Задача На стороне ав квадрата



Скачать 51,68 Kb.
Дата17.06.2015
Размер51,68 Kb.
ТипЗадача

В

Н. А. Печёнкин

голове углы

В геометрических задачах чаще всего встречаются углы 30°, 45°, 60°, 90°, … В задачах, о которых пойдёт речь в этой статье, наряду с перечисленными углами будут встречаться углы самых различных величин.



I. Разные примеры задач.

Первая задача несложная.



Задача 1. На стороне АВ квадрата ABCD во внутреннюю сторону построен равнобедренный треугольник АВР (АР=РВ) с углами при основании 15°. Найти угол DPC.

Решение. Построим на стороне ВС во внутреннюю сторону треугольник ВСО равный треугольнику АВР. Треугольник OBP равносторонний, т.к. OB=BP, OBP=60°. Следовательно, равны треугольники COP и COB (OP=OB=OC, COP=COB=150°). Значит, DP=РС=ВС=CD, треугольник PCD равносторонний, угол DPC равен 60°.
Задача 2. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника (см. рис.).

Указание. Окружность, описанная около треугольника с углами 20° и 25°, имеет центр в четвёртой вершине данного четырёхугольника.

В наших задачах, как, собственно, и во многих других геометрических задачах, очень важно додуматься до необходимого дополнительного построения.



Задача 3. В четырёхугольнике BGEC углы ЕВС, BCG, GCE и GEB равны соответственно 30°, 26°, 51° и 13°. Найти угол BGC.

Решение. Построим правильные треугольники ВАС и EFC как показано на рисунке. От точки Е отложим на стороне GE отрезок DE=ЕС. Теперь, рассмотрев симметрию относительно прямой BE, заметим, что треугольники АDE и EFC симметричны, а значит равны.

Треугольники ADB и AEC равны (AE=AD, AB=AC, EAC=DAB), поэтому AD=DB. Треугольники ADB и BFC тоже симметричны относительно ВЕ, откуда ВАD=17° АDB=146° ВDE=154° BDG=26°=BCG. Следовательно, около четырёхугольника BGDC можно описать окружность, а углы BGC и BDC равны. Угол BDC равен разности углов BDE и CDE, т.е. равен 107°, а значит и угол BGC равен 107°.



Следующая достаточно сложная задача предлагалась участникам ХХХ Всероссийской Математической Олимпиады Школьников.

Задача 4. Пусть О – центр описанной окружности остроугольного треугольника АВС, Т – центр описанной окружности треугольника АОС, М – середина АС. На сторонах АВ и ВС выбраны точки D и Е соответственно так, что углы BDM, BEM и АВС равны. Найдите угол между прямыми ВТ и DE.

Решение. Так как D и Е лежат на сторонах, то угол АВС – наибольший в треугольнике. Поэтому угол АОС, в два раза больший угла АВС, не меньше 120°, и точки О и Т лежат по разные стороны от АС. Пусть прямые МЕ и MD пересекают АВ и ВС соответственно в точках Х и Y. Из остроугольности АВС следует, что Х и Y лежат на продолжениях сторон ВA и ВС. Заметим, что DXM=180°–(АВЕ+BEM)=180°–2ABC, аналогично EYM=180°–2ABC, поэтому четырёхугольник DEYX – вписанный, а углы BED и BXY равны. Далее, ATM=2ACO (т.к. точки О, М и Т, очевидно, лежат на серединном перпендикуляре к АС, а Т – центр описанной окружности ∆АОС). Тогда АТМ=2(90°–МОС)=2(90°–АВС), т.к. О – центр описанной окружности ∆АВС. Поэтому АТМ=180°–2АВС=АХМ, откуда АМТХ – вписанный, откуда АХТ=АМТ=90°. Аналогично CYT=90°. Тогда четырёхугольник BXTY также вписанный, TBY=TXY=90°–BXY. Получаем BED+TBE=BXY+(90°–BXY)=90°. Откуда угол между ВТ и DE равен 90˚.
Рассмотрим следующую задачу.

Задача 5. Из вершин А и С равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) с углом при вершине В равным 20° проводятся две прямые до пересечения со сторонами треугольника соответственно в точках D и E так, что угол CAD равен 60°, а угол ACE равен 50°. Определить угол АDЕ.

Решение 1. Достроим треугольник АВС до правильного 18-угольника ACC1C2C3C15C16 так, чтобы точка В была центром этого 18-угольника. Теперь решение очевидно: точка D является пересечением прямых АС6, СС9 и С1С12, а точка Е – пересечением прямых СС12, С4С16 и АС8. Отрезок ВС1 перпендикулярен отрезку С4С16 (диагонали ромба ВС4С1С16). Так как углы DBC1 и DC1B равны, треугольник DBC1 – равнобедренный, а, значит, D лежит на С4С16, как и точка Е. Угол АDЕ равен углу между прямыми АС6 и С4С16, а его легко найти, он равен 30°.

Набросок решения 2. Из вершины С проведём прямую, пересекающую отрезок АВ в точке R и составляющую угол 60° с прямой АС. Она пересекает AD в точке М. Докажите, что DEM=∆DER. Из этого будет следовать, что углы EDA и EDR равны, а их сумма равна 60°, значит, угол EDA равен 30°.
Второе решение многим может показаться проще, а первое – надуманным. На самом деле, первое решение даёт общий способ для решения целого класса задач. Подробнее об этом рассказано в другой статье. Там же будет дано альтернативное решение задач, которые приведены в этой статье далее.

Равнобедренный треугольник с углом 80° при вершине даёт сразу несколько интересных задач на нахождение углов с похожими условиями, но совершенно разными геометрическими решениями.

Начнём с задачи, предлагавшейся на XVIII Турнире Городов:

Задача 6. P – внутренняя точка треугольника АВС (АВ=ВС). Углы АВС, РАС, АСР равны соответственно 80°, 40°, 30°. Найдите угол BPC.

Решение. На стороне BC рассмотрим такую точку D, что угол DAC равен 30°. Обозначим через О точку пересечения отрезков CР и AD. Треугольник АОС – равнобедренный, так как у него углы при основании АС равны. Высота этого треугольника, опущенная из точки О, является и биссектрисой, поэтому делит угол АОС, а также вертикальный ему угол POD пополам. Угол АОС равен 120°, отсюда углы РОВ и АОР равны 60°. Тем самым ОР делит угол АОВ пополам. АР – биссектриса треугольника АВО. Так как три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, ВР – биссектриса треугольника АВО и делит угол АВО пополам. Отсюда угол РВО равен 20°, а искомый угол ВРС равен 100°.

Следующая задача заимствовано из варианта Курчатовской Олимпиады за 2004 год.



Задача 7. Р – внутренняя точка треугольника АВС (АВ=ВС). Углы АВС, РАС, АСР равны соответственно 80°, 30°, 10°. Найдите угол ВРС.

Решение. На стороне АВ рассмотрим точку Е, что угол ЕСА равен 30°. ЕС пересекает АР в точке О. Точка О лежит на биссектрисе угла В треугольника АВС. Откуда угол ОВС равен 40°. Итак, ОРС= 40°=ОВС, РСО=ОСВ=20°, следовательно, треугольники РОС и ОСВ равны (по общей стороне и двум углам). Значит, АВ=BD. А так как угол ВОР равен 120°, из равнобедренного треугольника ОРВ найдём, что угол ВРО равен 30°. Угол ВРС равен сумме углов ВРО и ОРС, равен 70°.

Три задачи оставляются читателю для самостоятельного решения.


Задача 8. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки E и D соответственно так, что углы ADE и ECD равны 30°. Известно, что треугольник АЕС – равнобедренный (АЕ=АС). Считая, что угол АВС равен α, найти остальные углы АВС. Каким может быть угол α?

Задача 9. На сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) с углом при вершине 20˚ взяты точки E и D такие, что DAC=30˚, ECD=20˚. Найти CED.

Задача 10. Из вершин А и В квадрата ABCD проведены прямые АЕ и ВЕ так, что точка Е лежит внутри квадрата и DAE=15˚, ABE=30˚. Найти CED.
Литература.

В.Н.Березин, В.И.Слепой «Если треугольник задан» («Квант», N7 1975 года)

Похожие:

Задача На стороне ав квадрата iconЗадача На стороне ав квадрата
В геометрических задачах чаще всего встречаются углы 30°, 45°, 60°, 90°, … в задачах, о которых пойдёт речь в этой статье, наряду...
Задача На стороне ав квадрата iconКонтрольная работа №4 по теме «Длина окружности и площадь круга» (9 класс)
Длина окружности, описанной около квадрата, равна 8 см. Найдите периметр квадрата
Задача На стороне ав квадрата iconЗадача 16 1 Окружность имеет бесконечно много центров симметрии. 2 Прямая не имеет осей симметрии
Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника
Задача На стороне ав квадрата iconПланиметрия (С4)
Прямая, проведенная через середину n стороны ав квадрата abcd, пересекает прямые cd и ad в точках м и т соответственно и образует...
Задача На стороне ав квадрата iconГеометрические фигуры: круг, квадрат, треугольник
Цель: учить находить предметы в форме круга, квадрата, треугольника, вырезать круг из квадрата, правильно выполнять прыжки на месте...
Задача На стороне ав квадрата iconА Вычислите длину проекции стороны вс на прямую сd
Через точку в стороны рк треугольника ктр проведена прямая, параллельная стороне стороне тк и пересекающая сторону рт в точке А....
Задача На стороне ав квадрата iconЗадача 1 Задача 2 Задача 3 Алехин Сергей 1 11 1
«Основы алгоритмизации и программирования» для группы зпо-31
Задача На стороне ав квадрата icon1. Математические модели в экономике. Примеры: модели поведения потребителя и планирования производства в фирме
Общая задача нелинейного программирования. Задача нелинейного программирования и классическая задача условной оптимизации
Задача На стороне ав квадрата iconЛитература приложение актуальность проблемы
На современном этапе развития школы выдвигается задача преобразования традиционной системы обучения в качественно новую систему образования...
Задача На стороне ав квадрата iconРекомендации по оформлению реферата
Вся информация размещается на бумаге формата А4 (297X210) на одной стороне листа
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com