«Бином Ньютона»



Скачать 62,95 Kb.
Дата14.06.2015
Размер62,95 Kb.
ТипЛитература





id_016

Курьякова Татьяна Сергеевна

учитель математики МОУ «СОШ №36», г. Ангарск
Бином Ньютона – одна из тем, рассмотрение которых способствует глубинному пониманию учащимися на только комбинаторных понятий, но и формул сокращенного умножения. В данной статье представлен один из вариантов лекции для старшеклассников по теме «Бином Ньютона».
Тема: «Бином Ньютона»
План лекции 1. Понятие бинома Ньютона

2. Свойства бинома и биномиальных коэффициентов

3. Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»

4. Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)



Литература

1. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И.Сканави: Учеб. пособие. Санкт-Петербург, 1995. – с.84.

2. Супрун В.П. Избранные задачи повышенной сложности по математике. Мн.: Полымя, 1998. – 108с.

– 1 –


Понятие бинома Ньютона

Биномом Ньютона называют разложение вида:



Но, строго говоря, всю формулу нельзя назвать биномом, так как «бином» переводится как «двучлен». Кроме того, формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n<0 и n – дробного.



Цель изучения бинома Ньютона – упрощение вычислительных действий.

Компоненты формулы «бином Ньютона»:

  • правая часть формулы – разложение бинома;

  • – биномиальные коэффициенты, их можно получить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения).

Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.

Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени:



Альтернатива треугольнику Паскаля:



  1. перемножить почленно четыре скобки:

;

  1. вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени:



  • общий член разложения бинома n-й степени: ,

где Т – член разложения; – порядковый номер члена разложения.

2 –



Свойства бинома и биномиальных коэффициентов



  1. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно

  2. Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома, то есть n

Доказательство

Рассмотрим -й член разложения:

Сумма показателей степеней a и b:

Ч.т.д.


  1. Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой: (правило симметрии)

  2. Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна

Доказательство

Пусть , тогда:



    • левая часть равна ;

    • правая часть равна

Тогда:

Ч.т.д.


  1. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна



  1. Правило Паскаля:

Доказательство – самостоятельно


  1. Любой биномиальный коэффициент, начиная со второго, равен произведению предшествующего биномиального коэффициента и дроби

Доказательство – самостоятельно


3 –



Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»

К типовым (стандартным) заданиям по данной теме можно отнести задачи на вычисление, среди которых:



    1. Найти член (номер члена) разложения бинома

    2. Вывести бином по известным членам разложения (по известной сумме)

    3. Вычислить сумму биномиальных коэффициентов разложения бинома

и другие.

Продемонстрируем на примерах (их решение несложное, поэтому большинство предлагаем решить самостоятельно).


Пример 1

Разложить по формуле бином

Решение – самостоятельно

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знакочередование!




Пример 2

Найти шестой член разложения

Решение – самостоятельно

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знак!

Лучше начинать рассуждения со следующего:


Пример 3

Найдите два средних члена разложения

Решение – самостоятельно

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на то, что эти члены равноотстоят от конца, поэтому их биномиальные коэффициенты будут равны.

НЕ ЗАБУДЬТЕ в процессе решения проводить преобразования степеней с одинаковыми основаниями (то есть упрощать).


Пример 4

В биномиальном разложении найти член разложения, не содержащий х

Решение

Так как в разложении мы ищем член не содержащий х, то

Тогда

Ответ:

4 –

Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона

(нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)

К нестандартным заданиям по данной теме можно отнести такие, в которых нет явного намека на необходимость использования бинома. Однако в итоге, решение сводится к нему и выглядит очень интересным.


Пример 5

Доказать, что для любых и для любых верно неравенство Бернулли:



Доказательство

Пусть

Так как , то

Переформулируем требование: Доказать, что , где

Так как , значит в разложении как минимум три члена разложения, тогда:



Это означает, что

Ч.т.д.

Пример 6

Доказать, что

Доказательство – самостоятельно

(Подсказка: используйте неравенство Бернулли)




Пример 7

Доказать, что при любом натуральном n число делится на 9

Доказательство

1 способ:





Ч.т.д.


2 способ:

Начнем рассматривать бином в общем виде:



Тогда

Ч.т.д.

Пример 8

Решить уравнение

Решение

Осуществим замену:



Тогда уравнение перепишем:

Применим формулу бинома к левой части уравнения:



В итоге

Ответ:


Дополнительные задания для самостоятельного выполнения



  1. Найти номер члена разложения бинома , не содержащего х.

  2. Найти пятый член разложения бинома .

  3. Найти сумму биномиальных коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах в разложении бинома , если биномиальный коэффициент третьего члена на 9 больше биномиального коэффициента второго члена.

  4. Найти седьмой член разложения бинома , если биномиальный коэффициент третьего члена равен 36.

  5. Сколько членов разложения бинома являются целыми числами?

  6. Вычислить сумму .

  7. Найти алгебраическую сумму коэффициентов многочлена относительно х, получаемого в разложении бинома .

  8. Сумма нечетных биномиальных коэффициентов разложения равна 512. Найти слагаемое, не содержащее х.

  9. При каких значениях х четвертое слагаемое разложения больше двух соседних с ним слагаемых?

  10. При каком значении х четвертое слагаемое разложения в двадцать раз больше m, если биномиальный коэффициент четвертого слагаемого относится к биномиальному коэффициенту второго слагаемого как 5 : 1?

  11. В какую наибольшую степень следует возвести бином чтобы отношение четвертого слагаемого разложения к третьему было равно ?

Похожие:

«Бином Ньютона» icon«Обобщение по теме «Законы Ньютона, импульс, закон сохранения импульса»
Ньютона, всемирного тяготения, формулы для вычисления ускорения свободного падения на поверхности и на некоторой высоте над поверхностью,...
«Бином Ньютона» iconМетодическое пособие для учителей. М. Бином. Лаборатория знаний, 2008 Угринович Н. Д. Тематическое планирование преподавания курса «Информатика и икт»
Угринович Н. Д. Практикум по информатике и информационным технологиям: Учебное пособие М. Бином Лаб знаний, 2009
«Бином Ньютона» iconПрактикум для 10-11 классов. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009. Информатика: задачник-практикум в 2 т. / Под ред. И. Г. Семакина, Е. К. Хеннера. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009
Основными нормативными документами, определяющими содержание данной рабочей программы, являются
«Бином Ньютона» iconГеометрия и алгебра
Определенный интеграл Римана. Необходимые и достаточные условия существования. Формула Ньютона Лейбница
«Бином Ньютона» iconН. Д. Угринович «Программа курсов «Информатика и икт» в старшей школе на базовом уровне», М.: Бином. Лаборатория знаний, 2012

«Бином Ньютона» iconЭкзаменационные вопросы по высшей математике для студентов 1 курса КиГ, мгугиК, 2 семестр
...
«Бином Ньютона» iconРабочая программа по курсу «информационные технологии»
«Угринович Н. Д. Информатика. 7 класс. М.: Бином» в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом общего...
«Бином Ньютона» iconЗаконы сохранения в задачах по физике Для учащихся, окончивших 9 класс
Этот закон сохранения импульса является прямым следствием второго и третьего законов Ньютона
«Бином Ньютона» iconРабочая программа по курсу «информатика и икт»
«Угринович Н. Д. Информатика и икт. 9 класс. М.: Бином» в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом общего...
«Бином Ньютона» iconХаритонов Геннадий Владимирович, высшая категория 2009 2010 учебный год
«Программы для общеобразовательных учреждений: Информатика. 2-11 классы» -2-е издание, исправленное и дополненное. М.: Бином. Лаборатория...
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com