Учебно-методическое пособие для студентов II курса всех специальностей



страница1/5
Дата17.06.2015
Размер0.89 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие
  1   2   3   4   5



ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Учебно-методическое пособие
для студентов II курса всех специальностей




ПРЕДИСЛОВИЕ

Среди математических дисциплин, изучаемых в экономическом вузе, теория вероятностей и математическая статистика занимают особое положение. Во-первых, они являются теоретической базой статистических дисциплин. Во-вторых, методы теории вероятностей и математической статистики непосредственно используются при изучении массовых совокупностей наблюдаемых явлений, обработке результатов наблюдений и выявлении закономерностей случайных явлений. Наконец, теория вероятностей и математическая статистика имеют важное методологическое значение в познавательном процессе, при выявлении общей закономерности исследуемых процессов, служат логической основой индуктивно-дедуктивного умозаключения.

Цель настоящего методического пособия — помочь студентам в изучении дисциплин «Теория вероятностей» и «Математическая статистика», освоении основ вероятностных и математико-статистических методов исследования.

Своеобразная форма вероятностных утверждений, сопровождаемых обычно словами «вероятно», «практически достоверно», «в среднем», «сходится по вероятности» и т.п., — первая проблема, с которой сталкиваются студенты при изучении дисциплин. Другая проблема связана с усвоением специфических теоретико-вероятностных понятий и положений, с необходимостью проведения абстрактно-логических рассуждений при изучении данных дисциплин. Одним из путей преодоления возникающих трудностей является решение достаточно большого числа задач.

При изучении дисциплин рекомендуется использовать учебник Н.Ш. Кремера «Теория вероятностей и математическая статистика». Далее именно на этот учебник с порядковым номером [1] даются ссылки. Другие пособия могут быть использованы в качестве дополнительной учебной литературы (см. список литературы на с. 27).

РАЗДЕЛ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


Ниже по каждой теме приводится учебно-программный материал, который должен изучить студент со ссылками на рекомендованный учебник [1].

Контрольные вопросы по каждой теме представлены ниже в разделе «Вопросы для самопроверки».

Рекомендуемые по каждой теме задачи с решениями и для самостоятельной работы приводятся ниже в разделе «Задачи для самоподготовки».

Тема 1. Классификация событий

Случайные события. Полная группа событий. Классическое и статистическое определение вероятности. Свойства вероятности события. Элементы комбинаторики. Непосредственный подсчет вероятности ([1], § 1.1 — 1.3, 1.5, 1.6).

При изучении этой темы студенты сталкиваются с такими фундаментальными понятиями, как испытание (опыт, эксперимент), случайное событие, вероятность события и др. Необходимо четко представлять, что событие — это не какое-нибудь происшествие, а лишь возможный исход (результат) испытания, т.е. выполнение определенного комплекса условий.

Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности наступления события. Если при классическом определении вероятность события определяется как доля случаев, благоприятствующих данному событию, то при статистическом определении — как доля тех фактически произведенных испытаний, в которых это событие появилось. При этом предполагается, что число испытаний достаточно велико, а события — исходы тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий, и обладают устойчивостью относительных частот. С теоретико-множественной трактовкой основных понятий и аксиоматическим построением теории вероятностей студент может ознакомиться по учебнику ([1], § 1.12). (Этот материал в обязательную программу не входит.)

Для решения задач на непосредственный подсчет вероятностей необходимо овладеть элементами комбинаторики ([1], § 1.5), в первую очередь определением числа сочетаний (без повторений).



Тема 2. Основные теоремы

Сумма и произведение событий. Теорема сложения вероятностей и ее следствия. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий. Формулы полной вероятности и Байеса ([1],§ 1.7-1.11).

Студент должен четко усвоить основные операции над событиями — их сумму и произведение. Если + В) событие, состоящее в появлении хотя бы одного из данных событий (т.е. наступления либо события А, либо события В, либо обоих событий вместе), то АВ представляет событие, состоящее в совместном появлении двух событий (т.е. наступления и события А, и события В). Нужно знать, что событием, противоположным сумме нескольких событий, является произведение противоположных событий, т.е.



а событием, противоположным произведению нескольких событий, — сумма противоположных событий:



Основными теоремами данной темы являются теоремы сложения и умножения вероятностей. Следует четко знать, что вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей (т.е. Р(А+В) = Р(А)+Р(В)) для несовместных событий, а вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей (т.е. Р(АВ) = Р(А)Р(В)) для независимых событий.

Завершают тему формулы полной вероятности и Байеса, являющиеся следствиями теорем сложения и умножения вероятностей. Общим для этих формул является то, что они применяются в случае, когда данное событие сможет произойти только при условии появления одной из гипотез A1,A2,…,Ап, образующих полную группу событий. Но если в формуле полной вероятности для P(F) ищется вероятность события F(безотносительно к рассматриваемой гипотезе), то формула Байеса позволяет произвести количественную переоценку априорных вероятностей гипотез Р(Аi) (i=1,2,…,n), известных до испытания, лишь после того, как событие А произошло, т.е. найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез PF(Ai).

Особое внимание следует уделить задачам по данной теме. Решение каждой из них должно сопровождаться предварительным логическим анализом условия, формулировкой и обозначением искомого события, выявлением его логической связи с другими, более простыми событиями. Этот анализ выявит применимость в данной задаче той или иной формулы или теоремы (теорем сложения, умножения, формул полной вероятности, Байеса и т.п.) и позволит обосновать дальнейшие операции, связанные с расчетом вероятностей.

При решении задачи прежде всего необходимо ввести обозначения для событий и по данным условия составить соотношения между ними, позволяющие определить искомую вероятность через данные или более просто определяемые вероятности. Нужно соблюдать условие применимости используемой теоремы (например, условие несовместности событий при использовании теоремы сложения, условие зависимости или независимости событий при использовании теоремы умножения и т.п.).

Тема 3. Повторные независимые испытания

Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Многоугольник распределения вероятностей. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применения. Локальная теорема Муавра—Лапласа. Функция f(x), ее свойства и график. Интегральная теорема Муавра—Лапласа и ее следствия. Функция Ф(х) Лапласа и ее свойства ([1], § 2.1—2.4).

В этой теме рассматривается схема Бернулли — последовательность п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с постоянной вероятностью Р(А) = р. Результат испытаний — появление т раз события А, которое чередуется в любом порядке c п — т раз непоявлением события А.

При этом могут определяться вероятности того, что:

а) событие А появится точно т раз (вероятность Рт,n);

б) событие А появится не менее или не более данного числа а раз (вероятности Рпа) или Рп(т ≤ а);

в) событие А появится т раз, заключенное в границах от а до b (включительно), т.е. вероятность Рп(а < т< b).

При решении задач темы следует уяснить, что нужно понимать под испытанием и событием А. Далее необходимо сформулировать вопрос задачи в виде условий, налагаемых на число т наступлений события или частость (относительную частоту) т/п. Затем перейти к записи условий задачи в терминах и обозначениях схемы повторных испытаний, к выбору подходящей расчетной формулы и вычислительной схемы.

Расчет вероятностей можно производить по точной формуле Бернулли (если п — небольшое число) и по асимптотическим формулам, если п велико. Если по техническим причинам вероятность Рт,п не может быть вычислена по формуле Бернулли, то используются асимптотические формулы — формула Пуассона (если п — велико, р — мала, так, что, X = пр ≤ 10), локальная формула Муавра—Лапласа (если npq20). Если необходимо найти вероятность числа т (частости т/п) появления события, заключенного в некоторых пределах, то при условии npq > 20 может быть использована интегральная теорема Муавра—Лапласа и ее следствия.



Тема 4. Дискретные случайные величины

Понятие случайной величины и ее описание. Виды случайных величин. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения; основное свойство закона распределения. Арифметические операции над случайными величинами. Биномиальный закон распределения и закон Пуассона. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия: а) случайной величины, распределенной по биномиальному закону и закону Пуассона; б) частости события в п независимых повторных испытаниях ([ 1 ], § 3.1 —3.4, 3.8, 4.1,4.2).

В этой теме рассматривается одно из фундаментальных понятий теории вероятностей — понятие случайной величины. Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно — заранее неизвестно). Если говорить более строго, то случайная величина есть функция, заданная на множестве элементарных исходов.

Наиболее полным описанием случайной величины является ее закон распределения, т.е. всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

При решении задач случайная величина, как и случайное событие, подлежит четкому определению по условию. Ее связь со случайным событием заключается в том, что принятие ею некоторого числового значения (т.е. выполнение равенства Х= хi) есть случайное событие, характеризуемое вероятностью Р(Х=хi) = pi,.

В данной теме рассматриваются дискретные случайные величины, характеризуемые конечным или бесконечным, но счетным, множеством возможных значений хi. и соответствующими им вероятностями рi = Р(Х=хi). Большинство задач темы связано с построением для заданной случайной величины закона распределения, т.е. таблицы вида . Решение подобных задач требует, прежде всего, четких определений случайной величины и испытания, количественный результат которого характеризуется значениями x1,x2 ,…, хp ,…, хп.

Затем можно перейти к построению закона распределения случайной величины, а точнее — к вычислению вероятностей рi, как вероятностей событий Х=хi. Здесь могут быть использованы приемы и методы, рассмотренные при решении задач в темах 1—3.

Общая схема решения задач на построение законов распределения включает:

1) введение и четкое описание случайной величины, о которой идет речь;

2) описание множества ее возможных значений x1,x2 ,…, хp ,…, хп >


  1. рассмотрение выполнения каждого из равенств X = хi. как случайного события;

  2. вычисление вероятностей этих событий с помощью основных теорем и формул;

5) проверка правильности составленного распределения с помощью равенства .

Особое внимание следует обратить на числовые характеристики случайной величины, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, в частности, на математическое ожидание и дисперсию случайной величины и их свойства.



Тема 5. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения

Функция распределения случайной величины, ее свойства и график. Определение непрерывной случайной величины. Вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины. Плотность вероятности, ее свойства и график. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Определение нормального закона распределения; теоретико-вероятностный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров. Функция распределения нормально распределенной случайной величины и ее выражение через функцию Лапласа. Формулы для определения вероятности: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал; б) отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм». Понятие о центральной предельной теореме (теореме Ляпунова) ([1], §3.5, 3.6, 3.8,4.7, 6.5).

Функция распределения случайной величины — одно из фундаментальных понятий теории вероятностей, поскольку является универсальным описанием любой случайной величины. Функция распределения F(x) представляет вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х, т.е. F(x) = Р(Х<х). Необходимо знать свойства функции распределения F(x) и ее производной φ(х) — плотности вероятности случайной величины и уметь их изображать графически.

Из непрерывных случайных величин особо важное значение имеет нормальный закон распределения. Необходимо знать теоретико-вероятностный смысл его параметров, выражение функции распределения FN(x) через функцию Лапласа Ф(х), свойства нормально распределенной случайной величины, правило «трех сигм». Важно четко представлять, что нормальный закон, в отличие от других, является предельным законом, к которому при некоторых весьма часто встречающихся условиях приводит совокупное действие (сумма) п независимых случайных величин X1, Х2,..., Хп при .

Тема 6. Двумерные (n-мерные) случайные величины

Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения. Ковариация и коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции. Двумерное нормальное распределение. Условные математическое ожидание и дисперсия ([1], § 5.1, 5.6, 5.7).

В этой теме обобщается понятие случайной величины, вводится понятие многомерной (n-мерной) случайной величины, условных распределений и их числовых характеристик. Так как математические ожидания и дисперсии случайных величин Х и Y недостаточно полно характеризуют двумерную случайную величину (X,Y), рассматриваются ковариация и коэффициент корреляции случайных величин, которые позволяют выявить степень зависимости между Х и Y. Завершается тема понятием двумерного нормального закона распределения. Следует обратить внимание на то, что в случае двумерного нормального закона зависимости условных математических ожиданий Мх(Y) (или Му(X)) от x (или у), т.е. нормальные регрессии Y по X (или Х по Y) всегда линейны, а условные дисперсии Dx(Y) (или Dy(X)) постоянны и не зависят от значений х (или у).



Тема 7. Закон больших чисел

Сущность закона больших чисел. Значение теорем закона больших чисел для математической статистики. Лемма Чебышева (неравенство Маркова). Неравенство Чебышева и его частные случаи: а) для средней арифметической случайных величин; б) для случайной величины, распределенной по биномиальному закону; в) для частости события. Теорема Чебышева и ее следствие. Теорема Бернулли ([1], § 6.1—6.4).

Данная тема важна для понимания методов математической статистики. Она включает ряд теорем, устанавливающих при определенных условиях устойчивость частости (относительной частоты) и средней арифметической (теоремы Бернулли, Чебышева и др.). При изучении каждой из них важно уяснить условия их применимости, а также смысл утверждений, сопровождаемых словами «практически невозможно», «практически достоверно». Особое внимание следует уделить понятию «сходимости по вероятности».

При использовании неравенств Маркова и Чебышева в процессе решения задач необходимо учитывать, что эти неравенства дают не точное значение соответствующей вероятности, а лишь ее оценку снизу или сверху (вероятность не меньше (не больше) данного числа).

Неравенство Чебышева оценивает вероятность отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания М(Х)=а, т.е. . Неравенство может быть представлено в виде:



- ε < X - a < ε или - ε < X < ε+a. Это означает, что неравенство Чебышева дает оценку того, что случайная величина X принимает значения в границах, симметрично расположенных относительно а, т.е. от α=a - ε до β = a + ε .

РАЗДЕЛ 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА


Тема 8. Вариационные ряды

Вариационный ряд как результат первичной обработки данных наблюдений. Дискретный и интервальный ряды. Средняя арифметическая и дисперсия вариационного ряда. Упрощенный способ их вычисления ([1], § 8.1-8.4).

Прежде чем непосредственно изучать выборочный метод, необходимо ознакомиться с простейшей статистической обработкой опытных данных; построением вариационных рядов, вычислением их числовых характеристик.

Вариационный ряд является статистическим аналогом (реализацией) распределения признака (случайной величины), а его числовые характеристики — средняя арифметическая и дисперсия s2аналогами соответствующих числовых характеристик случайной величины — математического ожидания М(Х) и дисперсии D(X). Точно так же понятие частости (относительной частоты) w для вариационного ряда аналогично понятию вероятности р для случайной величины.

Необходимо четко знать формулы вычисления числовых характеристик ряда (§ 8.2, 8.3). Более сложные формулы, используемые в упрощенном способе расчета (§ 8.4), являются вспомогательными, и их сложность объясняется переходом в расчетах от рассматриваемых вариантов к условным.

Однако некоторое усложнение нахождения числовых характеристик по этим формулам с лихвой компенсируется снижением трудоемкости расчетов за счет существенного упрощения условных вариантов по сравнению с исходными.

Тема 9. Основы выборочного метода

Сплошное и выборочное наблюдения. Генеральная и выборочная совокупности. Собственно-случайная выборка с повторным и бесповторным отбором членов. Репрезентативная выборка. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности, свойства оценок: несмещенность, состоятельность и эффективность. Оценка генеральных доли и средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочных доли и средней. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии как оценки генеральной дисперсии. Интервальная оценка параметров. Доверительная вероятность, надежность оценки и предельная ошибка выборки. Формулы доверительных вероятностей для средней и доли. Объем выборки ([1], § 9.1, 9.2, 9.4, 9.6).

Выборочный метод широко применяется на практике. Однако значение этой темы значительно шире, поскольку концепция выборки лежит в основе методологии математической статистики. Соотношение между характеристиками выборочной и генеральной совокупностей есть соотношение между опытными данными (результатами наблюдений) и теоретической моделью.

Чтобы по данным выборки иметь возможность судить о генеральной совокупности, она должна быть отобрана случайно. Поэтому выборочные характеристики — выборочные средняя доля w и дисперсия s2 — величины случайные в отличие от их аналогов в генеральной совокупности , р и величин неслучайных.

Необходимо знать свойства выборочных оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность. Уметь обосновать несмещенность и состоятельность выборочных средней и доли. При этом следует помнить, что основное требование, предъявляемое к выборочной оценке , заключается в том, чтобы ее рассеяние относительно оцениваемого параметра , т.е. М(-)2 было минимальным. Для несмещенной оценки, для которой М(-)2=D()=, это требование означает ее эффективность. Но даже «наилучшая» оценка является лишь приближенным значением неизвестного параметра и, будучи величиной случайной, может существенно отличаться от самого параметра.

Поэтому наряду с точечной рассматривают интервальную оценку параметра, т.е. такой числовой интервал, который с заданной доверительной вероятностью (надежностью) накрывает неизвестное значение параметра. Программой предусматривается построение доверительного интервала для генеральной средней и генеральной доли собственно-случайных выборок (повторной и бесповторной). Основой являются формулы доверительной вероятности для средней и доли ([1], формулы (9.23), (9.24)).

Необходимо усвоить три типа задач на выборку, сводящиеся к определению предельной ошибки выборки или границ доверительного интервала, надежности оценки и объема выборки.

При решении задач на нахождение объема выборки следует учесть, что это не просто задачи на вычисление неизвестной величины п из формулы, выражающей предельную ошибку выборки через дисперсию признака. Ведь обычно объем выборки надо знать до проведения выборочного наблюдения, но в этом случае неизвестны не только дисперсии признака или pq, но даже их оценки. Поэтому вместо неизвестных значений или pq берут выборочные характеристики s2 или w(l - w) предшествующего исследования в аналогичных условиях, т.е. полагают, что s2, р ≈ w. Если никаких сведений о или р нет, то в качестве или р используют их выборочные оценки по специальной пробной выборке небольшого объема и по формулам (9.33) — (9.36) находят объем основной выборки. При оценке генеральной доли р вместо проведения пробной выборки можно в формулах объема выборки произведение pq = р(1-р) заменить его максимальным значением, равным 0,25.

Если по условию задачи объем бесповторной выборки значительно меньше объема генеральной совокупности или генеральная совокупность бесконечна, то расчет необходимых характеристик проводят по формулам для повторной выборки.



  1   2   3   4   5

Похожие:

Учебно-методическое пособие для студентов II курса всех специальностей iconУчебно-методическое пособие по дисциплине «Английский язык» для студентов 1 курса
Данное учебно-методическое пособие разработано для студентов 1 курса на основе информационно-коммуникационных образовательных технологий,...
Учебно-методическое пособие для студентов II курса всех специальностей iconУчебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по специальности 1-08 01 01 «Профессиональное обучение»
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по педагогическим специальностям. Представленными материалами...
Учебно-методическое пособие для студентов II курса всех специальностей iconУчебно-практическое пособие для студентов инженерно-технических специальностей /П. А. Красных, А. А. Родионов, Г. Т. Сычев; Под ред. А. А. Родионова; Курск гос техн ун-т 2002, 69 с
Данное учебно-практическое пособие составлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом 2000 и рабочей программой...
Учебно-методическое пособие для студентов II курса всех специальностей iconКурс лекций по философии учебно-методическое пособие для студентов всех специальностей технического вуза
Охватывает все знания о вещах, подводит итоги развития человеческого опыта, культуры и самого человека. Только на основе синтеза,...
Учебно-методическое пособие для студентов II курса всех специальностей iconУчебно-методическое пособие специальность 05 01 46 «Преподавание в начальных классах»
Данное учебно-методическое пособие рекомендуется использовать как на занятиях, так и для самостоятельной работы студентов
Учебно-методическое пособие для студентов II курса всех специальностей iconУчебно-методическое пособие Мурманск 2006 (075. 8) Ббк 88я73 К65
Учебно-методическое пособие для студентов педагогических вузов / Авт сост. А. А. Сергеева, И. А. Синкевич, Н. В. Юшина
Учебно-методическое пособие для студентов II курса всех специальностей iconН. И. Лобачевского С. В. Сидоренко Ю. Е. Францева И. М. Швец Использование активных методов обучения в курсе «Концепции современного естествознания» Учебно-методическое пособие
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению «Биология», биологического факультета ннгу им....
Учебно-методическое пособие для студентов II курса всех специальностей iconУчебно-методическое пособие для студентов медицинских специальностей по педагогике
Охватывает все возможные варианты, встречающиеся в деятельности врача, и содержит модели разнообразных практических ситуаций, с которыми...
Учебно-методическое пособие для студентов II курса всех специальностей iconУчебно-методическое пособие Москва 2011 Учебно-научная серия «Библиотека факультета глобальных процессов мгу»
Политическое регионоведение: Учебно-методическое пособие. — М.: Макс пресс, 2011. — 83 c
Учебно-методическое пособие для студентов II курса всех специальностей iconМетодическое пособие для студентов, обучающихся в соответствии с фгос впо по направлению подготовки 050700 «Специальное (дефектологическое) образование»
Воспитание и обучение детей с нарушениями речи. Психология детей с нарушениями речи: Учебно-методическое пособие / Л. С. Вакуленко....
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com