Решение по правилу Крамера 2 Обратная матрица и ее вычисление 2 Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы



страница1/4
Дата22.05.2015
Размер0,56 Mb.
ТипРешение
  1   2   3   4





МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

О.П. Егоров

О.Л. Казаков

Линейная алгебра и математическое

программирование для экономистов
Часть 1. Линейная алгебра

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ


Москва 2003

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1.1. Системы линейных уравнений

1.1.1.Примеры моделирования экономических процессов системами линейных уравнений

1.1.2. Понятия системы линейных уравнений и ее решения



Вопросы для самопроверки

Задания для самостоятельной работы

1.2. Решение определенной системы линейных уравнений

1.2.1. Матрицы и действия над ними

1.2.2. Запись системы линейных уравнений в виде матричного уравнения

1.2.3. Определитель квадратной матрицы и его вычисление

1.2.4. Признак определенности системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов и ее решение по правилу Крамера

1.2.5. Обратная матрица и ее вычисление

1.2.6. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

1.2.7. Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса

Вопросы для самопроверки

Задания для самостоятельной работы

1.3. Решение неопределенной системы линейных уравнений

1.3.1. Экономическая интерпретация множества решений системы линейных уравнений

1.3.2. Векторное пространство и его базис

1.3.3. Ранг матрицы и его вычисление

1.3.4. Признак совместности системы линейных уравнений

1.3.5. Нахождение решений неопределенной системы линейных уравнений

1.3.6. Особенности решения системы линейных однородных уравнений



Вопросы для самопроверки

Задания для самостоятельной работы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРЕДИСЛОВИЕ
В современных условиях экономист, решающий сколько-нибудь значительную систему линейных уравнений, естественно, воспользуется компьютером. Для этого существуют эффективные программы, и потому практическое решение системы линейных уравнений сведется к обращению к какой-либо стандартной запрограммированной процедуре. Однако для правильной постановки задачи, выбора способа ее решения и интерпретации его результатов очень важно быть знакомым с применяемыми алгоритмами, а также с основными трудностями, возникающими при решении линейных систем, и путями их преодоления.

В данном учебном пособии последовательно рассматриваются признаки и способы решения систем линейных уравнений, моделирующих экономические процессы и имеющих единственное и множество решений. Изложение ведется по принципу “от простого – к сложному”. Причем решение сложных вопросов основывается на применении ранее полученных простых решений. Теоретические положения сопровождаются решением практических задач, вопросами для самопроверки и заданиями для самостоятельной работы.




  1. Линейная алгебра




    1. Системы линейных уравнений




      1. Примеры моделирования экономических процессов

системами линейных уравнений
Пример 1. Задача об ассортименте продукции
Словесная формулировка задачи

Фирма выпускает три вида изделий. В процессе производства используются три тех­нологические операции. Показана технологическая схема производства изделий.

Указана длительность технологических операций при изготовлении одного изделия каждого вида, а также фонд рабочего времени в сутки, в течение которого операции 1, 2 и 3 могут быть применены для производства рассматриваемых изделий.

Определить суточный объем производства каждого вида продукции?

Математическая формулировка задачи

Так как продолжительность операций зависит от искомого числа изделий каждого вида, в качестве искомых переменных выбираем:



- количество изделий вида 1,

- количество изделий вида 2,

- количество изделий вида 3.

Заданное время использования операций в течение суток выражается линейными уравнениями



.
Пример 2. Задача составления смеси (о диете)
Словесная формулировка задачи

Для испытания двигателей составляют смесь горючего объемом литров из трех компонентов, каждый из которых содержит доли трех необходимых веществ. Известны доли этих веществ, которые могут содер­жаться в итоговой смеси и определяют ее каче­ство.




Вещества

Компоненты



А

Б

В

1

38%

-

-

2

0.1%

9%

2%

3

0.2%

50%

8%

Содержание

в смеси



0.8%

22%

5%


Необходимо определить объемы компонентов в требуемом объеме смеси.

Математическая формулировка задачи

И объем, и качество смеси зависят от объема каждого из трех компонентов. Поэтому в качестве искомых переменных выбираем:



- объем в литрах первого компонента в смеси,

- объем в литрах второго компонента в смеси,

- объем в литрах третьего компонента в смеси.

Необходимый объем смеси выражается линейным уравнением:



.

Качество смеси, зависящее от содержания в ней первого вещества, выражается линейным уравнением:



.

Качество смеси, зависящее от содержания в ней второго вещества, выражается линейным уравнением:



.

Качество смеси, зависящее от содержания в ней третьего вещества, выражается линейным уравнением:



.

После приведения уравнений к стандартному виду искомый состав требуемой смеси определяется решением системы линейных уравнений:




Пример 3. Задача о раскрое
Словесная формулировка задачи

Производятся исходные рулоны шириной 20 единиц. Поступил заказ, выполнение которого требует разрезания этих рулонов. Объем заказа, ширина заказываемых рулонов, возможные варианты разрезания производимого рулона и количество получаемых при этом рулонов заказываемой ширины приведены в таблице.




Кол-во

Заказыва-

Емых

Рулонов



Ширина

рулонов,


ед.

Возможные варианты разрезания рулонов

(количество получаемых рулонов)



1

2

3

4

5

6

150

5

0

2

2

4

1

0

200

7

1

1

0

0

2

0

300

9

1

0

1

0

0

2


Требуется найти потребные количества исходных рулонов, разрезаемых по каждому из 6-ти вариантов, при которых удовлетворяются поступившие заказы.
Математическая формулировка задачи

Идентификация переменных:



- количество исходных рулонов, разрезаемых по варианту .

Избыточное количество рулонов шириной 5, 7 и 9 единиц, получаемое при разрезании исходных рулонов и превышающее заказанное количество, обозначим соответствующими переменными:



В итоге, получаем математическую модель, с помощью которой можно определить потребные количества исходных рулонов путем решения системы линейных уравнений:




Пример 4. Задача о сменно-суточном планировании работы
Словесная формулировка задачи

Анализ практики работы авторемонтной службы показал распределение интенсивности требуемого количества рабочих.

Поэтому решено организовать шестисменное дежурство продолжительностью 8 часов с началом работы смен в 0.00, 4.00, 8.00, 12.00, 16.00 и 20.00.

Требуется определить, какое количество рабочих в течение суток будет необходимо.

Математическая формулировка задачи

Идентификация переменных:



- число рабочих, выходящих в 1-ую смену с 0.00 до 8.00;

- число рабочих во 2-ой смене с 4.00 до 12.00;

- число рабочих в 3-ей смене с 8.00 до 16.00;

- число рабочих в 4-ой смене с 12.00 до 20.00;

- число рабочих в 5-ой смене с 16.00 до 0.00;

-число рабочих в 6-ой смене с 20.00 до 4.00.

Выражение потребностей:




Определить, какое количество рабочих в течение суток будет необходимо, можно путем решения системы линейных уравнений:





      1. Понятия системы линейных уравнений и ее решения


Системы линейных уравнений – это системы уравнений первой степени с несколькими неизвестными:

где - неизвестные;



- коэффициент при неизвестном в -ом уравнении,

- свободный член -ого уравнения.

В компактном виде эту систему можно представить в записи:



.

В отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных.



Решением системы линейных уравнений называется такая совокупность чисел , что каждое из этих уравнений обращается в тождество после замены в нем неизвестных соответствующими числами , .

Несовместной называется система линейных уравнений, которая не имеет ни одного решения.

Совместной называется система линейных уравнений, которая обладает решениями.

Определенной называется совместная система линейных уравнений, если она обладает одним – единственным решением, а неопределенной, если решений больше, чем одно.

Неизвестные (переменные) в системе линейных уравнений могут быть представлены вектором размерности :



Тогда и решение системы линейных уравнений может быть представлено вектором той же размерности:



Решением неопределенной системы линейных уравнений является множество векторов.



Задача теории систем линейных уравнений состоит:

  1. в установлении совместности системы линейных уравнений;

  2. в установлении определенности совместной системы линейных уравнений;

  3. в указании способа нахождения решений совместной системы линейных уравнений.


Вопросы для самопроверки

  • Какие уравнения называются линейными?

  • Что является решением системы линейных уравнений?

  • Какая система линейных уравнений называется несовместной?

  • Относятся ли определенная и неопределенная системы линейных уравнений к совместным?

  • Может быть неопределенная система линейных уравнений несовместной?

  • Чем отличаются между собой определенная и неопределенная системы линейных уравнений?

  • В чем состоит задача теории систем линейных уравнений?


Задания для самостоятельной работы
1. Фабрика выпускает продукцию двух видов и . Для производства этой продукции используются три исходных продукта - . Запасы этих продуктов составляют 6, 8 и 5 т соответственно. Расходы сырья на 1 тыс. изделий и приведены в таблице.

Исходный

продукт


Расход на 1 тыс. изделий (т)

Запас (т)









1

2

6



2

1

8



1

0.8

5

Какое количество изделий (в тыс. шт.) каждого вида может производить фабрика?


2. Металлургическому заводу требуется уголь с содержанием фосфора 0.03% и с долей зольных примесей 3.25%. Завод закупает три сорта угля с содержанием примесей, приведенным в таблице.

Сорт угля

Содержание (%)

фосфора

золы



0.06

2.0



0.04

4.0



0.02

3.0

В какой пропорции нужно смешивать исходные продукты , чтобы смесь удовлетворяла требованиям на содержание примесей?


3. Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20 000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста. Недельный расход корма в среднем (за 8 недель) составляет 500г=0.5кг.

Для того, чтобы цыплята достигли к 8-й неделе необходимого веса, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов. В таблице приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов.




Ингредиент

Содержание питательных веществ (кг/ингредиент)

кальций

белок

клетчатка

Известняк

0.38

-

-

Зерно

0.001

0.09

0.02

Соевые бобы

0.002

0.50

0.08

Смесь должна содержать от своего общего веса:

не менее 0.8% кальция,

не менее 22% белка,

не более 5% клетчатки.

Требуется определить количество (в кг) каждого из трех ингредиентов при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и ее питательности.


4. Продукция бумажной фирмы выпускается в виде бумажных рулонов стандартной ширины – по 2 метра. По специальным заказам потребителей фирма поставляет рулоны и других размеров, для чего производится разрезание стандартных рулонов. Все возможные варианты раскроя стандартного рулона и заказы на рулоны нестандартных размеров приведены в таблице.

Ширина

Рулона (м)



Варианты раскроя рулона


Заказанное количество рулонов

1

2

3

4

5

6

0.5

0

2

2

4

1

0

150

0.7

1

1

0

0

2

0

200

0.9

1

0

1

0

0

2

300

Требуется найти такие сочетания различных вариантов разрезания стандартных рулонов, чтобы полностью удовлетворить поступившие заказы.


5. Завод по производству электронного оборудования выпускает персональные компьютеры и системы подготовки текстов. В настоящее время освоены четыре модели:

  1. “Юпитер” – объем памяти 512 Кбайт, одинарный дисковод;

  2. “Венера” – объем памяти 512 Кбайт, двойной дисковод;

  3. “Марс” – объем памяти 640 Кбайт, двойной дисковод;

  4. “Сатурн” – объем памяти 640 Кбайт, жесткий диск.

В производственный процесс вовлечены три цеха завода – цех узловой сборки, сборочный и испытательный. Распределение времени, требуемого для обработки каждой модели в каждом цехе, а также максимальные производственные мощности цехов приведены в таблице.

Цех

Время на единицу продукции, ч

Максимальная производственная мощность, ч

“Юпитер”

“Венера”

“Марс”

“Сатурн”

Узловой сборки

5

8

20

25

800

Сборочный

2

3

8

14

420

Испытательный

0.1

0.2

2

4

150

Определить возможные объемы производства изделий в ассортименте.


6. На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количествах, соответственно равных 24, 31 и 18 шт. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице.

Вид заготовки

Количество заготовок (шт. при раскрое по способу)

1

2

I

2

6

II

5

4

III

2

3

Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы было получено не меньше нужного количества заготовок.


7. Фирма, специализирующаяся на производстве полуфабрикатов, выпускает три различных продукта, каждый из которых получается путем определенной обработки картофеля. Фирма может закупить картофель у двух различных поставщиков. При этом объемы продуктов 1, 2, 3, которые можно получить из одной тонны картофеля первого поставщика, отличаются от объемов, получаемых из того же количества картофеля второго поставщика. Соответствующие показатели приведены в таблице.

Продукт

Поставщик 1

Поставщик 2

Ограничения на объем выпускаемой продукции

1

0.2

0.3

1.8

2

0.2

0.1

1.2

3

0.3

0.3

2.4

Какое количество картофеля можно купить у каждого из поставщиков?


8. Фирма, имеющая лесопильный завод и фабрику, на которой изготавливается фанера, столкнулась с проблемой наиболее рационального использования лесоматериалов. Чтобы получить 2.5 комплектов пиломатериалов, необходимо израсходовать 2.5 еловых и 7.5 пихтовых лесоматериалов. Для приготовления 100 фанеры требуется 5 еловых и 10 пихтовых материалов. Фирма имеет 80 еловых и 180 пихтовых лесоматериалов.

Согласно условиям поставок, в течение планируемого периода необходимо произвести по крайней мере 10 пиломатериалов и 1200 фанеры.

Определить возможные объемы производства пиломатериалов и фанеры.

  1   2   3   4

Похожие:

Решение по правилу Крамера 2 Обратная матрица и ее вычисление 2 Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы iconПрограмма по курсу «Математика»
Матрицы и действия над ними. Определители матриц и их свойства. Ранг матрицы. Обратная матрица. Системы линейных уравнений. Правило...
Решение по правилу Крамера 2 Обратная матрица и ее вычисление 2 Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы iconРешение невырожденных линейных систем уравнений. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Определители второго и третьего порядков. Определения, свойства и правила вычисления
Решение по правилу Крамера 2 Обратная матрица и ее вычисление 2 Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы iconРешение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса. Ранг матрицы. Теорема Кронекера Капели
Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения. Достаточные условия приводимости матрицы линейного оператора к диагональному...
Решение по правилу Крамера 2 Обратная матрица и ее вычисление 2 Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы iconЛинейная алгебра
Системы n-линейных алгебраических уравнений с n неизвестными и их решение по формулам Крамера
Решение по правилу Крамера 2 Обратная матрица и ее вычисление 2 Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы iconМетодические разработки Методика использования определенного интеграла при вычислении площади плоских фигур
Организация самостоятельной работы студентов при изучении темы «Решение систем линейных уравнений методом Крамера»
Решение по правилу Крамера 2 Обратная матрица и ее вычисление 2 Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы iconЛинейных уравнений
Линейные уравнения. Системы линейных уравнений. Разрешенная система линейных уравнений
Решение по правилу Крамера 2 Обратная матрица и ее вычисление 2 Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы iconПрограмма по алгебре и геометрии II семестр заочное отделение мат-мех Ургу
Общее решение совместной системы линейных уравнений, базисные и свободные неизвестные
Решение по правилу Крамера 2 Обратная матрица и ее вычисление 2 Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Системы линейных уравнений. Метод Гаусса Сведения из теории
Многие задачи естествознания своими моделями имеют системы линейных уравнений с несколькими неизвестными
Решение по правилу Крамера 2 Обратная матрица и ее вычисление 2 Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы iconПрограмма составлена доктором физ мат наук Поповой С. Н
Основные свойства линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности. Фундаментальная...
Решение по правилу Крамера 2 Обратная матрица и ее вычисление 2 Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру по направлению подготовки 01. 06. 01 Математика и механика
Арифметические n-мерные векторы. Матрица элементарного преобразования. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com