Программа работы лаборатории «Конструктивная геометрия»



Скачать 180,44 Kb.
Дата16.06.2015
Размер180,44 Kb.
ТипПрограмма

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГАОУ ВПО «Северо-Восточный университет имени М.К. Аммосова»

Институт математики и информатики

Программа работы лаборатории «Конструктивная геометрия»

Научный руководитель:

Бубякин И.В., к.ф.-м.н., доц. каф.

алгебры и геометрии ИМИ.

Якутск 2012

Содержание

I. Введение. Конструктивная геометрия как основа школьного курса геометрии

II. Обоснование работы лаборатории

III. Содержание программы работы лаборатории «Конструктивная геометрия »

IV. Литература

Введение

Понятие математического мышления в геометрии подразумевает в первую очередь конструкцию и построения. Поэтому возможен такой подход к методике обучения геометрии, что геометрические понятия и утверждения объясняются с помощью чертежей, рисунков и моделей. Если математику рассматривать как особую ветвь обычного языка, то уместно вспомнить «Толковый словарь живого великорусского языка» Владимира Ивановича Даля, в котором наряду с толкованием смысла слов, представлены иллюстрации. Рисунки в этом словаре не просто дополняют толкование того или иного понятия, они его расширяют. Наглядные изображения способствуют появлению новых слов, установлению взаимосвязи понятий, а также статей. Как это преломляется в математике? Очевидно, что математика может рассматриваться как язык естествознания только потому, что языком математики является геометрия. Геометрическая терминология буквально пронизывает всю математику и создает связь между самыми абстрактными ее понятиями и пространственной интуицией, воображением. Так, нахождение производной, т.е. предела отношения в математическом анализе на геометрическом языке означает определение положения касательной к кривой. Нахождение решения системы трех линейных неоднородных уравнений на геометрическом языке означает определение точки пересечения трех плоскостей. Именно геометрическое интуитивное представление помогает переносить понятия из одной области математики в другую, расширяя тем самым их значение. Более того, многим разделам математики именно геометрия придает смысл и значение.

Рассматриваемая методика представляется естественной, поскольку построения геометрических фигур и способы их изображения остаются иногда в тени при изучении геометрии и других разделов математики. Здесь нужна систематическая работа для того, чтобы можно было хорошо представлять математические понятия с помощью геометрии, подобно В.И. Далю, с помощью рисунков, чертежей и моделей. Такое представление математики показало бы учащимся, что математика – это живая и интересная наука.

Роль геометрии в школьном и вузовском образовании хорошо известна. Геометрия служит не только языком математики, но и источником развития математики. Решение многих геометрических проблем и задач стало основой новых научных понятий и направлений. Например:

a. Исследование Евдоксом пропорций и отношений длин отрезков положили основу теории, эквивалентную современной теории действительных чисел;

b. Задача о построении геометрии как цельной системы основателем философской школы – Академии Платоном привели к тому, что математику ввели в число предметов преподавания. При этом Платон говорил, что знание математики необходимо для каждого образованного человека;

c. Некоторые тексты Аристотеля, говорят о том, что греческие математики изучали геометрические системы, отличные от евклидовой геометрии. Они послужили основой эллиптической и гиперболической геометрий. При этом Аристотель строил геометрию в виде цепи предположений, которые вытекают одно из другого на основе одних лишь правил логики;

d. Труд Евклида «Начала» долгое время служил руководством по математике. «Начала» оказали большое влияние на дальнейшее развитие математики и на ее преподавание. Это труд явился базой геометрического школьного образования и в настоящее время на этой работе основывается классическая и прикладная механика.

e. Труд Аполлония «Конические сечения» положил основу для современной аналитической геометрии;

f. Глубокие исследования Д.Гильберта по основаниям геометрии и математики, привели к понятию пространства, обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай;

g. Идеи Г. Вейля, что векторные пространства должны лежать в основе евклидовой геометрии, привели к одному из обобщений векторного пространства – тензорному исчислению;

h. Задача нахождения касательной к кривой и вычисление площади криволинейной трапеции привели Г.Лейбница и И.Ньютона к созданию дифференциального и интегрального исчисления;

i. Геометрические методы изображения пространственных фигур стали фундаментом живописи и изобразительного искусства;

j. Одно из основных понятий современной алгебры – понятия группы возникло на основе геометрических понятий симметрии и движения. Группы симметрий играют важную роль не только в математике, но и в физике, химии, биологии, кристаллографии;

Многочисленные социологические исследования говорят о том, что учащиеся видят в учителе математики в первую очередь специалиста в области математики, а затем педагога, способного донести до них достижения современной математики. Поэтому будущий учитель математики должен постоянно следить за развитием современной математики и заниматься творческой исследовательской деятельностью в области фундаментальной или прикладной математики. Основываясь на этом, рассмотрим некоторые темы, заслуживающие, на наш взгляд, изучения в школьном курсе геометрии:



a. В качестве кривых в школьном курсе математики рассматриваются в основном только графики функций. При этом основное внимание уделяется их аналитическим свойствам. Геометрические же свойства остаются в стороне даже для таких хорошо известных кривых как парабола, гипербола и эллипс. Знакомство с эллипсом, гиперболой и параболой как конических сечений, изучение их свойств с помощью сфер Данделена, а также оптических свойств этих кривых позволит расширить геометрические представления, повысить интерес к исследованиям в геометрии, создаст содержательную основу для дальнейшего изучения математики, физики, механики и других наук.

b. В качестве поверхностей в элементарной геометрии рассматриваются сфера, прямой круговой конус и прямой круговой цилиндр, а также их метрические свойства. При этом строение этих поверхностей отодвигается на второй план. Хотя прямой круговой конус и прямой круговой цилиндр можно построить не только как поверхность вращения, но и как многообразие касательных прямых к сфере или как многообразие касательных прямых к двум сферам. Вопросы, связанные с различными способами построения поверхностей имеют существенное значение для геометрии.

Имеет смысл также изучать строение поверхностей параллельного переноса, частными видами которых являются эллиптический и параболический параболоиды. Построения этих поверхностей вполне доступны школьнику, поскольку в этом построении используется хорошо известная кривая парабола, а также преобразование параллельного переноса кривой в пространстве. Более того, эти поверхности широко применяются в оптике и строительстве.



c. Различным способам построения геометрической фигуры с помощью циркуля и линейки в школьном курсе геометрии уделяется минимальный объем часов. Этот раздел школьной геометрии относится к конструктивной геометрии , который в современной геометрии имеет большое значение для всех разделов математики. Основательное знакомство с задачами конструктивной геометрии и методами их решения важно для осмысления многих геометрических фактов и понятий.

Изучение указанных тем позволили бы учащемуся видеть основы школьной геометрии в конструктивной геометрии, для которой существенным элементом является построения, чертежи и рисунки, а также плоские и пространственные модели геометрических фигур. Авторам представляется, что обучение элементарной геометрии, где в основе лежит конструктивная геометрия с возможностью выполнять при ее изучении творческие работы, непременно способствовало бы повышению интереса к ее изучению. Эти темы и задачи могут быть положены в основу творческой исследовательской работы школьников в области математики, подготовку докладов для конференций, участию в различных конкурсах по математике.

Отметим, что все рассматриваемые темы имеют практическое применение. Геометрия конических сечений, геометрия поверхностей параллельного переноса, а также конструктивная геометрия имеют приложения в физике, механике, оптике, живописи и строительстве. Ознакомление с настоящими приложениями геометрии позволит выработать правильные представления о месте и роли геометрии в современной жизни, повысит интерес к исследованиям в области геометрии.

В заключении заметим, что интересные темы для творческой исследовательской деятельности в области геометрии можно найти в монографии « Геометрия» в двух томах и сборнике задач по геометрии известного французского математика М. Берже. Эти издания охватывают широкий круг задач классической геометрии в современном изложении.



Обоснование работы лаборатории. Работа лаборатории направлена на создание условий для углубленного изучения вопросов предусмотренной программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения задач конструктивной геометрии, развивающих научно- исследовательские навыки школьников. Основная методическая установка деятельности лаборатории – организация самостоятельной работы учащихся при ведущей и направляющей роли научного руководителя и учителя математики. Методической основой выполнения проекта научно-исследовательской работы школьников по конструктивной геометрии является методическое пособие И.В. Бубякина «Некоторые методы решения задач конструктивной геометрии». Содержание задач конструктивной геометрии расширено и при этом оно связывает конструктивную и алгебраическую геометрии. Предложенные задачи направлены на творческую научно-исследовательскую работу школьника.

Формы исследовательской работы ориентированы на возраст, соответствующий 8 и 9 классу средней образовательной школы, специфику профильного обучения и представляет собой практические занятия, самостоятельную работу с научно- популярной литературой.

На выполнение данного проекта отводится в 8 и 9 классах 117 академических часов: 35 часов на практические занятия; 35 часов на консультации; 35 часов на руководство самостоятельной исследовательской работой школьника по решению задач конструктивной геометрии с последующим публичным выступлением на конференции с результатами собственных творческих исследований; 12 часов на участие в работе научно-исследовательского семинара преподавателей и студентов математического отделения института математики и информатики СВФУ им. М.К. Аммосова.

Для работы в лаборатории используются технология проблемного обучения, технология поэтапного формирования навыков научно- исследовательской работы. Школьникам предлагаются творческие задания по конструктивной геометрии.

По выполнению исследовательских проектов, обучающиеся подготавливают презентации, которые используются ими во время выступления на конференциях, где заслушиваются доклады по собственным исследованиям и решению задач конструктивной геометрии

В течение осуществления проекта исследовательских работ планируется постоянное участие школьников в качестве слушателей в работе научно-исследовательского семинара преподавателей и студентов математического отделения института математики и информатики. Школьники рассматриваются как потенциальные студенты института математики и информатики

Ожидаемый результат: подготовка учащихся к участию в конкурсах, конференции «Шаг в будущее» ( школьный, городской, республиканский, всероссийский уровни), участие в олимпиадах по математике.

Основная цель лаборатории – развитие способностей учащихся к самостоятельной математической деятельности, способствование осознанному выбору математики как профиля, ориентирование в выборе профессиональной деятельности после получения профильного образования, подготовка обучающихся к участию в олимпиаде, конференциях, конкурсах.

Задачи:


  1. научить учащихся работать с научно-популярной литературой по математике, находить обоснованное решение математической задачи;

  2. правильно строить свое выступление, уметь ориентироваться в современном мире математики;

  3. решать задачи повышенного уровня;

  4. повышение уровня школьной математической подготовки.

Методы обучения: словесные – с целью сообщения новой информации, наглядные – для усвоения геометрических образцов и практические – для самостоятельного овладения навыками научно- исследовательской работы в области математики.

Содержание программы работы лаборатории

«Конструктивная геометрия »

Объяснительная записка программы

Конструктивная геометрия — раздел евклидовой геометрии, изучающий построение геометрических фигур. В задачах конструктивной геометрии циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности: линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины, циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор. В задачах конструктивной геометрии рассматриваются множество всех точек плоскости, множество всех прямых плоскости и множество всех окружностей плоскости, над которыми допускаются следующие операции

Выделение точки из множества всех точек:


  • произвольной точки;

  • произвольной точки на заданной прямой;

  • произвольной точки на заданной окружности;

  • точки пересечения двух заданных прямых;

  • точки пересечения (касания) заданной прямой и заданной окружности;

  • точки пересечения (касания) двух заданных окружностей.

С помощью линейки выделение прямой из множества всех прямых:

  • произвольной прямой;

  • произвольной прямой, проходящей через заданную точку;

  • прямой, проходящей через две заданных точки.

С помощью циркуля выделение окружности из множества всех окружностей:

  • произвольной окружности;

  • произвольной окружности с центром в заданной точке;

  • произвольной окружности с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками;

  • окружности с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками.

В условиях задачи задается некоторое множество точек. Требуется с помощью конечного количества операций из числа перечисленных выше допустимых операций построить другое множество точек, находящееся в заданном соотношении с исходным множеством.

Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:



a. Описание способа построения заданного множества.

b. Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.

c. Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности решения, получаемого описанным способом.

Неразрешимые задачи конструктивной геометрии:

Следующие три задачи на построение не разрешимы с помощью циркуля и линейки:

Задача о трисекции угла — разбить произвольный угол на три равные части;

Задача о удвоении куба — построить ребро куба вдвое большего по объёму, чем данный куб;

Задача о квадратуре круга — построить квадрат, равный по площади данному кругу.

Только в XIX веке было доказано, что все три задачи не разрешимы при использовании циркуля и линейки.

Построения с помощью одного циркуля. По теореме Мора — Маскерони с помощью одного циркуля можно построить любую фигуру, которую можно построить циркулем и линейкой. При этом прямая считается построенной, если на ней заданы две точки.

Построения с помощью одной линейки. Легко заметить, что с помощью одной линейки можно проводить только проективно-инвариантные построения. В частности, невозможно даже разбить отрезок на две равные части, либо найти центр начерченной окружности. Но при наличии на плоскости заранее проведённой окружности с отмеченным центром с помощью линейки можно провести те же построения, что и циркулем и линейкой. Это представляет собой смысл теоремы Понселе — Штейнера.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ





Тема занятия

Количество часов

1

Что такое конструктивная геометрия.


1

2

Основные построения конструктивной геометрии

2

3

Основные построения конструктивной геометрии. Продолжение


2

4

Задачи конструктивной геометрии на построение треугольников


2

5

Задачи конструктивной геометрии на построение треугольников. Продолжение.


2

6

Задачи конструктивной геометрии на построение треугольников. Продолжение.

2

7

Конференция с докладами учащихся, содержащих собственное исследование и решение задачи конструктивной геометрии Выполнение индивидуальных творческих заданий и создание собственных презентаций


2

8

Метод пересечений в решении задач конструктивной геометрии


2

9

Метод пересечений в решении задач конструктивной геометрии. Продолжение.


2

10

Метод пересечений в решении задач конструктивной геометрии. Продолжение.


2

11

Метод геометрических преобразований в решении задач конструктивной геометрии


2

12

Метод геометрических преобразований в решении задач конструктивной геометрии. Продолжение.


2

13

Метод геометрических преобразований в решении задач конструктивной геометрии. Продолжение.


2

14

Алгебраический метод в решении задач конструктивной геометрии


2

15

Алгебраический метод в решении задач конструктивной геометрии. Продолжение.

2

16

Алгебраический метод в решении задач конструктивной геометрии. Продолжение.


2

17

Конференция с докладами учащихся, содержащих собственное исследование и решение задачи конструктивной геометрии Выполнение индивидуальных творческих заданий и создание собственных презентаций


2

18

Примеры задач конструктивной геометрии, не разрешимых циркулем и линейкой


2

19

Задачи Конструктивной геометрии на построение одной линейкой


2

20

Конструктивной геометрии на построение одной линейкой. Продолжение.

2

21

Конструктивной геометрии на построение одним циркулем


2

22

Конструктивной геометрии на построение одним циркулем. Продолжение.


2

23

Задачи конструктивной геометрии на построение касательной к окружности


2

24

Задачи конструктивной геометрии на построение касательной к окружности


2

25

Конференция с докладами учащихся, содержащих собственное исследование и решение задачи конструктивной геометрии Выполнение индивидуальных творческих заданий и создание собственных презентаций.


2

26

Эллипс и его изображение на плоскости

2

27

Эллипс как геометрическая фигура конструктивной геометрии


2

28

Гипербола и ее изображение на плоскости


2

29

Равносторонние и сопряженные гиперболы


2

30

Парабола и ее изображение на плоскости


2

31

Парабола как геометрическая фигура конструктивной геометрии

2

32

Задача конструктивной геометрии на построение касательных к эллипсу: оптическое свойство эллипса

2

33

Задача конструктивной геометрии на построение касательных к гиперболе: оптическое свойство гиперболы

2

34

Задача конструктивной геометрии на построение касательных к параболе: оптическое свойство параболы



2

35

Конференция с докладами учащихся, содержащих собственное исследование и решение задачи конструктивной геометрии


2




Итого

70 часов (35 ч. теоретический/ 35 практический)

Литература

Основная


1. Бубякин И.В. Некоторые методы решения задач конструктивной

геометрии.- Якутск: Литограф,1996.- 34 с.

2. Берже, М. Геометрия / М. Берже; под ред. И.Х. Сабитова; пер. с франц. – М.: Мир, 1984. – Т.1 – 560с.

3. Берже, М. Геометрия / М. Берже; под ред. И.Х. Сабитова; пер. с франц. – М.: Мир, 1984. – Т.2 – 368 с.

4. Берже, М. Задачи по геометрии / М. Берже, Ж.-П. Берри, П. Пансю и [ др.]; под ред. Л.В. Сабинина; пер. с франц. – М.: Мир, 1984. –304c.

Дополнительная

1. Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение. - М.: Едиториал УРСС, 2004.-176 с.

2. Арнольд В.И. Вещественная алгебраическая геометрия. - М.: МЦНМО, 2009.- 88 с.

3. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1.- М.: КНОРУС, 2011.- 400с.

4. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.2.- М.: КНОРУС, 2011.- 424с.

5. Атанасян С.Л., Глизбург В.И. Сборник задач по геометрии Ч.1 М.: Эксмо, 2007.- 336 с.

6. Атанасян С.Л., Шевелева Н.В., Покровский В.Г. Сборник задач по геометрии.Ч.2.- М.: Эксмо, 2008. – 320 с.

7. Берже, М. Геометрия / М. Берже; под ред. И.Х. Сабитова; пер. с франц. – М.: Мир, 1984. – Т.1 – 560с.

8. Берже, М. Геометрия / М. Берже; под ред. И.Х. Сабитова; пер. с франц. – М.: Мир, 1984. – Т.2 – 368 с.

9. Берже, М. Задачи по геометрии / М. Берже, Ж.-П. Берри, П. Пансю и [ др.]; под ред. Л.В. Сабинина; пер. с франц. – М.: Мир, 1984. – 304 с.

10. Бубякин И.В. Некоторые методы решения задач конструктивной геометрии.- Якутск: Литограф,1996.- 34 с.

11. Жафяров А.Ж. Элективные курсы по геометрии для профильной школы.- Новосибирск: Сиб.унив. изд-во, 2005.- 509 с.

12 Жафяров А.Ж. Профильное обучение математике старшеклассников.- Новосибирск: Сиб.унив. изд-во, 2003.- 468 с.



13. Любецкий В.А. Основные понятия элементарной математики.- М.: Айрис-Пресс, 2004.- 24 с.

Похожие:

Программа работы лаборатории «Конструктивная геометрия» iconВопросы к экзамену по дисциплине «конструктивная геометрия»
Задание прямой; принадлежность точки прямой; положения прямой относительно плоскостей проекций
Программа работы лаборатории «Конструктивная геометрия» iconПрограмма " Литература как предмет эстетического цикла" Программа "Литературное чтение"
Правительственной премии 1999 года, стаж работы в системе ро -30 лет, бывшие сотрудники лаборатории В. В. Давыдова
Программа работы лаборатории «Конструктивная геометрия» icon2. Основная часть. Что такое геометрия? Геометрия
Геометрия – раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения. Геометрия всегда интересовала учёных...
Программа работы лаборатории «Конструктивная геометрия» iconС. Пушкин Цель работы кружка
Творческий отчёт работы кружка «Наглядная геометрия» во 2 классе учителя начальных классов Губиной М. Н
Программа работы лаборатории «Конструктивная геометрия» iconПрограмма «Использование Цифровой лаборатории Архимед по предмету

Программа работы лаборатории «Конструктивная геометрия» iconАвтобиография с н. с лаборатории нейрорецепторов и нейрорегуляторов

Программа работы лаборатории «Конструктивная геометрия» iconВведение в лабораторный практикум
Семинар по теме: I. Правила техники безопасности при работе в хим лаборатории
Программа работы лаборатории «Конструктивная геометрия» iconРабота в графическом редакторе Paint Геометрия в Paint
...
Программа работы лаборатории «Конструктивная геометрия» iconРабочая программа по предмету
...
Программа работы лаборатории «Конструктивная геометрия» iconРабочая программа по предмету
...
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com