Практикум по теории функций комплексного переменного нижний Новгород 2005 г



страница1/5
Дата16.06.2015
Размер1,36 Mb.
ТипПрактикум
  1   2   3   4   5

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им Н.И. Лобачевского»


А. В. Гончар

  • ПРАКТИКУМ
    по
    ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
    КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Нижний Новгород



2005 г.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности «При-


кладная математика и информатика». Первая часть включает в себя тематику и содержание
практических занятий по дисциплине «Теория функций комплексного переменного». Количество предлагаемых заданий сравнительно невелико; однако все они тщательно подобраны в соответ-ствии с методическими воззрениями автора и подлежат обязательному выполнению в процессе аудиторных и домашних занятий. Некоторые из этих задач придуманы самим автором. Вторая часть пособия содержит вопросы для повторения всего курса и может служить проводником и помощником при подготовке к экзамену по дисциплине. Вопросы носят достаточно развёрну-тый характер и в большинстве своём содержат наводящие на правильный ответ подсказки.

Содержание.

Часть 1. Практикум.

Раздел 1. Комплексные числа и функции комплексного переменного. 4

Тема 1. Действия над комплексными числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Тема 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . .5

Тема 3. Последовательности комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Тема 4. Элементарные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Тема 5. Производная. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Тема 6. Ряды комплексных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Раздел 2. Конформные отображения, связанные с элементарными
функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

Тема 7. Целые линейные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Тема 8. Дробно-линейные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Тема 9. Рациональные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Тема 10. Функция Жуковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Тема 11. Трансцендентные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Тема 12. Комбинации отображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Раздел 3. Интегралы и ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Тема 13. Интегрирование функций комплексного переменного . . . . . . . . . . . .20

Тема 14. Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Тема 15. Степенные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Тема 16. Ряды Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

Тема 17. Ряды Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

Тема 18. Особые точки аналитических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

Тема 19. Вычеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Часть 2. Вопросы для повторения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

Рекомендуемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51



- 3 -

Часть 1. Практикум.

Раздел 1. Комплексные числа и функции
комплексного переменного.

Тема 1. Действия над комплексными числами.



Комплексные числа в алгебраической форме.

1. Найти действительные числа х и у так, чтобы выполнялось равенство
- 4i + 4 = 3i - + 2y.
2. Выполнить действия:
а) (2 + 5i)2(3 – i); б) ; в) .
3. Решить уравнения:
а) (2 + i) z 2 (5 – i) z + 2 – 2i = 0; б) z 4 + 6z3 + 9z 2 + 100 = 0.


Комплексные числа в тригонометрической форме.

4. Вычислить: .
Пользуясь формулой Муавра, решить следующие задачи:
5. 1. Выразить через cos и sin величины:
а) cos 5 ; б) sin 5 ; в) cos 6 ; г) sin 6 .
5. 2. Представить число (1 + sin + i cos ) 8 в алгебраической форме.
5. 3. Найти суммы:
а) cos + cos 2 + + cos п ; б) sin + sin 2 + … + sin п .
6. Найти все значения радикалов и построить их:
а) ; б) .
7. Решить уравнения: а) z 5 + 32 = 0 ; б) z 12 – 65z 6 + 64 = 0.

- 4 -
Тема 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.



Геометрический смысл комплекснозначных соотношений.

8. Выяснить, какие линии на плоскости записаны следующими уравнениями,


и изобразить эти линии:
а) z + 1 – 4i  = 7; б) z + 3 + 3z = 0; в) = 3; г) Re = 0;
д) Re = (a > 0); е) Im = 0; ж)z - 2 +  z + 2 = 5.
9. Выяснить, какие множества точек комплексной плоскости удовлетворяют
следующим неравенствам, и изобразить эти множества:
а) Re z > 1; б) Im z < - 2; в)z + 2 – 3i   5; г)z - 3 + 2i   1;
д) < arg (z + i) < ; е) Re (z (1 – i )) < 2; ж) Re < ;
з) z - i +  z + i < 4; и)z - 2 -  z + 2 < 2; к) 0 < arg < ;
л)z + 1 < 1 - z ; м)z  > 1 – Re z.

Стереографическая проекция.

10. Каковы на сфере Римана образы точек: а) 1; б) – 1; в) i ; г) ?
11. Изобразить на сфере Римана образы областей, определённых следующи-
ми неравенствами:
а) Im z < 0; б) Im z > 0; в) Re z > 0; г) Re z < 0; д) z  > 1; е) z  < 1.


Тема 3. Последовательности комплексных чисел.

Предельные точки множеств.

12.
Найти предельные точки множеств:
а) z = 1 + (- 1) п (п = 1, 2, …);
- 5 -
б) z = + (т, п – произвольные целые числа); в)z  < 1.
Является ли последовательность п. а) сходящейся?

Предел последовательности.

13. Найти предельные точки следующих последовательностей и доказать их
сходимость:
а) ,  а  < 1; б) ,  а  > 1,
указать номер N (), удовлетворяющий условию сходимости последова-
тельностей пп. а) и б);
в) ,  а  > 1.
Тема 4. Элементарные функции.

Исчисление трансцендентных функций комплексного переменного.

14.
Найти все значения и записать их в алгебраической форме:
а) е ; б) е (k = 0, ± 1, ± 2, …) ; в) cos (2 + i) ; г) sin 2i ;
д) tg (2 – i) ; e) ctg ; ж) cth (2 + i) ; з) th ;
и) Ln 4 ; к) Ln ; л) Ln (- 2 + 3i) ; м) ; н) 2 i; о) 1- i ;
п) ; р) (3 – 4i) 1 + i ; с) Arcsin ; т) Arcсos 2; у) Arcsin i ;
ф) Arctg (1 + 2i) ; х) Arch 2i ; ц) Arth (1 – i).

- 6 -


Вывод основных тригонометрических и гиперболических формул.

15.
Доказать справедливость формул:
1) sin 2z = 2 sin z cos z; 2.1) cos 2z = cos 2 z sin 2 z;
Указание. Воспользоваться теоремой сложения для косинуса и синуса.
2.2) cos 2z = 2 cos 2 z 1; 2.3) cos 2z = 1 – 2 sin 2 z;
Указание. Воспользоваться тождеством cos 2 z + sin 2 z = 1, являющимся следствием теоремы
сложения для косинуса.
3) cos 2 = ; 4) sin 2 = ;
Указание. В формулах 2.2, 2.3. заменить z через z / 2.
5)
tg (z1 ± z2) = , z 1 ± z 2 + πn, z i + πn, i =1, 2, n Z ;
6) ctg (z1 ± z2) = , z 1 ± z 2 ≠ πn, z i ≠ πn, i =1, 2, n Z ;
7) tg 2z = , z + πn, z + , n Z ;
8) ctg 2z = , z ≠ πn, z , n Z ;
Указание. Воспользоваться определениями функций tg z, ctg z и теоремой сложения для
косинуса и синуса.
9) sin z1 + sin z2 = 2 sin cos ;
10) sin z1 - sin z2 = 2 sin cos ;
11) cos z1 + cos z2 = 2 cos cos ;
12) cos z1 - cos z2 = -2 sin sin ;
Указание. Сделать замену z1 = α + β, z2 = α - β, а затем воспользоваться теоремой сложения
для косинуса и синуса.
13) sin z1 sin z2 = Ѕ [сos (z1 - z2) – cos (z1 + z2)];
14) cos z1 cos z2 = Ѕ [сos (z1 - z2) + cos (z1 + z2)];
15) sin z1 cos z2 = Ѕ [sin (z1 - z2) + sin (z1 + z2)];
Указание. Воспользоваться формулами 9 – 12.
16) sh (z1 + z2) = sh z1 ch z2 + sh z2 ch z1;
17) sh (z1 - z2) = sh z1 ch z2 - sh z2 ch z1;
18) ch (z1 + z2) = ch z1 ch z2 + sh z2 sh z1;
19) ch (z1 - z2) = ch z1 ch z2 - sh z2 sh z1;
Указание. Воспользоваться формулами ch z = cos (iz), sh z = - i sin (iz) и теоремой сложения
для тригонометрических косинуса и синуса.
16. а) Вычислить значение выражения 2 cos 4 2α, если cos (3π - 4α) = i;
б) Вычислить значение выражения - 2 cos i(1 + 4z), если sh (2z - i) = i.

Трансцендентные уравнения.

17.
Решить уравнения:
а) sin z = 4i / 3; б) ctg z = - 3i /5; в) ch z = 1/2; г) sin z + cos z = 2;
д) sin z - cos z = i; e) sh z ch z = 2i; ж) 2ch z + sh z = i;
з) cos z = ch z; и) sin z = i sh z; к) cos z = i sh 2z;
л) |tg z | = 1; м) |th z | = 1.

Применения экспоненты.

18. Найти суммы:


а) 1 + cos x + cos 2x + + cos nx; б) sin x + sin 2x + + sin nx;
в) cos x + cos 3x + + cos (2n 1)x;
г) sin x + sin 3x + + sin (2n 1)x;
д) sin x - sin 2x + + (- 1) n 1 sin nx;
e) cos α + cos (α + β) + … + cos (α + nβ);
ж) sin α + sin (α + β) + … + sin (α + nβ).
19. Найти интегралы:
а) ; б) .

Комплексные функции действительного переменного.

20. Определить геометрические места точек, заданные уравнениями:


а) z = 1 – it, 0 ≤ t ≤ 2; б) z = t + it 2, - ∞ < t < ∞;
в) z = t 2 + it 4, - ∞ < t < ∞; г) z = cos t + i sin t, t ;
д) z = t + , - ∞ < t < 0; e) z = t + i , - 1 ≤ t ≤ 1 (берётся арифме-
- 8 -
тическое значение корня); ж) z = t + i ie it, - ∞ < t < ∞.


Тема 5. Производная.

Предел функции.

21. Установить справедливость “замечательных” пределов для комплексных z:


а) = 1;
б) не существует , однако v. p. = e, где
v. p. - главное значение функции w = .
Указание. Комплекснозначные функции, стоящие под знаком предела, записать в алгебраичес-
кой форме, а затем вычислить пределы действительной и мнимой частей как функ-
ций двух действительных переменных.
в) = 1; г) = 1.
Указание. Прологарифмировать в смысле главного значения предел п. б). Перейти от преде-
ла п. в) к пределу п. г) с помощью подходящей замены.

Определение производной.

22. Используя определение производной, доказать формулы:


а) (sin z)΄ = cos z; б) (e z)΄ = e z.

Условия Коши Римана.

23.
Проверить выполнение условий Коши-Римана для функций z n (n Z),
cos z, Ln z и доказать формулы:
а) (z n)΄ = n z n 1; б) (cos z)΄ = - sin z; в) (Ln z)΄ = , z 0.
24. Найти области, в которых функция f (z) = |x 2y 2| + 2i| xy | аналитична.
25. Доказать, что функция f (z) = z Re z дифференцируема только в точке
z = 0; найти f ΄(0).
- 9 -

Правила дифференцирования.

26. Используя правила дифференцирования суммы, произведения, частного


функций, а также правило дифференцирования сложной функции, доказать
формулы:
  1   2   3   4   5

Похожие:

Практикум по теории функций комплексного переменного нижний Новгород 2005 г iconКомплексные числа: комплексные числа, комплексная плоскость; модули и аргумент комплексного числа, их свойства; числовые последовательности и их пределы, ряды; стереографическая проекция, ее свойства
Переменного и отображения множеств: функции комплексного переменного; предел функции; непрерывность, модуль непрерывности; дифференцируемость...
Практикум по теории функций комплексного переменного нижний Новгород 2005 г iconПрограмма вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю
В основу программы положены следующие разделы вузовских дисциплин: математический анализ, теория функций комплексного переменного,...
Практикум по теории функций комплексного переменного нижний Новгород 2005 г iconТеория функций комплексного переменного 2 поток, 2012/2013 и 2013/2014 учебные годы
Комплексная плоскость. Интерпретация Римана комплексных чисел и расши-ренная комплексная плоскость. Множества точек на расширенной...
Практикум по теории функций комплексного переменного нижний Новгород 2005 г iconГород Нижний Новгород, улица Должанская, дом 38

Практикум по теории функций комплексного переменного нижний Новгород 2005 г iconМетодические рекомендации к практическим и лабораторным занятиям Великий Новгород 2005 Печатается по решению рис новГУ
Методика преподавания географии: Методические рекомендации к практическим и лабораторным занятиям – Великий Новгород: Новгу им. Ярослава...
Практикум по теории функций комплексного переменного нижний Новгород 2005 г iconПрограмма вступительного испытания по литературе г. Нижний Новгород, 2014 программа вступительного испытания по литературе
Вступительное испытание по литературе – это проверка знаний по истории и теории литературы, полученных в средней школе. Программа...
Практикум по теории функций комплексного переменного нижний Новгород 2005 г iconРабочая программа для поступления в аспирантуру Нижний Новгород 2012 Печатается по решению кафедры социально-политических наук
Философия: рабочая программа для поступления в аспирантуру. 3-е изд., доп и перераб. – Н. Новгород: нки, 2012. – 27 с
Практикум по теории функций комплексного переменного нижний Новгород 2005 г iconМетодические рекомендации Нижний Новгород 2012
По результатам проведенного реферативного исследования, представленным в реферате, студент может подготовить и выступить с докладом...
Практикум по теории функций комплексного переменного нижний Новгород 2005 г iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру Направление подготовки 02. 06. 01 Компьютерные и информационные науки
Охватывает разделы из математического анализа, геометрии и высшей алгебры, теории функций комплексной переменной, элементы алгебры...
Практикум по теории функций комплексного переменного нижний Новгород 2005 г iconКонспект лекций Издание 2-е, дополненное Нижний Новгород 2002
Обращено внимание на характер требований к муниципальным служащим, на информационное, техническое и кадровое обеспечение муниципального...
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com