«Теорема косинусов (нахождение стороны треугольника по двум другим его сторонам и углу между ними)»



Скачать 78,84 Kb.
Дата17.06.2015
Размер78,84 Kb.
ТипУрок

Предмет: геометрия

Класс: 9

Учебник: Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 7–9 классы. – М.: Просвещение, 2011.

Тема урока: «Теорема косинусов (нахождение стороны треугольника по двум другим его сторонам и углу между ними)»

Тип урока: открытие нового знания

Автор урока: учитель математики Алексеенков В.В., АНО НОО «Наши традиции»

Основные цели:

Метапредметные:

1. Тренировать умение фиксировать собственные затруднения, выявлять причину возникшего затруднения, ставить цель, составлять план действий.

2. Формировать мотивацию к учебной деятельности как одно из средств развития и социализации личности учащихся.

Предметные:

1. Формировать умение строить доказательство теорем на примере теоремы косинусов.

2. Формировать умение применять теорему косинусов для решения геометрических задач.

Материалы к занятию

Оборудование: проектор, компьютер, экран.

Демонстрационный материал: 1) презентация; 2) плакаты-эталоны; 3) образцы для самопроверки.

Раздаточный материал: 1) задание для актуализации знаний; 2) задания для самостоятельной работы; 3) задания для этапа включения в систему знаний.


  • Ход урока

1. Мотивация к учебной деятельности.

− Доброе утро, ребята.

– Что вы изучаете на уроках геометрии?


  • Скорее всего, учащиеся скажут «координаты» или «векторы», но их нужно подвести к более общему понятию – свойства геометрических фигур

– Какую фигуру мы чаще всего рассматривали? (Треугольники.)

– Какие бывают треугольники? (Остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.)

− С какой целью изучаем свойства, теоремы о треугольниках? (Чтобы решат задачи.)

– Давайте вспомним, какие теоремы о соотношениях между сторонами и углами различных треугольников мы уже знаем.



  • В беседе с учениками нужно вспомнить теорему Пифагора, определения синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника, их значения для углов 30°, 45° и 60°.

− Сегодня вы продолжите изучать теоремы о свойствах треугольника, которые сможете применять при решении задач. Как вы будете открывать новые свойства?

− Успешной была ваша работа на прошлых уроках?

− Что вам помогало справиться с затруднениями и достичь успеха?

2. Актуализация знаний и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии.

– Далее вы будете работать в группах. Каждой группе предлагается решить задачу по рисунку и определить, какими из изученных ранее эталонов воспользовались, затем найти этот эталон среди имеющихся и прикрепить его в центре доски.





  • Первое задание нужно дать самой слабой группе, другие задания – более сильным группам.

– Итак, молодцы ребята, верно справились с задачами. На доске у нас появились два эталона:

Эталон 1 «Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника», что помогает находить этот эталон? (Высоту треугольника по стороне и противолежащему этой высоте углу.)

Эталон 2 «Теорема Пифагора». При нахождении чего вы используете этот эталон?

− К этим эталонам добавим:



Эталон 3 «Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника»

Эталон 4 «Основное тригонометрическое тождество»

Эталон 5 «Формула синуса дополнительного до 180° угла».

− Вспомним также, что алгебра и геометрия – это две руки одного и того же организма, и возьмем эталон из алгебры:



Эталон 6 «Формула квадрата разности». Кто найдет эти эталоны и поместит в центр доски? Эти эталоны вам понадобятся сегодня на уроке.

− Какое следующее вы должны выполнить, чтобы определить, что вы не знаете? (Мы должны выполнить пробное действие.)



  • Задание на затруднение.

− Итак, вы решали задачи нахождения сторон треугольников, в которых есть прямой угол, и у вас на это ушло не более 2 мин. Решите такую задачу за 2 мин: стороны треугольника равны 10 и 7, угол между ними равен 45°. Найдите третью сторону.

− Возникнут ли у вас затруднения при выполнении задания?

  • На доске карточки с формулировками возможных затруднений.


2

Я пока не могу найти третью сторону.

1



Я пока не могу так быстро найти третью сторону.

− Посмотрите на карточки и запишите номер той карточки, на которой сформулировано затруднение, которое может у вас возникнуть.



  • Учитель предлагает нескольким ученикам озвучить возможные затруднения.

3. Выявление причины затруднения.

− Какое задание вы должны были выполнить? (Найти третью сторону непрямоугольного! треугольника по двум другим сторонам и углу между ними.)

− Почему у вас возникнет затруднение? (Не знаем эталона, с помощью которого можно сразу найти сторону треугольника по двум другим сторонам и углу между ними.)

4. Построение проекта выхода из затруднения.

− Сформулируйте цель вашей деятельности. (Узнать, как можно сразу найти сторону треугольника по двум другим сторонам и углу между ними.)

− Сформулируйте тему урока. («Нахождение стороны треугольника по двум другим сторонам и углу между ними».)


  • На доске открывается тема урока.

− Итак, у вас возникло затруднение при выполнении пробного задания. Что вы использовали для решения аналогичных задач для прямоугольного треугольника? (Использовали эталоны, которые сейчас весят в центре доски.)

− Теперь, зная, что нужно использовать, попробуйте в группах решить поставленную задачу в общем виде и получить эталон, с помощью которого можно сразу найти сторону треугольника по двум другим сторонам и углу между ними.



5. Реализация проекта выхода из затруднения.

  • Учащиеся работают в группах. Средства для открытия знания (раздаточный материал для групп):


?

а

b

γ


В

В




С

А

Н

Н

Н

А

С

В

С

А



?

а

b

γ
?

а

b

γ


  • Примерные рассуждения учащихся :

1. Дополнительное построение: высота ВН.

2. С помощью эталона 1 найдем ВН: (во втором случаем, с использованием эталона 4, ).

3. С помощью эталона 3 найдем СН: (во втором случаем, с использованием эталона 4, ).

4. Найдем АН: АН = АС СН (во втором случае АН = АС + СН, в третьем АН = СН АС.)



(во втором случае , в третьем ).

В любом случае .

5. По теореме Пифагора (эталон 2) из треугольника ABH найдем AB:

.

Преобразуем полученное выражение, используя эталон 5:





.

– Ребята, как вы видите, во всех трех случаях получилось одно и то же равенство для нахождения неизвестной стороны. Поэтому можно утверждать, что это равенство справедливо для любого треугольника. Это равенство принято называть теоремой косинусов. Итак, у нас теперь есть еще один эталон.




  • Эталон:


c

а

b

γ

В

С

А
Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

или, короче,








6. Первичное закрепление во внешней речи.

– Что теперь необходимо сделать? (Надо научиться использовать теорему косинусов для решения задач.)

− Я предлагаю решить задачу из пробного действия: стороны треугольника равны 10 и 7, угол между ними равен 45°.


  • Один ученик работает у доски, комментируя свои действия, остальные работают в тетрадях

  • Образец решения:

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:







Ответ: .




7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

– Что теперь необходимо сделать? (Надо каждому проверить, как он понял теорему косинусов.)



  • Учащимся предлагается самостоятельно решить задачу. После выполнения работы учащиеся сопоставляют свои работы с эталоном для самопроверки.

Задача:

«В треугольнике АВС стороны ВС=6, АС=5, угол ВСА составляет 60°. Найдите сторону АВ».




  • Эталон для самопроверки:


c

6

5

60

В

С

А

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:









Ответ: .


− У кого задание вызвало затруднение?

− На каком шаге использования теоремы?

− В чем причина возникшего затруднения?

− У кого задание выполнено правильно?

8. Включение в систему знаний.

– Давайте теперь посмотрим, как теорема косинусов поможет вам решать другие задачи. Например, известно, что треугольник является жесткой фигурой, то есть однозначно определяется своими сторонами. А как определить углы треугольника, если известны все его стороны? Решим следующую задачу: в треугольнике со сторонами 5, 7, 8 найдите больший угол.



  • Учащиеся решают задачу в группах и проверяют свои работы с эталоном для самопроверки

  • Эталон для самопроверки:

Больший угол треугольника лежит против его большей стороны – АВ.

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:









Ответ: .


– Теперь с помощью той же теоремы косинусов, зная косинус угла АСВ можно найти и медиану ВМ.



  • Учащиеся решают задачу в группах и проверяют свои работы с эталоном для самопроверки.

  • Эталон для самопроверки :

Теорема косинусов для треугольника BMC: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:









Ответ: .




9. Рефлексия деятельности на уроке.

– Что нового вы сегодня узнали? (Мы узнали теорему косинусов – формулу, с помощью которой мы можем найти третью сторону произвольного треугольника по двум другим его сторонам и углу между ними.)

– Какую цель ставили перед собой?

– Достигнута ли поставленная цель?

– Как вы ее достигали?

– Можно ли считать теорему косинусов обобщением теоремы Пифагора? (Можно ли считать теорему Пифагора частным случаем теоремы косинусов?)

− Где вы сможете применить новые знания? (При решении задач по геометрии)

− Оцените свою деятельность на уроке:

покажите руками тупой угол, если у вас ничего не получилось;

покажите руками острый угол, если все получилось;

покажите руками прямой угол, если были трудности.

– Ребята, как вы помните, последние уроки у нас были посвящены векторам. В качестве домашнего задания, я предлагаю вам ознакомиться с доказательством теоремы косинусов с помощью метода координат. А может быть кто-то из вас предложит еще какое-нибудь доказательство этой важной теоремы, например, используя понятие вектора (не находя их координаты). А мы с вами на следующем уроке обсудим все эти доказательства.



Домашнее задание: п. 98. № 1025(е, ж, з), 1030.


~ ~


Похожие:

«Теорема косинусов (нахождение стороны треугольника по двум другим его сторонам и углу между ними)» icon1. Первый признак равенства треугольников Теорема
Теорема : Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника,...
«Теорема косинусов (нахождение стороны треугольника по двум другим его сторонам и углу между ними)» iconВопросы к экзамену по геометрии 9 класс. Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусами вписанной и описанной окружностями
Нахождение гипотенузы, катета и острого угла прямоугольного треугольника по данным его второго катета и острому углу
«Теорема косинусов (нахождение стороны треугольника по двум другим его сторонам и углу между ними)» icon1. Треугольник Равнобедренный треугольник
Мати] Две стороны треугольника равны соответственно 6 см и 8 см. Медианы, проведенные к этим сторонам, перпендикулярны. Най­ти площадь...
«Теорема косинусов (нахождение стороны треугольника по двум другим его сторонам и углу между ними)» iconУрок по теме «Теорема Пифагора»
Образовательная: добиться усвоения теоремы Пифагора, привить навыки вычисления неизвестной стороны прямоугольного треугольника по...
«Теорема косинусов (нахождение стороны треугольника по двум другим его сторонам и углу между ними)» iconЗадача на построение прямоугольного треугольника по медиане к гипотенузе и катету имеет одно решение
Можно построить треугольник по двум сторонам и медиане к третьей сторон, но не всегда
«Теорема косинусов (нахождение стороны треугольника по двум другим его сторонам и углу между ними)» iconЗадача по теме «Треугольники». Билет№7 Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Формула для стороны правильного n-угольника. Запись, вывод
Формула для радиуса окружности, вписанной в правильный n-угольник. Запись, вывод
«Теорема косинусов (нахождение стороны треугольника по двум другим его сторонам и углу между ними)» iconСамостоятельная работа 2 Теорема Пифагора
Две стороны прямоугольного треугольника равны 3 м и 4 м. Найдите третью сторону (два случая)
«Теорема косинусов (нахождение стороны треугольника по двум другим его сторонам и углу между ними)» iconИз формулы площади треугольника и теоремы синусов выразите сторону треугольника через площадь треугольника, стороны треугольника и, радиус описанной вокруг треугольника окружности. Ответ: С2
Из формулы площади треугольника и теоремы синусов выразите сторону треугольника через площадь треугольника, стороны треугольника...
«Теорема косинусов (нахождение стороны треугольника по двум другим его сторонам и углу между ними)» iconПрограмма экзамена по элементарной математике Математический факультет
Геометрия прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора. Соотношения между сторонами и углами. Признаки равенства и подобия
«Теорема косинусов (нахождение стороны треугольника по двум другим его сторонам и углу между ними)» iconУрок геометрии в 8 классе «Теорема Пифагора»
Учитель: Ребята! Сегодня на урок мы изучим соотношение между сторонами прямоугольного треугольника
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com