§ Оъем призмы Рассмотрим решения некоторых задач такого типа. Задача 6



Скачать 73.62 Kb.
Дата17.06.2015
Размер73.62 Kb.
ТипЗадача

§ 3. Оъем призмы

Рассмотрим решения некоторых задач такого типа.



Задача 6. Диагональ грани правильной треугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом . Вычислите длину диагонали боковой грани призмы, если объем призмы равен см3.


Дано: – правильная треугольная призма, .



см3.

Найти: .


а) б)

Рис. 74


Решение.

Заметим, что искомая диагональ боковой грани является гипотенузой прямоугольного треугольника. Можно выразить высоту призмы через длину стороны основания и воспользоваться формулой объема призмы.

  1. Отрезок – перпендикулярная проекция наклонной на плоскость , следовательно, .

  2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза , .

  3. Объем призмы можем найти по формуле . Так как , то . По условию задачи см3.

Следовательно, , см.

4) Теперь вычисляем (см).

Ответ: 2 см.

Задача 9. Основание прямой призмы – равнобедренный треугольник. Радиус окружности, описанной около треугольника основания, равен см, а угол при его основании равен . Вычислите объем призмы, если ее боковое ребро равно боковой стороне треугольника, лежащего в основании призмы.





Дано: –прямая треугольная призма,



, ,

см, .

Найти: .

а) б)

Рис. 75


Решение.

Для нахождения объема призмы необходимо найти площадь основания и ее высоту. Так как по условию высота призмы равна боковой стороне треугольника основания, то необходимо найти стороны основания. Для нахождения боковой стороны основания можем воспользоваться следствием из теоремы синусов (рис.75, а, б).

1) Объем призмы можем найти по формуле, где (– высота треугольника ), .

2) По теореме синусов или . Отсюда следует, что см.

3) В прямоугольном треугольнике см) катет см. Катет (см), следовательно, см.

4) Площадь основания (см2). Таким образом, объем призмы (см3).

Ответ: см3.



Задача 12. Основание прямой призмы – квадрат, а ее боковое ребро в два раза больше стороны основания. Вычислите объем призмы, если радиус окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра равен см.


Дано: – прямая

призма, ,

–секущая плоскость,

, ,

см.

Найти: .



а) б)

Рис. 76
Решение.



Выполним изображение призмы, построим сечение призмы данной плоскостью, определим вид сечения, укажем центр окружности описанной около сечения (рис. 76, а, б).

1) Пусть точка – середина ребра . Секущая плоскость пересекает грань по отрезку , грань по отрезку || , ), а грань по отрезку . Четырехугольник – искомое сечение. – прямоугольник, так как он является параллелограммом ( || || , ) и ( , следовательно, ). Центр окружности, описанной около прямоугольника есть точка .

2) Объем призмы , которая является прямоугольным параллелепипедом ,можем найти по формуле . Так как и , то .

3) В прямоугольном треугольнике (см) )катет .

4) В треугольнике гипотенуза , следовательно, и см.

5) Теперь вычисляем объем (см3).

Ответ: 128 см3.
Задача 13. Точки и середины ребер и правильной четырехугольной призмы . Объем треугольной призмы равен 4 см3. Вычислите радиус окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через прямую и точку , если .
Дано: – правильная четырехугольная призма, ,

, , см3.

– плоскость сечения

.

Найти: .


а) б)

Рис. 77


Решение.

Построим сечение призмы плоскостью , определим вид сечения, укажем радиус окружности описанной около сечения. Проанализируем данные задачи, связанные с призмой .

1) Сечением призмы служит прямоугольник , так как он является параллелограммом ( и || ) и ( , значит, ). Точка – центр окружности , описанной около сечения, следовательно, .

2) В прямоугольном треугольнике , ) гипотенуза (см).

3) Объем данной призмы . Объем призмы равен , следовательно,



см3 см3. Отсюда находим см.

4) Теперь находим (см).

Ответ: см.

Задача 16 Основанием прямой призмы служит ромб, площади диагональных сечений призмы равны см2 и 40 см2. Вычислите объем призмы, если известно, что площадь ее основания равна 24 см2.





Дано: – прямая четырехугольная призма,



– ромб, см2.

см2, см2.

Найти: .

а) б)

Рис. 78
Решение.



Для вычисления объема данной призмы , необходимо найти ее высоту. Так как призма прямая, то высота призмы равна длине бокового ребра. Заметим, что диагональные сечения призмы – прямоугольники , у которых одна сторона является диагональю ромба, площадь которого известна, а вторая – высота призмы( рис. 78, а, б).

  1. Объем призмы можем найти по формуле , где см2.

  2. Диагональные сечения являются прямоугольниками, следовательно,

см2, см2. Поэтому, . Отсюда см2, см.

3) Таким образом, объем призмы (см3).

Ответ: см3.

Задача 21. Две противоположные боковые грани четырехугольной призмы ромбы, а остальные грани квадраты. Найдите объем призмы, если площадь ромба равна , а площадь квадрата .


Дано: – наклонная призма, – ромб,



– квадрат, – квадрат,

, .

Найти: .

Рис. 79

Решение.


Проанализируем условие задачи. Заметим, что высота боковой грани призмы служит высотой призмы (рис. 79).

1) Объем призмы можем найти по формуле =, где – высота призмы.

2) Плоскость грани перпендикулярна плоскости основания ( и , то ; плоскость проходит через прямую , следовательно, ). Пусть – высота грани , тогда – высота призмы, поскольку грань перпендикулярна основанию. Следовательно, .

3) Так как и , то и .

4) Теперь находим объем .

Ответ: .

Задачи № 22 – 26 можно предложить учащимся для самоконтроля.

При решении задач № 27– 31 следует обратить внимание учащихся на определение расположения основания высоты наклонной призмы. Рассмотрим решение задачи 28.



Задача 28.Основание наклонной призмы является равнобедренный треугольник , в котором см, см, а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол . Вычислите объем призмы, если вершина верхнего основания перпендикулярно проецируется в точку пересечения медиан треугольника .
Дано: – наклонная призма, см,

см,

,

, , , .

Найти: .


а) б)

Рис. 80


Решение.

  1. Объем призмы можем найти по формуле .

  2. Площадь основания призмы , где см.

  3. В треугольнике см, см) катет (см). Следовательно, (см2).

  4. В прямоугольном треугольнике см) катет см.

  5. Теперь вычисляем объем призмы (см3).

Ответ: см3.

Задачи второго уровня могут быть предложены в качестве домашнего задания более подготовленным учащимся.

Рассмотрим решение задачи № 38.

Задача 38. Стороны основания прямой треугольной призмы равны 8 см, 5 см и 5 см. Вычислите объем призмы, если диагональ меньшей боковой грани наклонена к плоскости большей боковой грани под углом .

Дано: – прямая треугольная призма см, см.



.

Найти: .

а) б)

Рис. 81


Решение.

Важно правильно указать угол наклона диагонали грани к плоскости грани . Для этого необходимо построить перпендикулярную проекцию прямой на плоскость грани. Угол между прямой и ее проекцией и есть данный угол. (рис. 81, а, б).

1) Объем призмы можем найти по формуле , где .

2) Пусть – высота треугольника . Площадь основания , где см, а (см). Следовательно, (см2).

3) В прямоугольном треугольнике см) катет (см).

4) Прямая – перпендикулярная проекция прямой на плоскость грани , следовательно, . В треугольнике см, ) гипотенуза (см). Следовательно, (см).



5)Теперь вычисляем объем см3.

Ответ: см3.

Похожие:

§ Оъем призмы Рассмотрим решения некоторых задач такого типа. Задача 6 iconЗадания за 1 четверть 11 класс по геометрии Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а
Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а. Диагональ призмы наклонена к плоскости боковой грани под углом 300....
§ Оъем призмы Рассмотрим решения некоторых задач такого типа. Задача 6 iconРабочая программа по элективному курсу «Способы решения задач по механике»
Основные понятия и законы физики не могут быть усвоены на достаточно высоком уровне, если их изучение не будет сопровождаться решением...
§ Оъем призмы Рассмотрим решения некоторых задач такого типа. Задача 6 iconРабочая программа дисциплины Дискретная математика для подготовки специалиста по специальности 030100 «Информатика»
Целью курса является выделение некоторых дискретных задач и изучение общих методов решения дискретных задач на примерах выделенных...
§ Оъем призмы Рассмотрим решения некоторых задач такого типа. Задача 6 iconМатематика, 7-8 классы
В этой статье мы рассмотрим один из методов решения задач, который не требует глубоких знаний школьного курса математики. Как правило,...
§ Оъем призмы Рассмотрим решения некоторых задач такого типа. Задача 6 iconПрограмма предметно-ориентированного курса по выбору для учащихся 9 класса по физике1 Способы решения задач по механике Столярова В. В., Валлерштейн Г. Г., Моу
Основные понятия и законы физики не могут быть усвоены на достаточно высоком уровне, если их изучение не будет сопровождаться решением...
§ Оъем призмы Рассмотрим решения некоторых задач такого типа. Задача 6 iconЗадача Рисунок Указания к решению 1
Решения планиметрических задач (часть С) из «Универсальных материалов для подготовки учащихся»
§ Оъем призмы Рассмотрим решения некоторых задач такого типа. Задача 6 icon2. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны
Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 10. Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в...
§ Оъем призмы Рассмотрим решения некоторых задач такого типа. Задача 6 iconО некоторых аспектах изучения теоремы пифагора среды геометрической системы geogebra
Теорема Пифагора играет огромную роль в освоении геометрических разделов школьной математики, дает достаточно мощный аппарат для...
§ Оъем призмы Рассмотрим решения некоторых задач такого типа. Задача 6 iconСеминаре учителей математики «Решение сложных задач егэ типа С4, С5, С6»
Лапиной Юлии Михайловны, учителя математики маоу «фтл №1» на городском семинаре учителей математики «Решение сложных задач егэ типа...
§ Оъем призмы Рассмотрим решения некоторых задач такого типа. Задача 6 iconПрименение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применения этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач

Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com