Исследование окружности и её свойств в теоремах для решения задач работу



Скачать 202.96 Kb.
Дата17.06.2015
Размер202.96 Kb.
ТипИсследование



IX школьная научно – практическая конференция

«Горизонты науки и образования XXI века

Секция: геометрия


ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРУЖНОСТИ И ЕЁ СВОЙСТВ В ТЕОРЕМАХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Работу выполнила

Мусалова Лилия Хайдаровна

Лицея №3 11 ф/м класс
Школьный учитель Колесникова С.В.

Учитель высшей категории


г. Оренбург 2006

СОДЕРЖАНИЕ

  1. Введение………………………………………………………..3

  2. Окружность, свойства окружности…..………………………4

  3. Теоремы и задачи……....……………………………………...5

  4. Задачи для самостоятельного решения ...………………16-17

  5. Использованная литература…………………………………18



  1. Введение

Окружности в задачах геометрии составляют значительную часть школьного курса планиметрии. Это объясняется исключительной актуальностью подобных задач в науке и производстве, в архитектуре, искусстве и даже в быту. Раскрой материала с минимальными отходами, расчет центра тяжести изделия и оценка его прочностных свойств, построение изысканного узора или проектирование архитектурного шедевра - все это требует решения задач элементарной геометрии, часть которых рассматривается в данной работе.

Работа посвящена решению основных классов геометрических задач с окружностями (вписанные окружности, описанные окружности).

Цель работы: исследовать окружность и её свойства в теоремах для дальнейшего решения задач.


  1. Окружность, её свойства

Окружность – это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

Расстояние от точек окружности до её центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности. Величина центрального угла равна величине соответствующей дуги (выраженной в радианах или градусах).

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Свойства окружности:


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).

  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Секущая – прямая, проходящая через две точки окружности.

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.



Сегмент – часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой.

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, являются диаметром.




Теорема 1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.







Следствие 1. Все вписанные углы данной окружности, опирающиеся на одну дугу, равны и составляют половину соответствующего центрального угла, т. е.

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой.
Теорема 2. Угол, образованный касательной и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между сторонами этого угла.




Из теорем 1 и 2 следует, что угол между касательной и хордой равен вписанному углу и в два раза меньше центрального, опирающихся на дугу, заключенную между касательной и хордой, то есть .

Теорема 3. Около четырехугольника можно описать окружность в том и только том случае, если суммы противоположных углов четырехугольника равны друг другу.







1). На катете АС прямоугольного треугольника АВС как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке К. Найдите площадь треугольника СКВ, если длина катета АС равна 4 и величина угла АСК равна .

Решение. Угол АКС – прямой, так как опирается на диаметр АС окружности. В прямоугольном треугольнике АКС находим






В прямоугольном треугольнике ВКС находим,

Тогда площадь прямоугольного треугольника ВКА равна

Ответ: .



2). Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса 2. Найдите сторону АВ, если AD=2,.

Решение. Пусть О – центр окружности, описанной около четырехугольника ABCD. Сторона АD равна радиусу окружности, следовательно, треугольник AOD – равносторонний, . Дуга . Градусная мера дуги DAB в два раза больше градусной меры опирающегося на нее угла BCD и равна .




Тогда

Угол АОВ – центральный, опирающийся на дугу АВ, .

По теореме косинусов для треугольника АОВ получаем или Следовательно

Ответ:


Также при решении задач о многоугольниках, вписанных в окружность, часто используются теорема синусов.
Теорема 4. Если R – радиус окружности, описанной около треугольника АВС, то выполняются равенства .

3). Длина диагонали АС выпуклого четырехугольника ABCD равна Углы ABC, ACD и DАС равны соответственно 105°, 42° и 630. Найдите площадь круга, описанного около треугольника ABD.

Решение. В треугольнике ACD ACD = 42°, DAС= 63°,

следовательно, CDA =1800- 42° - 63° = 75°





В четырехугольнике ABCD сумма противоположных углов ABC и CDA равна 180°, следовательно, около него можно описать окружность. Получаем, что точ­ка С принадлежит окружности, описанной около тре­угольника ABD. Ее радиус равен радиусу окружно­сти, описанной около треугольника ABC, то есть



Так как

то

Следовательно

Ответ:



4). В треугольнике ABC A = 45°, B = 75°. На стороне АВ как на диаметре построена окружность, которая пересекает стороны АС и ВС в точках D и Е. Определите пло­щадь треугольника ABC, если DE = 1.




Решение. В треугольнике ABC С = 180° - А - В = 60°. , как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Аналогично

Покажем, что треугольник EDC и ABC подобны. Из прямоугольного треугольника АСЕ следует, что Из прямоугольного треугольника BCD следует, что Следовательно, треугольники EDC и АВС подобны, так как. Следовательно, треугольники EDC и ABC подобны, так как C - общий, и



Коэффициент подобия треугольников Значит, и АВ=2.

По теореме синусов для треугольника АВС получаем:



Отсюда Тогда

Из формулы получаем



Окончательно имеем

Ответ:


Теорема 5. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, представляет собой серединный перпендикуляр к нему.
Теорема 6. Отрезок, содержащий центр окружности и перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
Теорема 7. Центр описанной около треугольника окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
5). Радиус окруж­ности, проходящей через три вершины ромба, равен , а длина диагонали ромба, проходящей через центр окружности, равна 3 . Найдите площадь ромба.

Решение. Пусть О — центр окружности, проходя­щей через вершины А, В, С ромба ABCD, О BD, К — точка пересечения диагоналей ромба ABCD. В общем случае возможны два варианта:

1) угол ABC — острый, и тогда точка О лежит внут­ри треугольника ABC, то есть между точками В и К;



2) угол ABC — тупой, и тогда точка О лежит вне треугольника ABC, то есть точка К лежит между точ­ками В и О



Тогда в обоих случаях, так как ABCD — ромб, то его диагонали перпендикулярны (AC BD) и делят­ся точкой пересечения пополам:

(радиусы окружности). Так как по условию ВК > OB, то возможен только первый случай. Таким образом

Из теоремы Пифагора для прямоугольного тре­угольника ОКС получаем





Ответ:

При решении следующих задач используются те­оремы:



Теорема 8 (о свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведен­ному в точку касания.

Теорема 9 (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окруж­ности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Теорема 10. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через точку и центр окружности.

Теорема 11. Центр окружности, вписанной в мно­гоугольник, лежит в точке пересечения биссектрис всех внутренних углов данного многоугольника.

Теорема 12. Радиус окружности, вписанной в пря­моугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c, равен
6). В прямоуголь­ную трапецию вписан круг радиуса 4. Отношение длин оснований трапеции равно 2. Найдите площадь тра­пеции.

Решение. Соединим центр окружности с точками касания и проведем высоту СК. СМ = CQ и DP= DQ (отрезки касательных, проведенных из од­ной точки). Пусть МС= х, тогда ВС = ВМ + МС = 4 + х.
М X


AD = 2BC (по условию), AD = 8 + 2х. Четырех­угольник РМСК — прямоугольник. Значит, СК=РМ = 8, РК = МС = х.

KD=PD - PK = 4+x. Рассмотрим треугольник KCD.

CKD= 90°, CDгипотенуза и CD = CQ + QD = МС + PD = 4 + 3х. Из теоремы Пифагора для прямоугольного тре­угольника KCD получаем CD2 = СК2 + KD2 то есть (4 + 3х)2 = 82 + (4 + х)2.

Или х2 + 2х - 8 = 0. Корнями последнего уравне­ния являются числа



х1= -4 и х2 = 2. Следовательно, МС = 2. Тогда ВС = 6, AD=12.

Ответ: 72.



7). В треугольнике ABC АВ=28, АС=17, А = . Найдите радиус окружности, касающейся стороны ВС и про­должений сторон АВ и АС. Решение. Обозначим через N и Р точки касания окружности с продолжениями сторон АВ и АС. Из теоремы косинусов для треугольника ABC найдем сторону ВС:

ВС2 =АВ2+ АС2 - 2АВ АС cos А =

Отсюда ВС = 25. Пусть ВМ = х, МС = у. По свой­ству отрезков касательных к окружности, проведен­ных из одной точки, получаем



BN =ВМ = х, PC=CM= у, AN=AP.

Получаем систему Решая систему, получаем х=7, у=18.

По свойству касательной ONNA. Тогда из пря­моугольного треугольника AON найдем радиус окруж­ности



Ответ: 21.



Теорема 13. Площадь многоугольника, описанного около окружности радиуса r, равна S=pr, где p – полупериметр многоугольника
Теорема 14. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

8). В ромб ABCD вписана окружность, касающаяся сторон ВС и CD в точках М и N. Найдите длину отрезка MN, если АС = 6, a BD = 8.



Решение. Так как диагонали ромба взаимно пер­пендикулярны и делятся точкой пересечения попо­лам, то в треугольнике ВОС ВОС = 90°, следовательно

Если S — площадь ромба, то справедливы равен­ства d1d2 и S = рr. где d1, d2 — диагонали ром­ба, р — его полупериметр, r — радиус вписанной ок­ружности. Из первого равенства находим



S =AC • BD =

Тогда согласно второму равенству 24 =10r. Отку­да r = 2,4.

В треугольнике ОМС по свойству каса­тельной ОМС = 90°, ОМ = 2,4,

ОС = 3, так что

В силу симметрии МС: ВС=CN:CD, следовательно, треугольники MCN и BCD подобны, и Откуда

Ответ: 2,88.

Теорема 15. Если через точку М вне окружности провести две секущие, то произведение длин секущих на их внешние части будут равны: (о секущих)
Теорема 16. Если через точку М вне окружности провести секущую и касательную, то произведение длины секущей на ее внешнюю часть будет равно квадрату длины касательной: (о секущей и касательной)
9). Через вер­шины А и В прямоугольного треугольника ABC (угол С — прямой) проведена окружность, касающаяся сто­роны АС и пересекающая продолжение стороны ВС в точке D. Найдите радиус окружности, если известно, что АВ = 3 см и CD = 3,2 см.

Решение. Обозначим искомый радиус через R. Из точки О опустим перпендикуляр ОК на продолжение стороны СВ. По свойству касательной АС ОА, АОКС — прямоугольник и СК=АО=R, KD=CD-R


Так как ОK BD, то ВК = KD, СВ=СК - ВK =R - (CD - R) = 2R - СD.

Следовательно, Найдем СВ. По теореме Пифагора для прямоуголь­ного треугольника ABC получаем АС2 = АB2 – СВ2. По теореме об отрезках касательной и секущей, прове­денных к окружности из одной точки, получаем . Таким образом,

АВ2-СВ2 = CBCD, 9 – СВ2=3,2•СВ. Решая квадратное уравнение и учи­тывая, что СВ > 0, получаем СВ=1,8. Следователь­но, R = 2,5.

Ответ: 2,5 см.

Теорема 17. Центры касающихся окружностей и точка касания лежат на одной прямой, как при внешнем, так и внутреннем касании. Расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, если окружности касаются внешним образом, и разности радиусов, если внутренним.

10). На плоско­сти между двумя концентрическими окружностями радиусов r и R вписаны четыре круга так, что они попарно касаются друг друга, и каждый из них каса­ется обеих концентрических окружностей. Найдите отношение


Решение. Пусть О1, О2, О3, О4 — центры вписан­ных кругов. Для любого вписанного круга его центр, точки касания им концентрических окруж­ностей, а также центры последних лежат на одной прямой. Отсюда следует, что радиусы вписанных кругов равны Так как центры любой пары вписанных кругов и точка их касания также лежат на одной прямой, то четырехугольник O1O2O3О4 — ромб. Диагонали ромба перпендикулярны. Следовательно, треугольник ОО2О3прямоугольный.

Из теоремы Пифагора следует Или


Разделив левую и правую части равенства на r2, получим Сделав замену — х, получим уравнение х2-6x+1=0, корнями которого являются числа х1,2 = 3 ± 2 , а поскольку R>r, то — =3 + 2. Ответ: 3 + 2.

  1. Задачи для самостоятельного решения

  1. На высоте СЕ, опущенной из вершины С пря­моугольного треугольника ABC на гипотенузу АВ, как на диаметре построена окружность, которая пересе­кает катет ВС в точке К. Найдите площадь треуголь­ника ВКЕ. если длина катета ВС равна а и величина угла ВАС равна 30°.

  2. Четырехугольник KLMN вписан в окружность радиуса 8. Найдите сторону MN, если LM = ,

  3. В трапеции KLMN (KN || LM) сторона KN = 3, а угол М равен 120°. Прямые MN и LM являются касательными к окружности, описанной около тре­угольника KLN. Найдите площадь треугольника KLN.

  4. Радиус окружности, описанной около треуголь­ника ABC, равен . Другая окружность радиуса 3 проходит через вершину А треугольника АВС и каса­ется стороны ВС в точке В. Найдите радиус окружно­сти, проходящей через вершину А и касающейся сто­роны ВС в точке С.

  5. Длина диагонали BE выпуклого пятиугольни­ка ABCDE равна . Углы BAЕ, CED, BCD и CDE равны соответственно 135°, 20°, 105° и 100°. Найдите площадь круга, описанного около треугольника ABC.

  6. В треугольнике ABC А=15°, В= 105°. На стороне АВ как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону АС и продолжение ВС в точках D и Е. Определите площадь треугольника ABC, если DE = 4.

  7. Равнобедренная трапеция вписана в окружность так, что центр окружности принадлежит одному из оснований. Найдите площадь трапеции, если ее вы­сота равна 8, а большее основание равно 20.

  8. В круг вписана трапеция с основаниями, рав­ными 1 см и 7 см, и боковой стороной, равной 5 см. Найдите площадь круга.

  9. Катеты прямоугольного треугольника относят­ся как 4:3. Высота, опущенная из вершины прямого угла, равна 24 см. Определите радиус описанной ок­ружности.

10) Площадь равнобочной трапеции равна 50, острые углы трапеции равны 60о. Найдите периметр трапеции, если известно, что в трапецию можно впи­сать круг.

11) В параллелограмме ABCD АВ = 5, ВС = 8, Найдите радиус окружности, касающейся стороны ВС, продолжения стороны CD и про­должения диагонали BD.
12) В трапецию ABCD (ВС || AD) вписана окруж­ность с центром в точке О, касающаяся сторон АВ, ВС и CD в точках К, Т, Е соответственно. Отношение градусных мер углов АОК, ВОТ и СОЕ равно 4:2:3. Найдите расстояние от точки А до точки пересечения прямых DO и АВ, если ТВ=4 см.

13) Площадь равнобочной трапеции, в которую вписан круг, равна 10. Высота трапеции в два раза меньше ее боковой стороны. Найдите площадь впи­санного круга.

14) Боковые ребра трапеции, описанной около кру­га, равны 5 и . Определите радиус круга, если из­вестно, что одно из оснований трапеции равно .

15) В треугольнике ABC АВ = ВС. Окружность с центром в точке О (О — средина отрезка АС) касает­ся сторон АВ и ВС в точках М и N. Найдите длину отрезка MN, если АО = 3, а ВО = 4.

16) В треугольнике ABC проведена медиана BD, ABC = 135о. Окружность, описанная около тре­угольника BCD, касается прямой АВ, ее радиус ра­вен 2. Найдите площадь треугольника ABC.

17) Около прямоугольного треугольника ABC (угол В — прямой) описана окружность. На продолжении стороны ВС за вершину В взята точка D так, что BD = 2 см. Отрезок AD, равный 4 см, пересекает окруж­ность в точке К. Найдите радиус окружности, если известно, что АК = 1 см.

18) На плоскости между двумя концентрически­ми окружностями радиусов r и R вписаны шесть кру­гов так, что они попарно касаются друг друга и каж­дый из них касается обеих концентрических окружностей. Найдите отношение

19) Сторона квадрата ABCD равна а. Точка М - середина стороны ВС. На отрезке ВМ, как на диамет­ре, построена окружность . Найдите радиус окруж­ности, расположенной внутри квадрата, касающейся сторон ВС, CD и окружности .

20) Две окружности касаются внутренним образом. Прямая l пересекает большую окружность в точках Р и Q и касается меньшей окружности в точке R. Най­дите радиус меньшей окружности, если известно, что PR = 44, RQ = 4, а радиус большей окружности равен 40.



Ответы: 1. 2. 3. 4. 7. 5. 6. 7. 128. 8. 9. 50 см. 10. 40. 11. 3. 12. 13. 14. 2. 15. 3,84. 16. 17. см. 18. 3. 19. 20. 11.

  1. Использованная литература


1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных учреждений. 13-е изд. - М.: Просвещение, 2003, - 384 с.

2. Гордин Р.К. Это должен знать каждый матшкольник. 2-е изд., испр. - М.: МЦНМО, 2003, - 56 с.

3. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы. - С-Пб. 2003.

4. Прокофьев А., Соколова Т. Окружности в задачах (на материалах вступительных экзаменов в МИЭТ). - Учебно-методическая газета «Математика», 2005, №19, - с.39-48.

5. Шарыгин И.В. Задачи по геометрии. Планиметрия. М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. литературы, 1982, - 160 с.

IX школьная научно – практическая конференция

«Горизонты науки и образования XXI века


тезисы

ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРУЖНОСТИ И ЕЁ СВОЙСТВ В ТЕОРЕМАХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Работу выполнила

Мусалова Лилия Хайдаровна

Лицея №3 10 ф/м класс
Школьный учитель Колесникова С.В.

Учитель высшей категории

г. Оренбург 2006

Окружности в задачах геометрии составляют значительную часть школьного курса планиметрии. Это объясняется исключительной актуальностью подобных задач в науке и производстве, в архитектуре, искусстве и даже в быту. Раскрой материала с минимальными отходами, расчет центра тяжести изделия и оценка его прочностных свойств, построение изысканного узора или проектирование архитектурного шедевра - все это требует решения задач элементарной геометрии, часть которых рассматривается в данной работе.



Работа посвящена решению основных классов геометрических задач с окружностями (вписанные окружности, описанные окружности).

Цель работы: исследовать окружность и её свойства в теоремах для дальнейшего решения задач.

Окружность – это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки.

Свойства окружности:

  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).

  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теоремы:

  1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается

  2. Угол, образованный касательной и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между сторонами этого угла

  3. Около четырехугольника можно описать окружность в том и только том случае, если суммы противоположных углов четырехугольника равны друг другу

  4. Если R – радиус окружности, описанной около треугольника АВС, то выполняются равенства

  5. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, представляет собой серединный перпендикуляр к нему.

  6. Отрезок, содержащий центр окружности и перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

  7. Центр описанной около треугольника окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

  8. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (свойство касательной)

  9. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной

  10. Отрезки касательной к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через точку и центр окружности

  11. Центр окружности, вписанной в многоугольник, лежит в точке пересечения биссектрис всех внутренних углов данного многоугольника

  12. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a,b и гипотенузой с, равен .

  13. Площадь многоугольника, описанного около окружности радиуса r, равна S=pr, где p – полупериметр многоугольника

  14. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны

  15. Если через точку М вне окружности провести две секущие, то произведение длин секущих на их внешние части будут равны: (о секущих)

  16. Если через точку М вне окружности провести секущую и касательную, то произведение длины секущей на ее внешнюю часть будет равно квадрату длины касательной: (о секущей и касательной)

  17. Центры касающихся окружностей и точка касания лежат на одной прямой, как при внешнем, так и внутреннем касании. Расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, если окружности касаются внешним образом, и разности радиусов, если внутренним



Похожие:

Исследование окружности и её свойств в теоремах для решения задач работу iconГеометрия окружности
На изучение темы по программе отводиться 15 часов. К сожалению, из-за ограниченности трудно поддержать интерес учащихся. Важные свойства,...
Исследование окружности и её свойств в теоремах для решения задач работу icon6 класс Цель: Образовательная
Образовательнаяактуализировать знания учащихся об окружности и круге, их элементах, провести практическую работу с целью вывода приближённого...
Исследование окружности и её свойств в теоремах для решения задач работу iconПрименение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применения этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач

Исследование окружности и её свойств в теоремах для решения задач работу icon2 Численные алгоритмы решения задач управления для моделей тепломассопереноса 9 Алгоритм решения обратных задач для линейных моделей тепломассопереноса 9 Численное

Исследование окружности и её свойств в теоремах для решения задач работу iconИсследование различных избирательных систем и их свойств с целью анализа рациональности их применения в современном мире
Исследование избирательных систем – известная задача теории игр и корпоративного принятия решений. Она может применяться при анализе...
Исследование окружности и её свойств в теоремах для решения задач работу iconИнформация о проведении недели предметов
«Сделать учебную работу насколько возможно интересной для ребёнка и не превратить эту работу в забаву – одна из труднейших и важнейших...
Исследование окружности и её свойств в теоремах для решения задач работу iconРабочая программа по элективному курсу «Арифметические методы решения задач. Наглядная геометрия»
«Арифметические методы решения задач. Наглядная геометрия» для 5 класса моу сош №1 г. Нижние Серги
Исследование окружности и её свойств в теоремах для решения задач работу iconСистематизировать вопросы теории и методов решения задач с параметром
Однако школьная программа не предусматривает выработки прочных навыков решения таких задач, хотя практика единого государственного...
Исследование окружности и её свойств в теоремах для решения задач работу iconПояснительная записка Курс рассчитан на 17 часов
Для успешного решения геометрических задач необходимо свободно владеть всем теоретическим материалом. Но и при хорошем знании теории...
Исследование окружности и её свойств в теоремах для решения задач работу iconЭлективный курс «Методы решения физических задач: 10-11 классы»
Элективный курс, «Методы решения физических задач» рассчитан на учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений универсального...
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com