Программа по курсу "Введение в математический анализ"



Скачать 190.55 Kb.
Дата17.06.2015
Размер190.55 Kb.
ТипПрограмма






Программа по курсу

"Введение в математический анализ"


  1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ

Цель курса –

обучение основам математического анализа для формирования у студентов представления о математике как особом методе познания природы, осознания общности математических понятий и моделей, приобретения навыков логического мышления и оперирования абстрактными математическими объектами; воспитание высокой математической культуры. Математический анализ – важнейший базовый курс, целями которого является закладка фундамента математического образования.


Задачами данного курса являются:


  1. добиться четкого, ясного понимания основных объектов исследования и понятий анализа;

  2. продемонстрировать возможности методов анализа для решения задач фундаментальной и прикладной математики;

  3. привить точность и обстоятельность аргументации в математических рассуждениях;

  4. сформировать высокий уровень математической культуры, достаточный для понимания и усвоения последующих курсов по непрерывной и дискретной математике;

  5. способствовать: подготовке к ведению исследовательской деятельности (в частности, для написания курсовой и выпускной квалификационной работ) в областях, использующих математические методы; созданию и использованию математических моделей процессов и объектов; разработке эффективных математических методов решения задач естествознания, техники, экономики и управления;

  6. развивать умение самостоятельной работы с учебными пособиями и другой научной и математической литературой.




Вид занятий:
Лекции


№ п.п.

Раздел


Темы

1


Увертюра


Исчисление высказываний,

пропозициональные формы,

кванторы, предикаты


Множества, операции, отношения

Группы, кольца, поля

Числа

Метрические пространства

Отображения

2

Рондо


Последовательности: алгебраические и топологические свойства, как отображения совершенно упорядоченной дискретной полугруппы в полное совершенно упорядоченное поле.

Предельные точки, частичные пределы, верхние и нижние пределы

Алгебра сходящихся последовательностей, максимальный идеал бесконечно малых последовательностей. Другие идеалы кольца сходящихся последовательностей.

3

Скерцо


Локальные свойства функций действительной переменной как отображения полного совершенно упорядоченного поля в себя — ограниченность, предельность, непрерывность.

Глобальные свойства непрерывной функции действительной переменной: компактность, связность, равномерная непрерывность.

Бесконечно малые функции как максимальный идеал кольца непрерывных в точке функций.

Теорема Ферма о существовании локального экстремума внутри отрезка.

Понятие дифференцируемости в точке и на множестве. Производная функция. Кольцо дифференцируемых в точке функций. Дифференцируемость композиции.




Дифференцируемость локально обратимой функции действительной переменной.

Дифференциал функции и его инвариантность при замене переменной.

Дифференциалы и производные высших порядков.

4

Апофеоз


Теорема Ролля.

Теорема о конечных приращениях и ее следствия: Теоремы Лагранжа и Коши



Теорема Дарбу о свойстве производной дифференцируемой функции.

Теорема о существовании обратной функции.

Формула Тейлора.

5

Мадринал


Интегральные суммы Дарбу, Верхний и нижний интеграл Дарбу. Интегрируемость по Риману.

Критерий интегрируемости функций. Интегрируемость непрерывных и монтонных функций.

Интегральные суммы и интегрируемость по Риману.

Теорема о интегрируемости сложной функции.

Свойства интеграла Римана. Кольцо интегрируемых функций.

Замена переменной в интеграле Римана.

Формула Ньютона — Лейбница.

6

Кода


Определение неопределенного интеграла и его свойства.




Экстремальные свойства функции действительной переменной.

Исследование свойств функции действительной переменной и построение эскиза графика.

Некоторые приложения интегрального исчисления к геометрии и физике.



Семинары


п/п

Тема


Содержание



Объем

Аудиторная работа

(зачетные

единицы/часы)


Самостоятельная работа

(зачетные

единицы/часы)


1

Исчисление высказываний,

пропозициональные формы,

кванторы, предикаты


Даются общие представления о исчислении высказываний. Разбираются важные для дальнейшего примеры.

2

1

2

Множества, операции, отношения

Даются определения операций над множествами, определения и свойства отношений и операций

2

1

3

Группы, кольца, поля

Изучаются основные виды алгебраических конструкций

2

1

4

Числа

Изучаются числа как реализация основных алгебраических конструкций

2

1

5

Метрические пространства

Дается определение и примеры метрических пространств, хпределяются свойства точек и подмножеств метрического пространства

2

1

6

Отображения

Изучаются алгебраические и топологические свойства отображений

2

1

7


Последовательности: алгебраические и топологические свойства, как отображения совершенно упорядоченной дискретной полугруппы в полное совершенно упорядоченное поле.

Дается определение числовой последовательности и изучаются свойства следующие из определения.

4

1

8


Предельные точки, частичные пределы, верхние и нижние пределы

Изучаются ограниченные последовательности, дается определение частичного предела и свойства последовательностей иметь верхний и нижний пределы.

4

1

9


Алгебра сходящихся последовательностей, максимальный идеал бесконечно малых последовательностей. Другие идеалы кольца сходящихся последовательностей.

Изучаются сходящиеся последовательности с алгебраической и тополгической точек зрения. Приводятся примеры важных числовых последовательностей и методы доказательства сходимости.

6

1

10


Локальные свойства функций действительной переменной как отображения полного совершенно упорядоченного поля в себя — ограниченность, предельность, непрерывность.

Даются определения ограниченности, предельности и непрерывности отобрадения в точке, вытекающие из свойств действительных чисел и как упорядоченного поля, так и метрического пространства. Изучаются основные слокальные свойства.

4

1

11


Глобальные свойства непрерывной функции действительной переменной: компактность, связность, равномерная непрерывность.

Доказывается теорема о непрерывном образе отрезка. Доказывется теорема о равномерной непрерывности непрерывной на отрезке функции. Разбираются следствия указанных свойств. Расматриваются примеры.

8

1

12


Бесконечно малые функции как максимальный идеал кольца непрерывных в точке функций.

Рассматириваются свойства бесконечномалых функций, разбираются замечательные пределы и разбираются методы нахождения пределов основанные на свойствах замечательных пределов и б.м функций.

8

2

13


Теорема Ферма о существовании локального экстремума внутри отрезка.

Доказывается простая но фундаментальная теорема о свойстве непрерывной функции достигать локального экстремума на отрезке как компакте.

4

1

14


Понятие дифференцируемости в точке и на множестве. Производная функция. Кольцо дифференцируемых в точке функций. Дифференцируемость композиции.

Дается определение и разбирается смысл дифференцируемости функции в точке. Доказываются свойства дифференцируемости вытекающие из определения. Доказываются алгебраические свойства дифференцируемых в точке функций.

6

2

15


Дифференцируемость локально обратимой функции действительной переменной.

Доказывается теорема о дифференцируемости обратной функции. Приводятся примеры позволяющие находить производные обратных функции.

4

1

16

Дифференциал функции и его инвариантность при замене переменной.

Дается определение дифференциала, рассматриваются алгебраические свойства, способы вычисления дифференциала при различных способах задания функций.

4

1

17


Дифференциалы и производные высших порядков.

Определяются дифференциалы и производные высших порядков. Разбираются способы их вычисления при различных способах задания функций.

6

1

18


Теорема Ролля.

Теорема о конечных приращениях и ее следствия: Теоремы Лагранжа и Коши



Доказываются фундаментальные теоремы отражающие свойства дифференцируемых функций. Разбираются примеры исследования свойств функций на основе доказанных теорем.

6

1

19


Теорема Дарбу о свойстве производной дифференцируемой функции.

Доказана теорема Дарбу о свойстве производной принимать промежуточные значения.

4

1

20

Теорема о существовании обратной функции.

Доказывается важная для дальнешего теорема о локальной обратимости, связанная с непрерывностью производной в точке.

4

1

21

Формула Тейлора.

Доказывается формула Тейлора. По существу основной результат. Рассматриваются формулы разложения для простейших функций.

8

2

22


Интегральные суммы Дарбу, Верхний и нижний интеграл Дарбу. Интегрируемость по Риману.

Рассматривается идея интегрирования и ее реализация по Дарбу.

2

1

23


Критерий интегрируемости функций. Интегрируемость непрерывных и монтонных функций.

Доказывается критерий интегрируемости функций и его применение к исследованию интегрируемости непрерывных и монотонных функций.

4

1

24

Интегральные суммы и интегрируемость по Риману.

Дается определение семейства интегральных сумм, предельной точки семейства интегральных сумм. Доказывается теорема о эквивалентности интегрируемости по Риману и существования предельной точки семейства интегральных суммм.

4

1

25


Теорема о интегрируемости сложной функции.

Доказывается теорема о интегрируемости сложной функции из которой получаем ряд важных следствий.

4

1

26


Свойства интеграла Римана. Кольцо интегрируемых функций.

Рассматриваются аддитивные и линейные свойства интеграла Римана, а также свойства множества интегрируемых функций. В частности теоремы о среднем значении.

2

1

27


Замена переменной в интеграле Римана.

Выводится формула замены переменной в интеграле и формулируются условия при которых формула верна.

4

1

28

Формула Ньютона — Лейбница.

Рассматривается зависимость значения интеграла от промежутка интегрирования, и как следствие формула Ньютона — Лейбница. Расматриваются примеры применеия для вычисления значений интегралов от простейших функций.

2

1

29


Определение неопределенного интеграла и его свойства.

Дается определение, так называемого, неопределенного интеграла и устанавливаются его алгебраические свойства.

6

1

30


Экстремальные свойства функции действительной переменной.

Рассматриваются методы анализа экстремальных свойств функции действительной переменной.

4

1

31


Исследование свойств функции действительной переменной и построение эскиза графика.

Рассматриваются методы исследования различных свойств функций и методы построения эскиза графика на основе проведенного исследования для различных способов задания функций.

6

1

32


Некоторые приложения интегрального исчисления к геометрии и физике.

Рассматриваются приложения свойств функций действительной переменной для решения физических и геометрических задач.

6

1


Примерное контрольное задание

1) Найти все гомоморфизмы колец: ; .

2) Существует ли отношение порядка, упорядочивающее группу и согласованное с операцией в этой группе. Если есть, то предъявить.

3) Если отношение порядка на конечном множестве M, то будет ли композиция отношением порядка.

4) Доказать, что множество всех последовательностей таких, что , является идеалом кольца сходящихся последовательностей. Из каких последовательностей состоит класс эквивалентности по такому идеалу?

5) Доказать, что для любой биекции выполнено равенство: , где .

6) Доказать, что непустое множество действительных чисел, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань.

7) Доказать. что последовательность содержит монотонно неубывающую последовательность, если .

8) Найти предел .

9) Доказать сходимость и найти предел последовательности, определяемой формулой: .

10) Найти и : .
7.2 Примерные контрольные вопросы

Бинарные отношения. Функциональные бинарные отношения. Отношения порядка и эквивалентности. Бинарные операции. Полугруппы, группы, кольца, поля. Конгруэнтоность. Факторизация. Понятие метрического пространства. Классификация подмножеств и точек метрического пространства. Числа: натуральные, целые, рациональные и действительные. Теорема о существовании точной верхней (нижней ) грани ограниченного сверху (снизу) множества действительных чисел. Теорема о существовании предельной точки счетного ограниченного подмножества действительных чисел. Отличие предельной точки и предела числовой последовательности. Числовые последовательности и их классификация: ограниченные, монотонные, сходящиеся, фундаментальные. Теорема о свойстве монотонной и ограниченной последовательности. Теорема об эквивалентности сходимости и фундаментальности числовой последовательности. Числовые подпоследовательности. Теорема о существовании сходящейся подпоследовательности ограниченной числовой последовательности. Определение верхнего и нижнего предела числовой последовательности. Теорема о существовании верхнего и нижнего предела ограниченной числовой последовательности. Мнжество сходящихся последовательностей как кольцо. Идеал бесконечно малых числовых последовательностей. Свойство фактор кольца кольца сходящихся последовательностей по идеалу бесконечно малых последовательностей.

Непрерывность функций действительной пременной в точке. Предел функции в точке. Теорема об эквивалентности двух определений предела функции в точке. Алгебраические свойства функций непрерывных в точке. Локальная ограниченность фукции непрерывной в точке. Бесконечно малые в точке функции. Свойство факторкольца кольца непрерывных в точке функций по идеалу бесонечно малых. Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема об образе отрезка при непрерывном отображении. Теорема о непрерывности обратной функции. Равномерная непрерывность. Теорема о равномерной непрерывности функции заданной на отркезке. Теорема о свойстве монотонной на отрезке функции. Частичный предел функции в точке. Теорема о существовании верхнего и нижнего предела локально ограниченной функции. Локальный экстремум функции. Теорема о существовании локального экстремума непрерывной на отрезке функции.

Непрерывность функций действительной пременной в точке. Предел функции в точке. Теорема об эквивалентности двух определений предела функции в точке. Алгебраические свойства функций непрерывных в точке. Локальная ограниченность фукции непрерывной в точке. Бесконечно малые в точке функции. Свойство факторкольца кольца непрерывных в точке функций по идеалу бесонечно малых. Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема об образе отрезка при непрерывном отображении. Теорема о непрерывности обратной функции. Равномерная непрерывность. Теорема о равномерной непрерывности функции заданной на отркезке. Теорема о свойстве монотонной на отрезке функции. Частичный предел функции в точке. Теорема о существовании верхнего и нижнего предела локально ограниченной функции. Локальный экстремум функции. Теорема о существовании локального экстремума непрерывной на отрезке функции.



Суммы Дарбу. Свойства верхних и нижних сумм Дарбу Теорема о существовании верхнего и нижнего интегралов Дарбу. Интегрируемость функции. Критерий интегрируемости функции. Теорема о интегрируемости непрерывной функции. Теорема о интегрируемости монотонной функции. Теорема о интегрируемости сложной функции. Алгебраические свойства множесва интегрируемых на отрезке функций. (кольцо интегрируемых функций). Теорема о среднем значении (функции). Свойство определенного интеграла как функции отрезка интегрирования. Формула Ньютона — Лейбница. Теорема о замене переменной в определенном интеграле (на основе формулы Ньютона — Лейбница). Теорема о замене переменной в определенном интеграле (не используя формулу Ньютона — Лейбница). Сглаживающее свойство определенного интеграла. Теорема об интегрировании кусочно непрерывной функции. Интегральные суммы. Определение предела семейства интегральных сумм. Теорема об эквивалентности интегрируемости и существования предела семества интегральных сумм. Теорема о «мелких» разбиениях. Необходимое условие интегрируемости. ( если функция неограничена, то семейство интегральных сумм не имеет предела).





  1. Введение в математический анализ / А.М. Воробьев, В.В. Гарбарук, В.И. Родин, М.А. Шварц. – М., 2006.




  1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1972.

  2. Денисов В.Н. Математический анализ: учебно-методическое пособие / Денисов В.Н., Тихомиров В.В. – М.: Издательский отдел факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, 2005.

  3. Зорич В.А. Математический анализ, ч.1. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

  4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1.,Ч.2. – М.: Наука, 1971, 1982.

  5. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т.1., Т.2. – М.: Высшая школа, 1970.

  6. Математический анализ: учеб. / В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов; под ред. А.Н. Тихонова. – в 2 ч. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.

  7. Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Наука, 1973, т. 1-2.

  8. Никольский С.М. Курс математического анализа: [Учеб. для вузов] / С.М. Никольский. – 6-е изд., стер. – М.: Физматлит, 2001.

  9. Райков Д.А. Одномерный математический анализ. М.: Высшая школа, 1982.

  10. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. – М.: Физматлит, 2002.

  11. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник для студентов физических и механико-математических специальностей высших учебных заведений [в 3 т.] / Г.М. Фихтенгольц; [предисл. и прим. А.А. Флоринского]. – Изд. 8-е. – М.: Физматлит, 2007.

  12. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: [учебник: в 2-х частях] / Г.М. Фихтенгольц. – Изд. 6-е, стер. – СПб.: Лань, 2005.




    1. Электронные ресурсы, включая доступ к базам данных и . т.д.



  1. http://www. exponenta.ru – «Образовательный математический сайт Exponenta.ru».


  2. http://www. matclub.ru – Лекции, примеры решения задач, интегралы и производные, дифференцирование, ТФКП, Электронные учебники.


  3. http://www. math.ru – «Образовательный математический сайт Math.ru».


  4. http://www. mathelp.spb.ru – «Высшая математика» (помощь студентам) – Лекции, электронные учебники, решение контрольных работ.


  5. http://www. mathelp.spb.ru – Лекции по высшей математике: Математический анализ; Дифференциальные уравнения; Аналитическая геометрия, Теория вероятностей и др.


  6. http://www.fismat.ru – Высшая математика для студентов и абитуриентов – интегралы и производные, ряды, ТФКП, дифференцирование, лекции, задачи, учебники.








Похожие:

Программа по курсу \"Введение в математический анализ\" iconАналитическая геометрия. Введение в математический анализ Индивидуальные задания к модулю 1 Курск 2009
Аналитическая геометрия. Введение в математический анализ. [Текст]: /индивидуальные задания к модулю 1 системы ритмо по дисциплине...
Программа по курсу \"Введение в математический анализ\" iconРабочая программа дисциплины математический анализ
Дисциплина «Математический анализ» входит в базовую часть математического и естественно-научного цикла дисциплин
Программа по курсу \"Введение в математический анализ\" iconПрограмма вступительных испытаний в магистратуру по математике (для направления 01. 04. 01 – математика ) I. Математический анализ
Различные подходы к построению теории вещественных чисел. Полнота, компактность и связность множества . [Ф] том1, Введение; [исс]...
Программа по курсу \"Введение в математический анализ\" iconРабочая программа по дисциплине «Математический анализ» для студентов, обучающихся по направлению
Математический анализ. Рабочая программа для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям 080100 «Экономика», Кисловодск:...
Программа по курсу \"Введение в математический анализ\" iconПрограмма курсу «Математический анализ»
Оргвопросы, методика конспектирования и изучения. Структура теорем, необходимые и достаточные условия. Логические символы. Предмет...
Программа по курсу \"Введение в математический анализ\" iconРабочей программы дисциплины «Уравнения математической физики»
Изучение данной дисциплины базируется на знании следующих дисциплин: Математический анализ математический и естественнонаучный цикл,...
Программа по курсу \"Введение в математический анализ\" iconДиссертация «Риманова геометрия нерегулярных отображений»
Сборник задач по курсу «Математика в экономике». В 3 ч. Ч. 2, Математический анализ: Учебное пособие/ Е. Н. Орел, А. А. Рылов, В....
Программа по курсу \"Введение в математический анализ\" iconПрограммы экзамена по курсу «Математический анализ» за 2-ой семестр 1-го курса для студентов дневного отделения имэи игу, обучающихся по направлению
Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла
Программа по курсу \"Введение в математический анализ\" iconПрограмма вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю
В основу программы положены следующие разделы вузовских дисциплин: математический анализ, теория функций комплексного переменного,...
Программа по курсу \"Введение в математический анализ\" iconПрограмма экзамена по курсу Введение в математическую
Программа экзамена по курсу Введение в математическую логику и теорию алгоритмов, 2014
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com