представляет собой окружность, в которую вписан равнобедренный треугольник АВС с углом при вершине 60 градусов, углы при основании равны 60, значит этот треугольник равносторонний со стороной а. Радиус окружности, описанной около треугольника - это радиус сферы. По теореме синусов а/sin60=2R, где R - радиус окружности, описанной около треугольника , откуда  R=a/√3

Тогда S=4ПR2=4Пa2/3 = 4П/3 Ответ: 4П/3

№ 8. Стороны оснований и диагональ прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:2:3. Длина бокового ребра равна 4. Найдите объем параллелепипеда.

k - коэффициент пропорциональности, тогда а = k, b = 2k  , d = 3k

По формуле d2 = а2 + b2 + снаходим  стороны  (3k)2 = k2 + (2k)2 + 42           d- диагональ, а, b, с - стороны параллелепипеда.

9k 2 = k2 + 4k2 + 16;   4k2=16;   k=2;   k=-2 не удовлетворяет условию:  а=2,    b=2*2=4,       с=4.

V= аbс = 2*4*4 = 32. Ответ: 32.

9. Каким должен быть радиус основания цилиндра с квадратным осевым сечением, для того чтобы его объем был такой же, как и у шара радиуса 3м?

Объем цилиндра равен Vц = πr2*h , где h-высота цилиндра, в нашем случае она равна h= 2r => Vц= 2πr3

Объем шара равен Vш = 4/3 πR3 , находим объем шара: Vш= 4/3 π*33 = 36π.

Приравняем Vц = Vш и найдем r цилиндра 2πr3 = 36π;

r3=18; r = 3√18

10. Чему равна полная поверхность конуса, описанного около правильного тетраэдра с ребрами длины а?

Т.к. тетраэдр правильный, то в основание конуса вписан равносторонний треугольник со стороной a. R=a/√3.

S боковой поверхности конуса Sбок.= πRL, где L=a, => Sбок.= πa2/√3

S полной поверхности конуса S= πa2/√3 + πa2/3 = πa2(1/√3+1/3)

11. Чему равна площадь сферы, описанной около куба с ребром 1?

По теореме Пифагора находим диагональ основания куба. Обозначим ее AD.

AD2 = 12+12 = 2; AD=√2 Находим диагональ всего куба, она же - диаметр сферы.

AC2 = AD2+DC 2= 2+12 = 3; AC = √3; Sсферы = 4πR2 = 4π*(3/4) = .

12. Найдите объем прямоугольной призмы, вписанной в цилиндр, если основание призмы служит прямоугольник, одна из сторон которого равна 6, радиус основания цилиндра 5 , высота призмы 10.

Т.к. прямоугольник вписан в окружность, то его диагональ будет диаметром этой окружности, а также является гипотенузой прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен 6. По теореме Пифагора найдем второй катет:

x2 = (2*5)2 - 62 ; x=8

Найдем объем призмы:

V=6*8*10=480

13                            

             

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.



Решение. В основании параллелепипеда - квадрат. Его стороны равны диаметру основания цилиндра, т.е.  а=d=2.

V= Sосн·H = a2· H = 22·1=4.             Ответ: 4.



№ 14.

Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 7,5. Найдите его объем.



Решение.

Если прямоугольный параллелепипед описан около сферы, то он - куб. Его ребра равны диаметру сферы, т.е. a = 7,5·2=15.

V= a3 =153 = 3375. Ответ: 3375.

15. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 27.

Vцилиндра = Sосн H,         Vконуса = Sосн H/3 =27.   Видим, что объем конуса в 3 раза меньше объема цилиндра, значит Vцилиндра = Vконуса*3 = 27*3 =81.

Ответ: 81.

16.

Шар объёмом 6 метров кубических вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра (в метрах кубических).

V шара = (4/3)пR3 =6            -->   R3 =6*3/(4п) = 4,5/п

Vцил = пR2H = пR2*2R= 2пR3 = 2п* 4,5/п = 9 (м3)            

Ответ: 9.

Замечание. Высота цилиндра, в который вписан шар, равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара.

17. В цилиндрический сосуд налили 200 cм3  воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь, при этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Выразить ответ в см3.



Решение. Найдем площадь основания цилиндра.  S=200/12=50/3. Если уровень воды поднялся на 9см, то объем воды с опущенной деталью увеличился на S*9=50/3*9=150 см куб. Это и есть объем детали.

Ответ: 150.

№ 18. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. 
Найдите ребро куба.

 Решение. Пусть ребро куба равно А, тогда V1=A·A·A, a  V2=(A+1)(A+1)(A+1)=(A+1)3 = A3+3A2+3+1.

Уравнение:  V2–V1=19,     (A3+3A2+3A+1) – A3 = 19,   3A2+3A-18=0,  A2+A-6=0,    A1=2, A2=-3 - не подходит. Чтобы решить, надо знать формулу  (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ответ:   А=2

№ 19. Закрытый сосуд в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами 30, 40, и 45 см стоит на горизонтальной поверхности таким образом, что наименьшая грань является дном. В сосуд налили воду до уровня 36 см. На каком уровне окажется вода, если сосуд поставить на наибольшую грань? (ответ дайте в см).

Решение. V=30*40*36   - объем воды   V= 40*45* h, 40*45 – наибольшая грань, h – уровень воды

30*40*36 = 40*45*h    -->   h=30*36/45 = 24 Ответ: 24.



№ 20. С1. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна L и наклонена с плоскости боковой грани под углом a, найти площадь боковой поверхности призмы.

AB=L,   угол BAC=a,    угол BCA=90°,    



Sбок = 4x∙H

Из 3-ка BAC:  x=L sina,   d=L cosa.



Из 3-ка ACO:  H=AO=√ (d2 - x2) = L√(cos2a - sin2a)  = L√(cos2a).

S = 4L2sina (cos2a)

Ответ: 4L2sina(cos2a)


Похожие:

Егэ задачи геометрия. Егэ iconВопросы к экзамену по дисциплине «Начертательная геометрия и архитектурная графика»
Дисциплина ˮНачертательная геометрия и архитектурная графика“, ее задачи и методы их решения. Значение графических изображений в...
Егэ задачи геометрия. Егэ iconФормирование готовности к изучению систематического курса геометрии посредством преподавания предмета «Наглядная геометрия» в 5-6 классах
Геометрия, как учебный предмет, обладает уникальными возможностями для решения главной задачи общего математического образования...
Егэ задачи геометрия. Егэ icon2. Основная часть. Что такое геометрия? Геометрия
Геометрия – раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения. Геометрия всегда интересовала учёных...
Егэ задачи геометрия. Егэ iconРабочая программа учебной дисциплины б10 Начертательная геометрия. Специальность: 190300. 65 Подвижной состав железных дорог
Целями освоения учебной дисциплины «Начертательная геометрия» являются: заложение у студентов знаний и умений с помощью чертежа излагать...
Егэ задачи геометрия. Егэ iconРабота в графическом редакторе Paint Геометрия в Paint
...
Егэ задачи геометрия. Егэ iconОД. А. 05. 01 Алгебраическая геометрия Цели и задачи дисциплины
Целью изучения дисциплины является: ознакомление студентов с наукой, в которой удивительно эффективным образом сочетаются методы...
Егэ задачи геометрия. Егэ iconВычислительная геометрия
Поэтому даже школьнику уровня 7-8 класса несложно будет разобраться в изложенном материале. Будем рассматривать задачи вычислительной...
Егэ задачи геометрия. Егэ iconКонтрольная работа выполняется в виде реферата. Темы рефератов распределяются и закрепляются на сессии
Геометрия до Евклида : геометрия Вавилона и Египта, геометрия древней Греции ( Фалес Милетский, школа Пифагора, Платон, Аристотель,…)....
Егэ задачи геометрия. Егэ iconРабочей программы «Геометрия 9 класс» Цели и задачи изучения учебного предмета
Место учебного предмета в структуре ооп: учебный предмет относится к базовой части учебного плана
Егэ задачи геометрия. Егэ iconБесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий
Трудно назвать в какой-либо другой части геометрии теоремы, которые проще всего доказать используя методы и идеи теории групп, а...
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com