Приложение №1 Комбинации геометрических тел Конус вписан в пирамиду



Скачать 242,35 Kb.
Дата17.06.2015
Размер242,35 Kb.
ТипДокументы

Приложение №1

Комбинации геометрических тел



  1. Конус вписан в пирамиду, если его основание вписано в основание пирамиды, а вершина совпадает с вершиной пирамиды. Соответственно, в этом случае пирамида описана около конуса.

конус в пирамиде                     конус, вписанный в пирамиду

 

Конус может быть вписан в пирамиду, если основание пирамиды — многоугольник, в который можно вписать окружность, а вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности. Другой вариант: конус можно вписать в пирамиду, если высоты ее боковых граней равны между собой. Отсюда, в частности, следует, что в любую правильную пирамиду можно вписать конус.



Каждая из плоскостей, содержащих боковую грань описанной пирамиды, является касательной к конусу плоскостью (то есть плоскостью, проходящей через образующую  конуса перпендикулярно осевому сечению конуса, проведенному через эту образующую). Высоты боковых граней пирамиды есть образующие конуса. Высота вписанного конуса совпадает с высотой пирамиды. Радиус конуса равен радиусу вписанной в основание пирамиды окружности.

Найдем отношение объема вписанного конуса к объему пирамиды:

  \[\frac{{{v_k}}}{{{v_n}}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi {r^2}h}}{{\frac{1}{3}{s_{ocn}}h}} = \frac{{\pi {r^2}}}{{{s_{ocn}}}}.\]

В частности, отношение объема вписанного конуса к объему правильной пирамиды для правильной треугольной пирамиды равно

  \[\frac{{{v_k}}}{{{v_n}}} = \frac{{\pi {{(\frac{a}{{2\sqrt 3 }})}^2}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \frac{{4\pi {a^2}}}{{12\sqrt 3 {a^2}}} = \frac{\pi }{{3\sqrt 3 }},\]

для правильной четырехугольной пирамиды —

  \[\frac{{{v_k}}}{{{v_n}}} = \frac{{\pi {{(\frac{a}{2})}^2}}}{{{a^2}}} = \frac{\pi }{4},\]

для правильной шестиугольной пирамиды —

  \[\frac{{{v_k}}}{{{v_n}}} = \frac{{\pi {{(\frac{{a\sqrt 3 }}{2})}^2}}}{{\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{\pi }{{2\sqrt 3 }}.\]

 Теперь найдем отношение площади боковой поверхности вписанного конуса к боковой поверхности правильной пирамиды. Так как апофема  пирамиды m равна образующей конуса l, имеем:

  \[\frac{{{s_{bok.k}}}}{{{s_{bok.p}}}} = \frac{{\pi rl}}{{pm}} = \frac{{\pi r}}{p}.\]

В частности, отношение боковой поверхности вписанного конуса к боковой поверхности правильной треугольной пирамиды

  \[\frac{{{s_{bok.k}}}}{{{s_{bok.p}}}} = \frac{{\pi \cdot \frac{a}{{2\sqrt 3 }}}}{{\frac{{3a}}{2}}} = \frac{\pi }{{3\sqrt 3 }},\]

для правильной четырехугольной пирамиды —

  \[\frac{{{s_{bok.k}}}}{{{s_{bok.p}}}} = \frac{{\pi \cdot \frac{a}{2}}}{{2a}} = \frac{\pi }{4},\]

для правильной шестиугольной пирамиды —

  \[\frac{{{s_{bok.k}}}}{{{s_{bok.p}}}} = \frac{{\pi \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{3a}} = \frac{\pi }{{2\sqrt 3 }}.\]

 


  1. Пирамида вписана в конус, если основание пирамиды — многоугольник, вписанный в основание конуса. Вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса. Боковые ребра вписанной  пирамиды для конуса являются образующими. Соответственно, в этом случае конус описан около пирамиды.

Пирамиду можно вписать в конус, если около ее основания можно описать окружность (другой вариант — пирамида может быть вписана в конус, если все ее боковые ребра равны). Высоты вписанной пирамиды и конуса совпадают.

Если в конус вписана треугольная пирамида, расположение центра описанной окружности зависит от вида треугольника, лежащего в ее основании.



конус описан около пирамиды

конус, описанный около треугольной пирамидыконус описан около прямоугольной пирамиды

Если этот треугольник остроугольный, центр описанной около пирамиды окружности (а также основание высоты пирамиды и конуса) лежит внутри треугольника, если тупоугольный — вне его. Если в конус вписана прямоугольная пирамида, центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы основания, то есть радиус описанного конуса равен половине гипотенузы. При этом высота конуса и цилиндра совпадает с высотой боковой грани, содержащей гипотенузу.



конус описан около четырехугольной пирамиды

 

Четырехугольную пирамиду можно вписать в конус, если суммы противолежащих углов четырехугольника в основании равны по 180º (из параллелограммов это условие выполняется для прямоугольника и квадрата, из трапеций — только для равнобокой). 



Найдем отношение объема вписанной пирамиды к объему конуса. пирамида, вписанная в конус

Здесь SO=H — высота конуса и высота пирамиды, SA= l- образующая конуса, AO=R — радиус конуса (и радиус описанной около основания пирамиды окружности).

  \[\frac{{{v_n}}}{{{v_k}}} = \frac{{\frac{1}{3}{s_{ocn}}h}}{{\frac{1}{3}\pi {r^2}h}} = \frac{{{s_{ocn}}}}{{\pi {r^2}}}.\] 

Если в конус вписана правильная четырехугольная пирамида, получаем:

  \[\frac{{{v_n}}}{{{v_k}}} = \frac{{{a^2}}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{{{(r\sqrt 2 )}^2}}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{2{r^2}}}{{\pi {r^2}}} = \frac{2}{\pi }.\]

треугольная пирамида, вписанная в конус

Если в конус вписана правильная треугольная пирамида:

  \[\frac{{{v_n}}}{{{v_k}}} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{\frac{{{{(r\sqrt 3 )}^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{3\sqrt 3 {r^2}}}{{4\pi {r^2}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{4\pi }}.\]

 

в конус вписана 6угольная пирамида

Когда в конус вписана правильная шестиугольная пирамида, отношение объема пирамиды к объему конуса равно:

  \[\frac{{{v_n}}}{{{v_k}}} = \frac{{\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{\frac{{3\sqrt 3 {r^2}}}{2}}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\pi }}.\]

Если в конус вписана правильная пирамида, проекцией ее апофемы на плоскость основания является радиус вписанной в основание окружности (на рисунках SF — апофема, OF = r). Таким образом, в зависимости от начальных данных, в ходе решения задачи на вписанную в конус пирамиду можно рассмотреть прямоугольный треугольник SOA либо SOF (или оба).

 


  1. Конус вписан в призму, если его основание вписано в одно основание призмы, а вершина лежит в другом основании призмы. Соответственно, в этом случае призма описана около конуса.

 

конус вписан в призму

Вписать конус можно только в такую призму, в основание которой можно вписать окружность.

При решении задач на конус, вписанный в призму, удобно рассмотреть часть сечения комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и радиус вписанной в основание призмы окружности, проведенный в точку касания с одной из сторон. Для наклонной призмы это — прямоугольная трапеция, меньшая боковая сторона которой равна высоте конуса и призмы.

Чаще всего встречаются задачи на конус, вписанный в прямую призму. В этом случае ось конуса лежит на прямой, проходящей через центры вписанных в основание призмы окружностей.



призма описана около конуса

конус, вписанный в призмусечение конуса в призме

 

Если конус вписан в прямую призму, часть сечения комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса, представляет собой прямоугольник. Решение задачи сводится к рассмотрению прямоугольного треугольника, катеты которого — высота конуса (и призмы) и радиус конуса (и вписанной в основание призмы окружности), а гипотенуза — образующая конуса.



 Здесь SO=H — высота конуса и высота призмы, OF = r — радиус конуса и радиус вписанной в основание призмы окружности, SF = l — образующая конуса. Найдем отношение объема конуса к объему описанной призмы.

  \[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi {r^2}h}}{{{s_{ocn}}h}} = \frac{{\pi {r^2}}}{{3{s_{ocn}}}} = \frac{{\pi {r^2}}}{{3pr}} = \frac{{\pi r}}{{3p}}.\]

(Здесь p — полупериметр основания. Эта формула верна и для наклонной призмы).

В частности, отношение объема вписанного конуса к объему  правильной треугольной призмы со стороной основания a

  \[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{\pi r}}{{3p}} = \frac{{\pi \cdot \frac{a}{{2\sqrt 3 }}}}{{3 \cdot \frac{{3a}}{2}}} = \frac{\pi }{{9\sqrt 3 }} = \frac{{\pi \sqrt 3 }}{{27}}.\]

Для правильной четырехугольной призмы (то есть для прямоугольного параллелепипеда, основание которого — квадрат со стороной a) отношение объемов конуса и описанной призмы

  \[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{\pi r}}{{3p}} = \frac{{\pi \cdot \frac{a}{2}}}{{3 \cdot 2a}} = \frac{\pi }{{12}}.\]

Для правильной шестиугольной призмы со стороной основания a отношение объема вписанного в нее конуса к объему призмы равно

  \[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{\pi r}}{{3p}} = \frac{{\pi \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{3 \cdot 3a}} = \frac{{\pi \sqrt 3 }}{{18}}.\]


  1. Призма вписана в конус, если одно из ее оснований лежит в основании конуса, а другое вписано в сечение конуса плоскостью, параллельной основанию.наклонная призма в конусе

 

Можно сказать, что призма вписана в цилиндр, вписанный в конус.

 

конус описан около призмыпризма вписана в конус 

Если призма, вписанная в конус — прямая, то удобно рассмотреть  часть сечения комбинации тел плоскостью, проходящей через боковое ребро призмы и прямую, содержащую центры описанных около оснований призмы окружностей. Решение соответствующих задач  сводится к рассмотрению прямоугольного треугольника, катеты которого — радиус и высота конуса, а гипотенуза — образующая конуса.



сечение призмы в цилиндре

 

Например, в прямоугольном треугольнике SOF SO=H — высота конуса, FO=R — радиус конуса, SF = l — образующая конуса, AO = r — радиус окружности, описанной около основания призмы, AA1= h — боковое ребро и высота призмы. 



Прямоугольные треугольники SFO и SA1O1 подобны (по общему острому углу S). Отсюда

  \[\frac{{so}}{{s{o_1}}} = \frac{{fo}}{{{a_1}{o_1}}} = \frac{{sf}}{{s{a_1}}}, \rightarrow \]

  \[\frac{h}{{h - h}} = \frac{r}{r} = \frac{l}{{\sqrt {{h^2} + {{(r - r)}^2}} }}.\]

  


  1. Призма описана около цилиндра, если ее основания — многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Соответственно, цилиндр вписан в призму.

призма описанна около цилиндрацилиндр в призме

 

Цилиндр можно вписать в призму, если в основание призмы можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности равен радиусу цилиндра. Высоты цилиндра и призмы равны. В школьном курсе изучается только прямой круговой цилиндр, соответственно, цилиндр в этом случае вписан в прямую призму.



Боковые грани описанной около цилиндра призмы являются касательными плоскостями к боковой поверхности цилиндра.

Найдем отношение объема призмы, к объему вписанного в нее цилиндра:

  \[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{{s_{ocn}} \cdot h}}{{\pi {r^2}h}} = \frac{{prh}}{{\pi {r^2}h}} = \frac{p}{{\pi r}}.\]

  p — полупериметр основания призмы, r — радиус вписанной в основание призмы окружности и радиус цилиндра, H — высота призмы и высота цилиндра.

В частности, отношение объема правильной треугольной призмы к объему вписанного цилиндра

  \[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{p}{{\pi r}} = \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{\pi \cdot \frac{a}{{2\sqrt 3 }}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{\pi }.\]

Отношение объема правильной четырехугольной призмы к объему вписанного цилиндра

  \[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{p}{{\pi r}} = \frac{{2a}}{{\pi \cdot \frac{a}{2}}} = \frac{4}{\pi }.\]

Для правильной шестиугольной призмы это отношение равно

  \[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{p}{{\pi r}} = \frac{{3a}}{{\pi \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{6}{{\pi \sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{\pi }.\]

Отношение площади боковой поверхности призмы к боковой поверхности вписанного цилиндра:

  \[\frac{{{s_1}}}{{{s_2}}} = \frac{{{p_{ocn}} \cdot h}}{{2\pi rh}} = \frac{{{p_{ocn}}}}{{2\pi r}}.\]

Поскольку половина периметра основания — полупериметр, 

  \[\frac{{{p_{ocn}}}}{2} = p, \rightarrow \frac{{{s_1}}}{{{s_2}}} = \frac{p}{{\pi r}}.\]

Таким образом, если цилиндр вписан в призму, отношение площади боковой поверхности призмы к боковой поверхности цилиндра равно отношению объема призмы к объему вписанного цилиндра. В частности, отношение площади боковой поверхности правильной треугольной призмы к площади боковой поверхности вписанного цилиндра

  \[\frac{{{s_1}}}{{{s_2}}} = \frac{{{p_{ocn}}}}{{2\pi r}} = \frac{{3a}}{{2\pi \cdot \frac{a}{{2\sqrt 3 }}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{\pi }.\]

Отношение боковой поверхности правильной четырехугольной призмы к боковой поверхности вписанного цилиндра

  \[\frac{{{s_1}}}{{{s_2}}} = \frac{{{p_{ocn}}}}{{2\pi r}} = \frac{{4a}}{{2\pi \cdot \frac{a}{2}}} = \frac{4}{\pi }.\]

Отношение боковой поверхности правильной шестиугольной призмы к боковой поверхности вписанного цилиндра

  \[\frac{{{s_1}}}{{{s_2}}} = \frac{{{p_{ocn}}}}{{2\pi r}} = \frac{{6a}}{{2\pi \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{6}{{\pi \sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{\pi }.\]

При решении задач, в которых цилиндр вписан в призму, можно рассматривать часть сечения комбинации тел плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Для прямой призмы это сечение — прямоугольник, стороны которого равны радиусу цилиндра и высоте цилиндра. Например, AA1O1O: AA1=H, AO = r.

 


  1. Призма вписана в цилиндр, если ее основания — многоугольники, вписанные в основания цилиндра, а боковые ребра являются образующими призмы.

призма, вписанная в цилиндрпрямоугольный параллелепипед в цилиндре

Высоты вписанной призмы и цилиндра равны.

В школьном курсе изучается только прямой круговой цилиндр, соответственно, вписанная в цилиндр призма также должна быть прямой.

Призма может быть вписана в цилиндр, если около ее основания можно описать окружность. Отсюда следует, в цилиндр можно вписать любую правильную призму, прямую треугольную призму, прямоугольный параллелепипед.

В ходе решения задач на призму, вписанную в цилиндр, можно рассмотреть часть осевого сечения комбинации тел — прямоугольник, стороны которого равны радиусу описанной около основания призмы окружности (радиусу цилиндра) и высоте призмы (и цилиндра). Например, в прямоугольнике AA1O1O OO1=H — высота призмы и цилиндра, AO=R — радиус описанной окружности.

Найдем отношение объема призмы, к объему описанного около нее цилиндра:

  \[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{{s_{ocn}} \cdot h}}{{\pi {r^2}h}} = \frac{{{s_{ocn}}}}{{\pi {r^2}}}.\]

В частности, отношение объема правильной треугольной призмы к объему описанного цилиндра

  \[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{{s_{ocn}}}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\pi {{(\frac{a}{{\sqrt 3 }})}^2}}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{4\pi \cdot {{\frac{a}{3}}^2}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{4\pi }}.\]

Отношение объема правильной четырехугольной призмы (то есть прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат) к объему описанного около нее цилиндра равно

  \[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{{s_{ocn}}}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{\pi {{(\frac{a}{{\sqrt 2 }})}^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{\frac{{\pi {a^2}}}{2}}} = \frac{2}{\pi },\]

Отношение объема правильной шестиугольной призмы, к объему описанного около нее цилиндра

  \[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{{s_{ocn}}}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{2}}}{{\pi {a^2}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\pi }}.\]

Отношение боковой поверхности вписанной призмы к объему описанного цилиндра:

  \[\frac{{{s_1}}}{{{s_2}}} = \frac{{{p_{ocn}} \cdot h}}{{2\pi rh}} = \frac{{{p_{ocn}}}}{{2\pi r}}.\]

Для правильной треугольной призмы это отношение равно

  \[\frac{{{s_1}}}{{{s_2}}} = \frac{{{p_{ocn}}}}{{2\pi r}} = \frac{{3a}}{{2\pi \cdot \frac{a}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\pi }},\]

для правильной четырехугольной —

  \[\frac{{{s_1}}}{{{s_2}}} = \frac{{{p_{ocn}}}}{{2\pi r}} = \frac{{4a}}{{2\pi \cdot \frac{a}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{\pi },\]

для правильной шестиугольной —

  \[\frac{{{s_1}}}{{{s_2}}} = \frac{{{p_{ocn}}}}{{2\pi r}} = \frac{{6a}}{{2\pi a}} = \frac{3}{\pi }.\]


  1. Цилиндр вписан в конус, если одно основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания — на боковой поверхности конуса. Конус, соответственно, в этом случае называется описанным около цилиндра.

цилиндр в конусе

Оси конуса и вписанного в него цилиндра совпадают. Верхнее основание цилиндра совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основанию.

Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Оно представляет собой равнобедренный треугольник с вписанным в него прямоугольником.

сечение цилиндра в конусе

Здесь SO=H — высота конуса, OA=OB=R — радиус конуса, OF = OM = r — радиус цилиндра, OO1=h — высота цилиндра, SA = SB = l — образующие конуса, NF = KM = h — образующие цилиндра.

Прямоугольные треугольники SOB и KMB подобны (по общему острому углу B). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

  \[\frac{{so}}{{km}} = \frac{{ob}}{{mb}}, \rightarrow \frac{h}{h} = \frac{r}{{r - r}}.\]

Найдем отношение объемов конуса и вписанного в него цилиндра:

  \[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi {r^2}h}}{{\pi {r^2}h}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{r^2}}}{{{r^2}}} \cdot \frac{h}{h}\]

С учетом предыдущего соотношения для высот конуса и цилиндра, имеем:

  \[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{r^2}}}{{{r^2}}} \cdot \frac{r}{{r - r}} = \frac{{{r^3}}}{{3{r^2}(r - r)}}.\]

Найдем отношение боковой поверхности конуса к боковой поверхности вписанного цилиндра:

  \[\frac{{{s_1}}}{{{s_2}}} = \frac{{\pi rl}}{{2\pi rh}} = \frac{{rl}}{{2rh}}\]

Из прямоугольного треугольника SOB по теореме Пифагора 

  \[s{b^2} = o{b^2} + s{o^2}, \rightarrow l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} \]

Таким образом, 

  \[\frac{{{s_1}}}{{{s_2}}} = \frac{{r\sqrt {{r^2} + {h^2}} }}{{2rh}}.\]



  1. Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина лежит в центре другого основания.


конус в цилиндре 

Оси цилиндра и вписанного в него конуса совпадают.  Цилиндр и вписанный конус имеют равные высоты и радиусы.

Соответственно, в этом случае цилиндр описан около конуса.

Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Оно представляет собой прямоугольник с вписанным в него равнобедренным треугольником.



цилиндр описан около конуса                                   сечение конуса, вписанного в цилиндр

 

Здесь SO=H — высота цилиндра и вписанного конуса, OA=OB=R — радиус цилиндра и радиус конуса, SB=SA= l — образующая конуса, AD — образующая цилиндра.



Найдем отношение объема конуса к объему описанного около него цилиндра:

  \[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi {r^2}h}}{{\pi {r^2}h}} = \frac{1}{3}.\]

Из прямоугольного треугольника SOA по теореме Пифагора

  \[a{s^2} = a{o^2} + s{o^2}, \rightarrow l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} .\]

Теперь найдем отношение площади боковой поверхности конуса к площади боковой поверхности описанного цилиндра:

  \[\frac{{{s_1}}}{{{s_2}}} = \frac{{\pi rl}}{{2\pi rh}} = \frac{l}{{2h}} = \frac{{\sqrt {{r^2} + {h^2}} }}{{2h}}.\]



  1. Призма вписана в шар, если все ее вершины лежат на поверхности шара (на сфере). В этом случае также говорят, что шар описан около призмы (или сфера описана около призмы).

Призма может быть вписана в шар тогда и только тогда, когда:

1) призма  прямая;

2) около ее основания можно описать окружность.

вписанная в шар призма

Отсюда следует, что в шар может быть вписана прямая треугольная призма, правильная призма.

Поскольку четырехугольник может быть вписан в окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180º, то прямая четырехугольная призма может быть вписана в шар только при выполнении этого условия.

шар описан около прямоугольного параллелепипеда

В частности, из параллелепипедов описать шар можно только около прямоугольного параллелепипеда. Центр шара в этом случае — точка пересечения диагоналей параллелепипеда.

В общем случае центр описанного около призмы шара лежит на середине высоты призмы, проходящей через центры описанных около ее оснований окружностей. Центр описанного шара может находиться внутри призмы, вне призмы, а также на ее боковой грани.

Например, для треугольной призмы, в которой угол ABC — прямой, центр описанного шара лежит на боковой грани, на высоте, соединяющей середины гипотенуз в основаниях призмы.



призма, вписанная в шар 

Если угол ABC — тупой, то центр описанного около треугольной призмы шара находится вне призмы.

 треугольная призма вписана в шар

 Если треугольник АВС остроугольный, то центр описанного около треугольной призмы шара находится внутри призмы.



шар описан около призмы

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOO1. O1O2=H — высота призмы, AO=R — радиус шара, AO1= r — радиус окружности, описанной около основания призмы. По теореме Пифагора

  \[a{o^2} = oo_1^2 + ao_1^2\]

  \[{r^2} = {(\frac{h}{2})^2} + {r^2}.\]



  1. Шар, вписанный в призму, касается каждой ее грани. Диаметр вписанного шара равен высоте призмы, а также равен диаметру окружности, вписанной в основание призмы.

шар в призмешар, вписанный в призму

 

Центр шара лежит на середине высоты призмы, проведенной через центр вписанной в основание окружности. Если в основание призмы нельзя вписать окружность либо высота призмы не равна диаметру вписанной в основание окружности, то в такую призму шар вписать нельзя. Если призма правильная, центр вписанного в нее шара является точкой пересечения биссекторных плоскостей призмы. (Биссекторная плоскость двугранного угла, биссектор, - плоскость, проходящая через ребро двугранного угла и делящая этот угол пополам.)



При решении задач на шар, вписанный в призму, можно рассмотреть сечение комбинации тел плоскостью, параллельной основаниям. Она представляет собой многоугольник, равный многоугольнику основания, с вписанной в него окружностью, радиус которой равен радиусу шара. Далее используем формулы, связывающие радиус вписанной окружности со сторонами основания, а также то, что центр вписанной в многоугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис.

Выразим объем призмы через радиус вписанного шара — R. Объем призмы равен

  \[{v_n} = {s_{ocn}} \cdot h\]

Площадь основания ищем по формуле S= p · r, где p — полупериметр основания, r — радиус вписанной в него окружности. Поскольку в нашем случае r = R и высота призмы H=2R, то  \[{v_n} = pr \cdot 2r = 2p \cdot {r^2}\]. Но 2p=P — периметру основания. Окончательно имеем  \[{v_n} = p{r^2}\].

Выразим площадь полной поверхности прямой призмы через радиус вписанного в нее шара. Площадь полной поверхности прямой призмы равна сумме площадей оснований и боковой поверхности:   \[{s_{n.n.}} = {s_{bok}} + 2{s_{ocn}}\]

Боковая поверхность \[{s_{bok}} = ph = 2pr\]

Отсюда,   \[{s_{n.n.}} = 2pr + 2pr = 2pr + pr\]

Таким образом, пришли к формуле

  \[{s_{n.n.}} = 3pr\].


  1. Цилиндр, вписанный в шар.

Рассмотрим комбинацию тел: шар и вписанный в шар цилиндр.
цилиндр вписан в шар
Цилиндр вписан в шар, если окружности его оснований лежат на поверхности шара. В этом случае говорят также, что шар описан вокруг цилиндра. Центр шара лежит на середине оси цилиндра.

 

Как и при решении задач на шар, вписанный в цилиндр, чаще всего рассматривают сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Это сечение представляет собой вписанный в окружность прямоугольник, стороны которого равны высоте конуса и диаметру его основания. Центр окружности лежит на пересечении диагоналей  прямоугольника.



осевое сечение цилиндра и шара
Рассмотрим пример такого осевого сечения. Здесь точка O — центр описанного около цилиндра шара, BD — диаметр шара, OD=R — радиус шара, AB = H — образующая и высота цилиндра, AD — диаметр цилиндра, FD = r — радиус цилиндра.

  \[\angle abd = \frac{1}{2}\angle aod\]

(как вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну дугу AD).

Треугольник AOD — равнобедренный (AO=OD=R), в нем OF=H/2 — высота, медиана и биссектриса.

Треугольник OFD — прямоугольный. По теореме Пифагора получаем соотношение, связывающее радиус шара с радиусом и высотой вписанного в шар цилиндра:

  \[o{d^2} = o{f^2} + f{d^2}, \rightarrow \]

  \[{r^2} = {(\frac{h}{2})^2} + {r^2}.\]

Это же соотношение можно получить из прямоугольного треугольника ABD: по теореме Пифагора

  \[b{d^2} = a{d^2} + a{b^2}, \rightarrow \]

  \[{(2r)^2} = {(2r)^2} + {h^2}\]

  \[{r^2} = {r^2} + \frac{{{h^2}}}{4}.\]


  1. Шар, вписанный в цилиндр


Шар называется вписанным в цилиндр, если основания и каждая образующая цилиндра касаются шара.
шар в цилиндре

Если шар вписан в цилиндр, то цилиндр описан около шара.

В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда цилиндр равносторонний, то есть его высота равна диаметру. Радиус вписанного в цилиндр шара R равен радиусу цилиндра r: R = r.

Решение задач на шар, вписанный в цилиндр, чаще всего сводится к рассмотрению осевого сечения комбинации тел.



осевое сечение шара, вписанного в цилиндр

 Это сечение представляет собой квадрат с вписанной в него окружностью. Сторона квадрата равна высоте цилиндра и диаметру шара: H=2R.

 Найдем отношение объема цилиндра, к объему вписанного в него шара. Объем шара

  \[{v_1} = \frac{4}{3}\pi {r^3}\]

Объем цилиндра

  \[{v_2} = \pi {r^2}h = \pi {r^2} \cdot 2r = 2\pi {r^3}.\]

Отсюда отношение объема шара, к объему описанного около него цилиндра

  \[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi {r^3}}}{{2\pi {r^3}}} = \frac{2}{3}.\]

Теперь найдем отношение площади поверхности цилиндра к площади вписанного шара. Площадь поверхности шара (площадь сферы)

  \[{s_1} = 4\pi {r^2}\]

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей оснований и боковой поверхности:

  \[{s_2} = {s_{bok}} + 2{s_{ocn}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = \]

  \[ = 2\pi r \cdot 2r + 2\pi {r^2} = 6\pi {r^2}.\]

Отсюда отношение площади поверхности вписанного шара к площади поверхности цилиндра

  \[\frac{{{s_1}}}{{{s_2}}} = \frac{{4\pi {r^2}}}{{6\pi {r^2}}} = \frac{2}{3}.\]


  1. Конус, вписанный в шар.

 Конус вписан в шар, если его вершина и окружность основания лежат на поверхности шара, то есть на сфере. Центр шара лежит на оси конуса.

 конус, вписанный в шар

При решении задач на конус, вписанный в шар, удобно рассматривать сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Сечение представляет собой большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара)  с вписанным в него равнобедренным треугольником — осевым сечением конуса. Боковые стороны этого треугольника — образующие конуса, основание — диаметр конуса.

  конус вписан в шаростроугольный треугольник в окружности

Если угол между образующими острый, центр описанного круга лежит внутри треугольника (соответственно, центр описанного около конуса шара — внутри конуса).



прямоугольный треугольник в окружности           описанный около конуса шар

Если угол между образующими прямой, центр круга лежит на середине основания треугольника (центр шара совпадает с центром основания конуса).



тупоугольный треугольник в окружности  конус в шаре 

Если угол между образующими тупой, центр круга лежит вне треугольника (центр описанного шара — вне конуса).

Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.

сечение конуса и шара плоскостью

Рассмотрим сечение конуса и описанного около него шара плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Здесь SO=H — высота конуса, SB = l — образующая конуса,SO1=O1B=R — радиус шара, OB = r — радиус основания конуса, ∠OSB=α — угол между высотой и образующей конуса.

Треугольник SO1B — равнобедренный с основанием SB (так как SO1=O1B=R). Значит, у него углы при основании равны: ∠OSB=∠O1BS= α, и O1F — медиана, высота и биссектриса. Отсюда SF = l/2.

При решении задач на конус, вписанный в шар, можно рассмотреть прямоугольные треугольники SFO1 и SOB. Они подобны (по острому углу S). Из подобия треугольников

  \[\frac{{sf}}{{so}} = \frac{{s{o_1}}}{{sb}} = \frac{{f{o_1}}}{{ob}}.\]

  \[\frac{{\frac{l}{2}}}{h} = \frac{r}{l}, \rightarrow \frac{l}{{2h}} = \frac{r}{l}, \rightarrow {l^2} = 2hr.\]

В прямоугольном треугольнике SOB  ∠OBS=90º — ∠OSB=90º-α. По теореме Пифагора 

  \[s{b^2} = s{o^2} + o{b^2}, \rightarrow {l^2} = {h^2} + {r^2}.\]

В прямоугольном треугольнике O1OB ∠OBO1=90º — ∠O1BS=90º — α — α=90º — 2α.

  \[ob = {o_1}b \cdot \cos \angle ob{o_1}\]

  \[ob = r\cdot\cos ({90^o} - 2\alpha ) = r\cdot\sin 2\alpha , \rightarrow \]

  \[r = r\cdot\sin 2\alpha .\]



описанный около конуса шар

Если продлить SO до пересечения с окружностью, получим прямоугольный треугольник SBM (∠SBM=90º как вписанный угол, опирающийся на диаметр SM). В нем BO- высота, проведенная к гипотенузе. По свойствам прямоугольного треугольника

  \[o{b^2} = so \cdot om, \rightarrow {r^2} = h \cdot (2r - h)\]

и уже полученное соотношение   \[s{b^2} = so \cdot sm, \rightarrow {l^2} = 2rh.\]



  1. Шар, вписанный в конус

Шар называется вписанным в конус, если основание и каждая образующая конуса касаются шара. 

шар в конусе

 

В любой конус можно вписать шар. Вписанный в конус шар (или сфера, вписанная в конус) касается основания конуса в его центре, а боковой поверхности — по окружности. Центр шара (сферы) лежит на оси конуса.



При решении задач на шар, вписанный в конус, удобнее всего рассмотреть сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара.

осевое сечение комбинации

Это сечение  представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — образующие конуса, а основание — диаметр конуса. Вписанный в этот треугольник круг — большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара).

Для данного рисунка образующие SA = SB = l, высота конуса SO=H, радиус вписанного шара OO1=O1F=R. Так как центр вписанного круга — точка пересечения биссектрис треугольника, то ∠OBO1=∠FBO1, OB = r — радиус конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. По свойству биссектрисы треугольника:

  \[\frac{{sb}}{{s{o_1}}} = \frac{{ob}}{{o{o_1}}}, \rightarrow \frac{l}{{h - r}} = \frac{r}{r}\]

  \[lr = (h - r)r,lr = hr - rr,\]

  \[lr + rr = hr,r(l + r) = hr,\]

  \[r = \frac{{hr}}{{i + r}}.\]

По теореме Пифагора

  \[sb = \sqrt {s{o^2} + o{b^2}} , \rightarrow l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} \]

Отсюда

  \[\frac{{\sqrt {{h^2} + {r^2}} }}{{h - r}} = \frac{r}{r}.\]



Рассмотрим прямоугольный треугольник OO1B.

  \[o{o_1} = ob \cdot tg\angle ob{o_1}\]

Если ∠OBS=α, то ∠OBO1=α/2. Отсюда

  \[r = r \cdot tg\frac{\alpha }{2}.\]

Если сначала выразить радиус конуса через его высоту из прямоугольного треугольника SOB

  \[ob = so \cdot ctg\alpha , \rightarrow r = h \cdot ctg\alpha ,\]

то из треугольника OO1B выражаем радиус шара через высоту конуса:

  \[r = h \cdot ctg\alpha \cdot tg\frac{\alpha }{2}.\]



  1. Пирамида, вписанная в шар.

Пирамида называется вписанной в шар, если все ее вершины принадлежат поверхности шара (сферы).

Если пирамида вписана в шар, то все ее вершины лежат на поверхности этого шара (на сфере), соответственно, расстояния от центра шара до вершин равны радиусу шара.

Каждая грань вписанной в шар пирамиды является вписанным в некоторую окружность многоугольником. Основания перпендикуляров, опущенных из центра шара на плоскости граней, являются центрами этих описанных окружностей. Таким образом, центр описанного около пирамиды шара — точка пересечения перпендикуляров к граням пирамиды, проведенных через центры описанных около граней окружностей.

Чаще центр описанного около пирамиды шара рассматривают как точку пересечения перпендикуляра, проведенного к основанию через центр описанной около основания окружности, и серединного перпендикуляра к боковому ребру (серединный перпендикуляр лежит в плоскости, проходящей через это боковое ребро и первый перпендикуляр (проведенный к основанию). Если около основания пирамиды нельзя описать окружность, то эта пирамида не может быть вписана в шар. Отсюда следует, что около треугольной пирамиды всегда можно описать шар, а вписанная в шар четырехугольная пирамида в основании имеет прямоугольник или квадрат.

Центр описанного около пирамиды шара может лежать внутри пирамиды, на поверхности пирамиды (на боковой грани, на основании), и вне пирамиды. Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.

Около любой правильной пирамиды можно описать шар. Его центр — точка пересечения прямой, содержащей высоту пирамиды, и серединного перпендикуляра к боковому ребру.

 

шар, описанный около пирамиды

 

При решении задач на вписанную в шар пирамиду чаще всего  рассматривают некоторые треугольники.



пирамида, вписанная в шар

Начнем с треугольника SO1C. Он равнобедренный, поскольку две его стороны равны как радиусы шара: SO1=O1С=R. Следовательно, O1F — его высота, медиана и биссектриса.

Прямоугольные треугольники SOC и SFO1 подобны по острому углу S. Отсюда

  \[\frac{{s{o_1}}}{{sc}} = \frac{{sf}}{{so}} = \frac{{f{o_1}}}{{oc}}\]

SO=H — высота пирамиды, SC = b — длина бокового ребра, SF = b/2, SO1=R, OC = r — радиус окружности, описанной около основания пирамиды. 

  \[\frac{r}{b} = \frac{b}{{2h}} = \frac{{f{o_1}}}{r}\]

  \[ \rightarrow {b^2} = 2rh\]

В прямоугольном треугольнике OO1C г гипотенуза O1C=R, катеты OC = r, OO1=H-R. По теореме Пифагора: 

  \[{o_1}{c^2} = oo_1^2 + o{c^2}, \rightarrow \]

  \[{r^2} = {(h - r)^2} + {r^2}\]



шар, описанный около пирамиды

 Если продолжить высоту SO, получим диаметр SM. Треугольник SCM — прямоугольный (так как вписанный угол  SCM  опирается на диаметр). В нем OC — высота, проведенная к гипотенузе, SO и OM — проекции катетов SC и CM на гипотенузу. По свойствам прямоугольного треугольника, \[o{c^2} = so \cdot om, \rightarrow {r^2} = h(2r - h)\]

и еще раз, только другим путем:  \[s{c^2} = so \cdot sm, \rightarrow {b^2} = 2rh.\]

Эти рассуждения верны не только для правильной пирамиды, но также для пирамиды, основание высоты которой является центром описанной около основания пирамиды окружности.




  1. Шар, вписанный в пирамиду

Шар вписан в пирамиду (или сфера вписана в пирамиду) — значит, шар (сфера) касаются каждой грани пирамиды. Плоскости, содержащие грани пирамиды, являются касательными плоскостями шара. Отрезки, соединяющие центр шара с точками касания, перпендикуляры к касательным плоскостям. Их длины равны радиусу шара. Центр вписанного в пирамиду шара — точка пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов при основании (то есть плоскостей, делящих эти углы пополам).

Чаще всего в задачах речь идет о шаре, вписанном в правильную пирамиду. Шар можно вписать в любую правильную пирамиду. Центр шара в этом случае лежит на высоте пирамиды. При решении задачи удобно провести сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды. 



Если пирамида четырехугольная или шестиугольная, сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — апофемы, а основание — диаметр вписанной в основание окружности.

 шар в пирамиде



Если пирамида треугольная или пятиугольная, достаточно рассмотреть лишь часть этого сечения — прямоугольный треугольник, катеты которого — высота пирамиды и радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а гипотенуза — апофема.

 шар, вписанный в пирамиду

 

В любом случае, в итоге приходим к рассмотрению соответствующего прямоугольного треугольника и других, связанных с ним треугольников.



сечение комбинации

Итак, в прямоугольном треугольнике SOF катет SO=H — высота пирамиды, катет OF = r — радиус вписанной в основание пирамиды окружности, гипотенуза SF = l — апофема пирамиды. O1- центр шара и, соответственно, окружности, вписанной в треугольник, полученный в сечении (мы рассматриваем его часть). Угол SFO — линейный угол двугранного угла между плоскостью основания и плоскостью боковой грани SBC. Точки K и O — точки касания, следовательно, O1K перпендикулярен SF. OO1=O1K=R — радиусу шара.

Прямоугольные треугольники OO1F и KO1F равны (по катетам и  гипотенузе).

Отсюда : KF = OF = r.

Прямоугольные треугольники SKO1 и SOF подобны (по острому углу S), откуда следует, что

  \[\frac{{of}}{{k{o_1}}} = \frac{{so}}{{sk}}, \rightarrow \frac{r}{r} = \frac{h}{{l - r}}.\]

В треугольнике SOF применим свойство биссектрисы треугольника:

  \[\frac{{sf}}{{s{o_1}}} = \frac{{of}}{{o{o_1}}}, \rightarrow \frac{l}{{h - r}} = \frac{r}{r}.\]

Из прямоугольного треугольника OO1F

  \[tg\angle of{o_1} = \frac{{o{o_1}}}{{of}} = \frac{r}{r}.\]

При решении задач на шар, вписанный в правильную пирамиду, будет полезным еще одно рассуждение.

  \[\frac{l}{{h - r}} = \frac{r}{r}, \rightarrow rl = (h - r)r, \rightarrow \]

  \[rl = hr - rr, \rightarrow hr = r(l + r), \rightarrow \]

  \[r = \frac{{rh}}{{l + r}}.\]

Теперь найдем отношение объема пирамиды к площади ее поверхности:

  \[\frac{v}{{{s_{n.n/}}}} = \frac{{\frac{1}{3}{s_{ocn}} \cdot h}}{{{s_{ocn}} + {s_{bok}}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{prh}}{{pr + pl}} = \]

  \[ = \frac{1}{3} \cdot \frac{{rh}}{{r + l}} = \frac{1}{3}r.\]

Таким образом, радиус вписанного шара выражается через объем пирамиды и ее полную поверхность:

  \[r = \frac{{3v}}{{{s_{n.n.}}}}.\]

Все эти рассуждения верны не только для правильной пирамиды, но и для пирамиды, основание высоты которой совпадает с центром вписанной в основание окружности (то есть для пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны).



  1. Цилиндр, вписанный в пирамиду.

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если его нижнее основание лежит внутри многоугольника – основания пирамиды, а верхнее основание вписано в многоугольник, получающийся при пересечении пирамиды плоскостью верхнего основания цилиндра.

В пирамиду можно вписать цилиндр только в том случае, если в основании пирамиды лежит многоугольник, в который можно вписать окружность.

















  1. Пирамида вписана в цилиндр

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды принадлежит одному основанию цилиндра, а основание вписано в другое основание цилиндра.

В цилиндр можно вписать пирамиду, если её основание можно вписать в окружность, причем высоты пирамиды и цилиндра должны быть равны.



http://ru.convdocs.org/pars_docs/refs/6/5273/5273_html_6eaafb35.png

Т.к. любой треугольник можно вписать в окружность, то в цилиндр можно вписать



любую треугольную пирамиду.

Если пирамида четырехугольная, то в её основании должен быть четырехугольник, сумма противоположных углов у которого равны.

Похожие:

Приложение №1 Комбинации геометрических тел Конус вписан в пирамиду iconУчитель математики псош №3 Чехова В. Н. Применение тригонометрических уравнений к решению геометрических задач
Однако практическое приложение этого материала подкреплено недостаточно. Ниже рассматривается применение тригонометрических уравнений...
Приложение №1 Комбинации геометрических тел Конус вписан в пирамиду iconКраткий обзор развития геометрии
Примерно то же можно сказать о других основных геометрических понятиях. Практическая деятельность человека служила основой длительного...
Приложение №1 Комбинации геометрических тел Конус вписан в пирамиду iconБиссектриса тупого угла b пересекает основание
Четырехугольник авсd вписан в окружность. Прямые ав и dc пересекаются в точке P. Угловые величины дуг ad и вс равны  и  соответственно....
Приложение №1 Комбинации геометрических тел Конус вписан в пирамиду iconЭлективный курс «Решение геометрических задач»
Элективный курс «Решение геометрических задач» как компонент образования направлен на удовлетворение познавательных потребностей...
Приложение №1 Комбинации геометрических тел Конус вписан в пирамиду icon"Тела вращения"
Познакомить учащихся с понятиями: цилиндр, конус, шар, сфера, с их основными элементами
Приложение №1 Комбинации геометрических тел Конус вписан в пирамиду iconПрограмма элективного курса по математике для учащихся 10 класса по теме «Решение геометрических задач»
Новой формы аттестации за курс средней школы Единого Государственного Экзамена широкое использование приёмными комиссиями вузов геометрических...
Приложение №1 Комбинации геометрических тел Конус вписан в пирамиду icon«Цилиндр, конус, сфера, шар»
Какую фигуру представляет сечение, если секущая плоскость проходит через ось цилиндра?
Приложение №1 Комбинации геометрических тел Конус вписан в пирамиду iconПрофильная группа
Форма предметов. Цилиндр. Конструкции из шашек. Шифры. Конус. Шар. Планета Земля. Свойства цилиндра, конуса, шара
Приложение №1 Комбинации геометрических тел Конус вписан в пирамиду icon«Комбинация тел» для егэ
В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при основании. Все двугранные углы при основании пирамиды равны Найти...
Приложение №1 Комбинации геометрических тел Конус вписан в пирамиду iconЗадание в11 вариант 5а ф. И. дата «5»=12(+); «4»=9(+);
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 27
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com