Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю «Геометрия и топология»



Скачать 123,74 Kb.
Дата16.06.2015
Размер123,74 Kb.
ТипПрограмма

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАДРЫ ВЫСШЕЙ КВАЛИФИКАЦИИ

(АСПИРАНТУРА)
Утверждаю

Декан Механико-математического факультета НИ ТГУ

_________________ В.Н. Берцун

« 27 » марта 2014 г.



ПРОГРАММА

вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю «Геометрия и топология»

(направление подготовки: 01.06.01 – Математика и механика)

Томск 2014

Введение


В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: геометрия (в том числе дискретная),

общая, алгебраическая и дифференциальная топология по разделам: геометрия многообразий и различных

геометрических структур; дискретная и комбинаторная геометрия; дифференциальная геометрия и ее

приложения; интегральная геометрия; симплектическая, контактная и пуассонова геометрия

конечномерных и бесконечномерных пространств; общая топология; алгебраическая топология;

топология гладких многообразий; маломерная топология, включая теорию узлов и зацеплений; топология

особенностей; теория пространств отображений и пространств модулей различных геометрических

структур; топология и геометрия групп и однородных пространств.

Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства

образования Российской Федерации по математике и механике при участии Математического института

им. В.А. Стеклова РАН и Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
1. Общая топология

1. Метрическое пространство. Полнота. Теорема Бэра о категории.

2. Топологическое пространство. Непрерывность. Гомеоморфизм. Аксиомы отделимости. Связность

и линейная связность. Фактор-топология. Топологии в функциональных пространствах (отрыто-

замкнутая топология в пространстве непрерывных отображений и C^k-топология в пространстве

гладких отображений).

3. Лемма Урысона. Теорема о продолжении непрерывных функций.

4. Компактность и способы компактификации пространств. Теорема Тихонова о компактности

произведения. Расширения Чеха—Стоуна. Разбиение единицы и его приложения. Теорема

Вейерштрасса об аппроксимации полиномами непрерывной функции на компакте в евклидовом

пространстве.

5. Лебегово определение размерности. Нерв покрытия и аппроксимация компакта полиэдрами.

6. Индуктивное определение топологической размерности. Теорема Урысона об эквивалентности.

7. Хаусдорфова размерность. Ее связь с топологической. Фракталы: канторово множество, ковер

Серпинского, их хаусдорфова размерность.
2. Алгебраическая топология

1. Гомотопическая эквивалентность. Гомотопические классы отображений. Фундаментальная

группа топологического пространства. Группа кос как фундаментальная группа

2

конфигурационного пространства системы точек на плоскости. Гомотопические группы



пространств и их гомотопическая инвариантность. Точная гомотопическая последовательность

пары. Вычисление k-мерных гомотопических групп n-мерной сферы для k меньших или равных n.

2. Пространства Эйленберга—Маклейна. H-пространства и группа гомотопических классов

отображений в H-пространство. Коммутативность фундаментальной группы H-пространствa.

3. Группы сингулярных гомологий и когомологий. Симплициальные и клеточные пространства.

Симплициальные и клеточные гомологии и когомологии, иx связь с сингулярными. Эйлерова

характеристика. Гомотопическая инвариантность групп гомологий. Умножение в когомологиях.

Точные гомологическая и когомологическая последовательности пары. Гомологии и когомологии

с коэффициентами. Оператор Бокштейна. Связь фундаментальной группы и группы одномерных

гомологий. Двойственность Пуанкаре для многообразий.

4. Теории гомологий и когомологий. Аксиомы теории гомологий и когомологий. Теорема

единственности для гомологий и когомологий. Группы когомологий как группы классов

отображений в пространства Эйленберга—Маклейна.

5. Кольцо когомологий H-пространства как алгебра Хопфа. Классификация градуированных алгебр

Хопфа над полем рациональных чисел.

6. Гомологии и кольца когомологий проективных пространств. Клетки Шуберта и гомологии

многообразий Грассмана.

7. Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Универсальное накрытие. Накрытие и

фундаментальная группа. Аксиома о накрывающей гомотопии и расслоение в смысле Серра.

Пространство путей и петель, лемма о накрывающей гомотопии для расслоения путей.

8. Локально тривиальные расслоения. Сечения. Точная гомотопическая последовательность

расслоения. Основные понятия теории препятствий (препятствующий коцикл и первое препятствие к

сечению расслоения).

9. Действие монодромии в гомологиях расслоения. Формула Пикара-Лефшеца.

10. Векторные расслоения. Прямая сумма и тензорное произведение векторных расслоений.

Многообразие Грассмана как база универсального векторного расслоения. Пространства Тома и

изоморфизм Тома в гомологиях и когомологиях.

11. Характеристические классы векторных расслоений.

12. Понятие о группе K(X) и периодичности Ботта. Группа K(X) как когомологический функтор.
3. Топология гладких многообразий

1. Гладкие многообразия. Криволинейные координаты. Гладкие отображения и дифференциал.

Диффеоморфизм. Подмногообразия. Ориентация. Касательные векторы и касательные

расслоения. Примеры гладких многообразий. Теория Морса: функции Морса, индуцированное

клеточное разбиение, неравенства Морса. Перестройки в многообразиях. Конструкция

Понтрягина—Тома. Понятие бордизма многообразий.

2. Вложения и погружения. Теорема Уитни о вложении и погружении в евклидовы пространства.

Субмерсии и гладкие расслоения. Особые и регулярные точки гладких отображений. Лемма

Сарда (формулировка). Степень отображения, ее гомотопическая инвариантность. Применения

степени отображения. Степень отображения и интеграл. Теорема Гаусса—Бонне.

Гомотопическая классификация отображений n-мерной сферы в себя. Расслоение Хопфа и

классификация отображений трехмерной сферы в двумерную. Инвариант Хопфа.

3. Индекс особой точки векторного поля и теорема Эйлера—Пуанкаре.

4. Двойственность Александера. Индексы пересечения и зацепления.

5. Исчисление струй. Топологии Уитни в пространствах гладких отображений. Теоремы

трансверсальности. Теорема трансверсальности Тома и ее следствия: лемма Морса, слабая

теорема Уитни. Локальная классификация устойчивых отображений плоскости в плоскость и в

трехмерное пространство. Число Милнора изолированной особенности функции.


4. Топология малых размерностей

1. Классификация двумерных замкнутых поверхностей. Группы гомологий и фундаментальные

группы двумерных поверхностей. Узлы и зацепления. Движения Райдемайстера. Полином

Александера узла. Примеры трехмерных многообразий. Склейка полноторий по

диффеоморфизму границы. Диаграмма Хегора трехмерных многообразий.
5. Дифференциальная геометрия

2. Теория кривых и поверхностей в трехмерном пространстве: натуральный параметр, кривизна и

кручение кривой, формулы Френе, первая и вторая квадратичные формы поверхности, гауссова и

средняя кривизны, главные направления и главные кривизны, теорема Менье и формула Эйлера.

Деривационные формулы.

3. Риманова метрика и римановы многообразия. Подмногообразия в евклидовом пространстве и

индуцированная метрика. Геометрия Лобачевского. Проективная геометрия.

4. Тензоры и тензорные поля на гладких многообразиях. Алгебраические операции над тензорами.

Симметрические и кососимметрические тензоры. Производная Ли.

5. Внешние дифференциальные формы, внешнее дифференцирование. Интегрирование внешних

дифференциальных форм. Формула Стокса. Точные и замкнутые формы. Когомологии де Рама.

Теорема де Рама (без доказательства). Оператор Лапласа и гармонические формы.

Двойственность Пуанкаре.

6. Ковариантное дифференцирование. Символы Кристоффеля. Тензор кручения. Римановы

симметрические связности. Тензор кривизны Римана и критерий локальной евклидовости

римановой метрики, тензор Риччи и скалярная кривизна. Теорема Гаусса о связи между

скалярной и гауссовой кривизнами.

7. Параллельный перенос и геодезические. Формула Эйлера—Лагранжа. Примеры: геодезические

на плоскости, сфере, плоскости Лобачевского, поверхности вращения. Сопряженные точки и

индекс геодезической.

8. Связности и кривизна в расслоениях. Тождество Бьянки.

9. Характеристические классы и характеристические числа. Конструкция Чженя—Вейля

характеристических классов. Характеристические числа.

10. Теорема Стокса и инвариантность характеристических чисел относительно бордизма.

11. Проективная двойственность и преобразования Лежандра.
6. Геометрические структуры на гладких многообразиях

1. Структуры на гладких многообразиях: риманова, почти комплексная, эрмитова, комплексная,

кэлерова. Понятие о препятствиях к существованию структур.

2. Симплектическая структура. Примеры симплектических многообразий. Теорема Дарбу.

Существование почти комплексной структуры на симплектическом многообразии. Скобка

Пуассона. Примеры пуассоновых многообразий. Гамильтоновы векторные поля и гамильтоновы

системы. Первые интегралы гамильтоновых систем.

3. Контактные структуры и контактные многообразия. Примеры. Слоения и распределения. Теорема

Фробениуса.
7. Геометрия групп Ли и однородных пространств

1. Группы Ли и алгебры Ли, присоединенное представление. Алгебра Ли векторных полей. Действия

групп Ли на гладких многообразиях. Односвязные и неодносвязные группы Ли. Однородные

пространства. Примеры: классические матричные группы Ли, многообразия Грассмана и

Штифеля, лагранжевы грассманианы U(n)/O(n) и U(n)/SO(n). Компактные группы Ли и

биинвариантная метрика.

2. Кольцо когомологий компактной группы Ли. Группы токов и группы диффеоморфизмов как

примеры бесконечномерных групп Ли.


8. Дискретная и комбинаторная геометрия

1. Выпуклые множества и разбиения пространства. Разбиения Вороного и Делоне. Кристаллы как

правильные точечные системы. Кристаллографическая группа в евклидовом пространстве.

Классификация кристаллографических групп на плоскости.

2. Правильные многогранники. Теорема Коши о единственности выпуклого многогранника с данным

набором граней.


Основная литература

Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Ч. 1. Геометрия поверхностей, групп

преобразований и полей, Ч. 2. Геометрия и топология многообразий и Ч. 3. Методы теории гомологий. М.:

Наука, 1986, 1984 (Ч. 1 и 2 переизданы. М.: Эдиториал УРСС, 1998).

Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные геометрические структуры и поля. М.: Изд-во МЦНМО, 2003.

Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука, 1989.

Новиков С.П. Топология. М.—Ижевск: Ин-т компьютерныx исследований, 2002.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.

Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 1, 2. М.:

Наука, 1982, 1984.

Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973.

Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. М.: Мир, 1979.

Прасолов В.В., Сосинский А.Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. М.: Изд-во МЦНМО, 1997.

Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981.

Коксетер Г.С.М. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966.
Дополнительная литература

Келли Дж. Общая топология. М.: Наука, 1981.

Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965.

Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по алгебраическим группам и группам Ли. М.: Наука, 1988.

Чжень Ш.-Ш. Комплексные многообразия. М.: Иностранная литература, 1961.

Роджерс К. Укладки и покрытия. М.: Мир, 1968.

Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований. М.: Наука, 1980.

Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М.: Мир, 1972.

Милнор Дж. Теорема об h-кобордизме. М.: Мир, 1969.

Хирш М. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1979.

Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Факториал Пресс, 2000.

Тайманов И.А. Лекции по дифференциальной геометрии. М.—Ижевск: Ин-т компьютерныx исследований,

2002.

Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1, 2. М.: Наука, 1981.



Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд-во МГУ, 1988.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симметрий. М.—Ижевск: Регулярная и

хаотическая динамика, 2001.

Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: Наука, 1977.

Пресли А., Сигал Г. Группы петель. М.: Мир, 1990.

Атья М. Лекции по K-теории. Мир, 1967.

Александров А.Д. Выпуклые многогранники. М.—Л.: Гостезиздат, 1950.

Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. М.—Л.: Гостезиздат, 1956.

Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.

Программа сформирована на основе федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования по программам специалитета и магистратуры.



Программа рассмотрена и утверждена методической комиссией ММФ 30.01.14г., протокол № 1.

Программа утверждена на заседании Ученого совета механико-математического факультета ТГУ 27.02.14г., протокол № 6.

Похожие:

Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю «Геометрия и топология» iconПрограмма вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю «Геоморфология и эволюционная география»
Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю
Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю «Геометрия и топология» iconПрограмма вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю

Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю «Геометрия и топология» iconПрограмма вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю
В основу программы положены следующие разделы вузовских дисциплин: математический анализ, теория функций комплексного переменного,...
Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю «Геометрия и топология» iconПрограмма вступительного экзамена по специальной дисциплине, соответствующей профилю направления подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре 47. 06. 01 «Философия, этика и религиоведение»
Программа вступительного экзамена по специальной дисциплине, соответствующей профилю направления подготовки научно-педагогических...
Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю «Геометрия и топология» iconПрограмма вступительного экзамена по специальной дисциплине профиля (направленности) геометрия и топология
Уравнения структуры евклидова, аффинного, эквиаффинного и проективного пространств
Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю «Геометрия и топология» iconПрограмма вступительных экзаменов по специальным дисциплинам, соответствующих профилю
Востока, русской философской традиции; знакомство с классическими философскими текстами
Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю «Геометрия и топология» iconПрограмма вступительных испытаний поступающих на обучение по программам подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре по специальной дисциплине

Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю «Геометрия и топология» iconПрограмма вступительных экзаменов в аспирантуру по профилю «Этнология, этнография и антропология»
Предмет этнологии. Соотношение понятий этнология, история, этнография, культурная и социальная антропология. Эволюция представлений...
Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю «Геометрия и топология» iconПрограмма вступительных экзаменов в аспирантуру для поступающих на обучение по направлению подготовки: 44. 06. 01- образование и педагогические науки
Программа вступительных экзаменов предназначена для выпускников магистратуры высших учебных заведений, планирующих продолжать обучение...
Программа вступительных экзаменов по специальной дисциплине, соответствующей профилю «Геометрия и топология» iconПрограмма вступительных экзаменов по биологии для абитуриентов, поступающих
Программа вступительных экзаменов по биологии для абитуриентов, поступающих на базе основного общего образования (9 классов)
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com