Решение. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Диагональ имеет длину, а диагональ. Площадь ромба будет равна



Дата17.06.2015
Размер67,1 Kb.
ТипРешение

6. ГЕОМЕТРИЯ
6.1. Найдите площадь ромба ABCD. Размер каждой клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Диагональ имеет длину , а диагональ . Площадь ромба будет равна .



Ответ: 8.
6.2. Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках и . Найдите расстояние между центрами окружностей, если .




Решение.

Пусть центр первой окружности находится вне второй окружности (см. рисунок 1).

В
прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, т.к. является радиусом первой окружности, катет равен 8 (половина ). Катет , по теореме Пифагора, равен 6. Аналогично из прямоугольного треугольника находим катет , который равен 15. Расстояние между центрами окружностей равно, как видно из рисунка 1, сумме .

Если центр первой окружности находится внутри второй окружности (см. рисунок 2), то расстояние между их центрами равно разности и , т.е. оно равно 9.



Ответ: 21; 9

6.3. Высоты треугольника пересекаются в точке . Известно, что отрезок равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол .




Решение.

Положим , – радиус описанной окружности. Рассмотрим случай, когда – острый угол. На рисунке 1 – высоты треугольника , точки и лежат на прямых и соответственно, причем и . Точка лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам и треугольника , поэтому она является центром окружности, описанной около этого треугольника, а – радиус этой окружности. Из треугольников и получим, что и, аналогично, . Следовательно, треугольники и подобны, так как угол у них общий, а прилежащие к нему сторонам пропорциональны с коэффициентом . Радиусы окружностей, описанных около подобных треугольников, имеют ту же пропорцию, т.е. и по условию равен . Значит .

Е
сли угол – тупой, то аналогичные рассуждения с помощью рисунка 2, приводят к выводу, что коэффициент подобия треугольников и равен , и. следовательно .


Ответ: ;

6.4. Дана трапеция с боковыми сторонами и верхним основанием . Известно, что . Найдите .

Решение.

Рассмотрим треугольник , где . В этом треугольнике , , так как этот угол дополнительный к углу . Обозначим отрезок через и выразим сторону по теореме косинусов. Получим уравнение , или . Это уравнение имеет два корня и . Это означает, что существуют два треугольника и , а значит и две трапеции и , удовлетворяющих условиям задачи. Пусть , . Точка – основание высоты равнобедренного треугольника , лежит посередине между точками и , поэтому . По теореме Пифагора: . В треугольнике катет равен 12, следовательно . В треугольнике катет равен 8, следовательно .
Ответ: 36;
6.5. Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см в первый раз вращается вокруг большего катета, а во второй – вокруг меньшего. Найдите отношение меньшей боковой поверхности получившихся тел к большей.

Решение.

Площадь боковой поверхности конуса равна , где радиус основания, образующая. Образующая для обоих конусов одинаковая и равна гипотенузе прямоугольного треугольника . Если треугольник вращается вокруг большого катета, радиус основания равен 3 и, соответственно, площадь боковой поверхности равна



. Если треугольник вращается вокруг меньшего катета, то радиус основания равен 4, а площадь боковой поверхности . Таким образом .

Ответ: 0,75.
6.6. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной треугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Решение.

Объем конуса равен площади основания (круга), умноженной на высоту: .

Радиус окружности описанной вокруг правильного треугольника это радиус основания конуса, описанного около пирамиды. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник это радиус основания конуса, вписанного в эту пирамиду. Объем первого конуса , второго - , а значит .

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника в два раза больше радиуса окружности, вписанной в этот правильный треугольник, т.е. . Следовательно .



Ответ: 4.
6.7. Ребра и пирамиды равны 24 см и 10 см. Расстояние между серединами ребер и равно 13 см. Найдите угол между прямыми и .

Решение.

На рисунке точки – середины отрезков соответственно. Отрезок равен 13 см.

Отрезок является средней линией треугольника , поэтому он параллелен и равен 5 см. Отрезок является средней линией треугольника , поэтому он параллелен и равен 12 см. Треугольник прямоугольный, т.к. его стороны 5, 12 и 13см. Угол между прямыми и равен углу между отрезками и и является прямым.
Ответ:

6.8. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и .




Решение.

Отрезок равен и параллелен отрезку , как противоположные стороны параллелограмма, поэтому угол между прямыми и равен углу между отрезками и . В треугольнике стороны , . Применив теорему косинусов, получим , откуда .


Ответ:

6.9. В правильной четырехугольной пирамиде , все стороны которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями и .

Р
ешение.

Двугранный угол измеряется линейным углом, который образован прямыми, лежащими на каждой из плоскостей и перпендикулярных их пересечению.

На рисунке это угол между отрезками и .
В прямоугольном треугольнике катет , гипотенуза , как высота правильного треугольника.

Следовательно,



Ответ:
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
6.1. Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника АВС, если стороны квадратных клеток равны 1.
В ответе укажите .




6.2. Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины В, если стороны квадратных клеток равны .


6.3. Две касающиеся окружности имеют радиусы R и r (R>r) и касаются одной прямой. Найдите радиус третьей окружности, внешне касающейся двух данных и касающейся данной прямой.

6.4. Медиана в треугольнике, выходящая из одной вершины, равна высоте, опущенной из другой вершины, и равна 1. Высота, опущенная из третьей вершины, равна . Найдите площадь треугольника.

6.5. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС равна биссектрисе внешнего угла при вершине А и равна стороне АВ. Найдите углы треугольника АВС. (Биссектриса внешнего угла при вершине В есть отрезок биссектрисы угла, смежного с В, ограниченный точкой В и точкой пересечения с прямой АС).

6.6. Объём данного правильного тетраэдра равен 2 см3. Найдите объём правильного тетраэдра, ребро которого в 3 раза больше ребра данного тетраэдра.

6.7. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде ABCDA1B1C1D1 стороны оснований равны 4 и 8, а высота равна . Найдите расстояние от вершины меньшего основания А1 до плоскости боковой грани DD1C1C.

6.8. Основание прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 – треугольник АВС, в котором АС=ВС=6, а один из углов равен . На ребре СС1 отмечена точка Р так, что СР:РС1=2:1. Найдите тангенс угла между плоскостями АВС и АВР, если расстояние между прямыми АС и А1В1 равно .

Ответы к задачам для самостоятельного решения

6.1. 5

6.2. 2;

6.3.

6.4.

6.5.

6.6. 8;

6.7. 2

6.8. 4




Похожие:

Решение. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Диагональ имеет длину, а диагональ. Площадь ромба будет равна iconПодготовка к гиа по Геометрии Вопрос №1
Площадь параллелограмма равна половине произведения его основания на высоту, проведённую к этому основанию
Решение. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Диагональ имеет длину, а диагональ. Площадь ромба будет равна iconПлощадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны Найдите объем параллелепипеда
Решение. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Диагональ имеет длину, а диагональ. Площадь ромба будет равна iconТесты по планиметрии для 9 класса
В прямоугольнике диагонали пересекаются под углом 120˚, а сумма диагонали и меньшей стороны равна 36. Диагональ равна
Решение. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Диагональ имеет длину, а диагональ. Площадь ромба будет равна iconРешение четырехугольников Теорема Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту
Теорема Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие имеют одинаковую площадь
Решение. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Диагональ имеет длину, а диагональ. Площадь ромба будет равна icon2. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны
Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 10. Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в...
Решение. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Диагональ имеет длину, а диагональ. Площадь ромба будет равна icon«Четырехугольники»
В квадрате авсд диагонали пересекаются в точке О. Ао = 7см. Чему равна диагональ вд?
Решение. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Диагональ имеет длину, а диагональ. Площадь ромба будет равна iconКонтрольная работа Тема: «Геометрия» Вариант 1 Площадь боковой поверхности куба равна 4900 см 2
Основание прямой треугольной призмы прямоугольный треугольник с катетами 8м и 6м. А её боковое ребро 12м. Найдите площадь полной...
Решение. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Диагональ имеет длину, а диагональ. Площадь ромба будет равна iconВопросы (определения, формулировки теорем без доказательства)
Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его диагональ увеличить в 1,5 раза?
Решение. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Диагональ имеет длину, а диагональ. Площадь ромба будет равна iconЗадания за 1 четверть 11 класс по геометрии Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а
Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а. Диагональ призмы наклонена к плоскости боковой грани под углом 300....
Решение. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Диагональ имеет длину, а диагональ. Площадь ромба будет равна iconЗадача по теме «Геометрические преобразования». «А». Начертите ромб авсд. Постройте образ этого ромба
В прямоугольной трапеции острый угол а равен 45°,а высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки...
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com