2. Основная часть. Что такое геометрия? Геометрия

В этом году, мы начали изучать геометрию. Меня заинтересовала эта наука, и я решила познакомиться с геометрией подробнее. Узнать, где зародилась эта наука, кто её изобрёл, в каких странах впервые начали использовать, где геометрия применяется и, как она помогает человеку в жизни. Геометрия – раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения. Геометрия всегда интересовала учёных разных стран и народов.

Работая над данной темой, я преследовала цель – изучить науку геометрию, познакомиться с её создателями и применением в жизни.

Для достижения этой цели я решила следующие задачи:

1 Самостоятельно исследовала геометрию.

2 Изучила дополнительную литературу.

3 Объединила и обобщила сведенья из разных источников.

4 Сделала выводы

Геометрия в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. Это определение вполне согласуется с определением геометрии как науки о пространственных формах и отношениях. Действительно, фигура, как она рассматривается в геометрии, и есть пространственная форма. Поэтому в геометрии говорят, например, "шар", а не "тело шарообразной формы". Расположение и размеры определяются пространственными отношениями. Наконец, преобразование, как его понимают в геометрии, также есть некоторое отношение между двумя фигурами — данной и той, в которую она преобразуется.

В современном, более общем смысле, геометрия объемлет разнообразные математические теории, принадлежность которых к геометрии определяется не только сходством ( хотя порой и весьма отдаленным ), их предмета, с обычными пространственными формами и отношениями, но также тем, что они исторически сложились и складываются на основе геометрии в первоначальном её значении и в своих построениях исходят из анализа, обобщения и видоизменения её понятий. Геометрия в этом общем смысле тесно переплетается с другими разделами математики и её границы не являются точными.

Геометрия занимается взаимным расположением тел , которое выражается в прикосновении или прилегании друг к другу, расположением «между», «внутри» и т. п.; величиной тел, то есть понятиями о равенстве тел, «больше» или «меньше»; а также преобразованиями тел. Геометрическое тело представляет собой абстракцию ещё со времён Евклида, который полагал, что «линия есть длина без ширины», «поверхность есть то, что имеет длину и ширину». Точка представляет собой абстракцию, связанную с неограниченным уменьшением всех размеров тела, или пределом бесконечного деления. Расположение, размеры и преобразования геометрических фигур определяются пространственными отношениями^[2].

Исследуя реальные предметы, геометрия рассматривает только их форму и взаимное расположение, отвлекаясь от других свойств, предметов, таких как плотность, вес, цвет. Это позволяет перейти от пространственных отношений между реальными объектами к любым отношениям и формам, возникающим при рассмотрении однородных объектов, и сходным с пространственными. В частности, геометрия позволяет рассматривать расстояния между функциями.

Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале XXI столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг — всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника – все имеет геометрическую форму. Геометрические знания являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей: для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых. И уже этого достаточно, чтобы ответить на вопрос: «Нужна ли нам Геометрия?» 

Во-первых, геометрия является первичным видом интеллектуальной деятельности, как для всего человечества, так и для отдельного человека. Мировая наука начиналась с геометрии. Ребенок, еще не научившийся говорить, познает геометрические свойства окружающего мира. Многие достижения древних геометров (Архимед, Аполлоний) вызывают изумление у современных ученых, и это несмотря на то, что у них полностью отсутствовал алгебраический аппарат.

Во-вторых, геометрия является одной составляющей общечеловеческой культуры. Некоторые теоремы геометрии являются одними из древнейших памятников мировой культуры. Человек не может по-настоящему развиться культурно и духовно, если он не изучал в школе геометрию; геометрия возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека.

Основой курса геометрии является принцип доказательности всех утверждений. И это единственный школьный предмет, включая даже предметы математического цикла, полностью основанный на последовательном выводе всех утверждений. Людьми, понимающими, что такое доказательство, трудно и даже невозможно манипулировать.

Итак, Геометрия — один из важнейших предметов, причем не только среди предметов математического цикла, но и вообще среди всех школьных предметов. Ее целевой потенциал охватывает необычайно широкий арсенал, включает в себя чуть ли не все мыслимые цели образования.
Развитие геометрии.

Родиной геометрии считают обыкновенно Вавилон и Египет. Греческие писатели единодушно сходятся па том, что геометрия возникла в Египте и оттуда была перенесена в Элладу. 

Первые шаги культуры всюду, где она возникала, в Китае, в Индии, в Ассирии, в Египте, были связаны с необходимостью измерять расстояния и участки на земле, объемы и веса материалов, продуктов, товаров; первые значительные сооружения требовали нивелирования, выдержанной вертикали, знакомства с планом и перспективой. Необходимость измерять промежутки времени требовала систематического наблюдения над движением светил, а следовательно, измерения углов. Все это было неосуществимо без знакомства с элементами геометрии, и во всех названных странах основные геометрические представления возникали частью независимо друг от друга, частью — в порядке преемственной передачи.

Евклидова геометрия.

Евклидова геометрия — привычная геометрия, изучаемая в школе. Обычно относится к двум или трём измерениям, хотя можно говорить о многомерном евклидовом пространстве. Евклидова геометрия названа в честь древнегреческого математика Евклида, который написал «Начала», систематически описывающие геометрию евклидовой плоскости.

С точки зрения дифференциальной геометрии, евклидова геометрия представляет собой внутреннюю геометрию поверхности нулевой кривизны. Согласно теоретико-групповым принципам (см. Теоретико-групповые принципы геометрии), евклидова геометрия — это геометрия группы движений евклидова пространства.

Египет. Если не учитывать весьма скромный вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте до 1700 до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянами стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное искусство.

Основным источником наших знаний о древнеегипетской геометрии является относящийся примерно к 1700 до н.э. папирус Ринда, названный по имени владельца, египтолога Ринда (этот папирус также называется папирусом Ахмеса) и хранящийся ныне в Лондоне в Британском музее. Папирус Ринда свидетельствует о том, что древних египтян интересовали главным образом практические аспекты геометрии и что при накоплении геометрических фактов египтяне почти всецело руководствовались интуицией, экспериментом и приближенными представлениями.

Греция. Около 600 до н.э. ионийские греки, совершившие путешествие в Египет, привезли на родину первые сведения о геометрии. Самым известным путешественником в Египет был Фалес (ок. 640 – ок. 546 до н.э.). Он был преуспевающим купцом, посвятившим последние годы жизни науке и политике. Фалес первым начал доказывать истинность геометрических соотношений, последовательно выводя их логически из некоторого набора общепринятых утверждений, называемых аксиомами или постулатами. Этот метод дедуктивного рассуждения, которому предстояло стать доминирующим в геометрии и фактически – во всей математике, сохраняет свое фундаментальное значение и в наши дни.

Одним из наиболее знаменитых учеников Фалеса был Пифагор (ок. 570 – ок. 500 до н.э.). Он много путешествовал, а потом поселился в Кротоне, в Италии, где основал общество, занимавшееся изучением арифметики, музыки, геометрии и астрономии. Пифагор и его последователи доказали много новых теорем о треугольниках, окружностях, пропорциях и некоторых трехмерных телах. Пифагор доказал также знаменитую теорему, носящую ныне его имя, согласно которой площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Пифагор умер в изгнании, но его влияние на греческих математиков ощущалось на протяжении многих веков. После его кончины в Элее (город в Италии) новыми центрами развивающейся геометрии становились по очереди Афины и Александрия. Архит Тарентский (ок. 428 – ок. 365 до н.э.) и Гиппий Элидский (р. ок. 425 до н.э.) затратили много усилий на решение трех задач, игравших важную роль в древнегреческой математике: это задачи о трисекции угла, о построении квадрата, площадь которого равна площади данного круга (задача о квадратуре круга), и о построении куба, имеющего вдвое больший объем, чем данный куб (задача об удвоении куба). Хотя ныне известно, что с помощью циркуля и линейки (единственных орудий геометрических построений, известных древнегреческим математикам) эти задачи решить нельзя, тем не менее попытки это сделать не были напрасны. Они стимулировали изучение конических сечений и способствовали совершенствованию математических методов.

Александрия. Афинская школа числила в своих рядах таких великих людей, как Платон и Аристотель. После смерти Аристотеля центр научной мысли переместился в Александрию (Египет) , где в начале 3 в. до н.э. был основан знаменитый Александрийский Мусейон – один из главных научных центров античного мира. Живший в Александрии математик Евклид (3 в. до н.э.) , биографические сведения о котором крайне скудны, собрал в 13 книгах своего сочинения значительную часть математических знаний того времени. Семь книг из 13 были посвящены геометрии, предмет которой был им тщательно и систематически изложен, различные утверждения и теоремы расположены в определенном порядке и перенумерованы. Была включена также теория пространственных тел, ограниченных плоскими поверхностями. Называлось это великое сочинениеНачала, и последующие издания, точно придерживающиеся оригинала, стали основой обучения геометрии вплоть до нашего времени. Величайшим математиком античности был грек Архимед (ок. 287–212 до н.э.). Кроме множества других полученных им научных результатов и открытий, Архимед расширил ту часть Начал Евклида, в которой рассматривались пространственные тела, включив в их число сферу, цилиндр и конус. Другими великими александрийскими геометрами были Аполлоний Пергский ( 3 в. до н.э.; конические сечения), Птолемей (2 в. н.э.; астрономия) и Папп (3 в. н.э.; плоские кривые высших порядков). В 641 н.э. арабы разграбили Александрию и разрушили Мусейон и его библиотеку. Впрочем, греческая математика вступила в период застоя еще в начале 4 в. н.э, после кончины Паппа. См. также ДРЕВНЯЯ ГРЕЦИЯ.

Средневековье. После падения Александрии большинство работ древнегреческих математиков были рассеяны или утрачены. Некоторые из них, в том числе Начала Евклида, были переведены и изучались арабами и индийцами. И хотя эти народы породили нескольких великих математиков, среди которых наиболее известны индийские математики Ариабхата (ок. 476 – ок. 550) и Бхаскара II (ок. 1114–1185), все же их самой большой заслугой следует считать сохранение геометрии в период Средневековья.

После падения Римской империи в 5 в. наука в Европе долгое время находилась почти в полном забвении. В 12 и 13 вв . Начала были переведены с греческого и арабского на латынь и современные европейские языки, а геометрия вошла в программу монастырских школ. Первый из этих переводов был выполнен Аделардом Батским в 1120.

Новое время. За последние 300 лет доказательная геометрия была существенно расширена, а по своим методам и степени общности результатов она стала заметно отличаться от элементарной геометрии (т.е. геометрии, изложенной в Началах). Французский математик Ж.Дезарг (1593–1662) в связи с развитием учения о перспективе занялся исследованием свойств геометрических фигур в зависимости от их проекций. Тем самым он заложил основу проективной геометрии, которая изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при различных проекциях. В 19 в. это направление получило существенное развитие. Проективная геометрия, конические сечения и новая геометрия треугольников и окружностей составили содержание современной т.н. чистой геометрии.

Тесно связанная с проективной, начертательная геометрия была введена французским математиком Г.Монжем (1746–1818). Эта новая область геометрии была связана с представлением изображений геометрических фигур на плоскости и определением геометрическими средствами расстояний, углов и линий пересечения. Начертательная геометрия представляет собой основу технического черчения.

В 1637 Р.Декарт (1596–1650), французский философ и математик, опубликовал свою Геометрию – первый труд по аналитической геометрии, позволивший применить в геометрии мощные алгебраические методы. Геометрические задачи всех видов теперь могли решаться в рамках единого подхода; кроме того, благодаря новым методам стала возможной постановка и решение новых задач, о которых древние не могли даже помыслить, но которые ныне находятся в самом центре математики и математической физики.

Сумма сразу трех наук 

Геометрия применяется во многих серьёзных науках. Алгебра, физика, география, черчение и даже русский язык.

В ходе исследовательской работы я:

1 Познакомилась с создателями геометрии.

2 Систематизировала полученную информацию.

3 Узнала, что такое «Евклидова геометрия».

4 Нашла, где геометрия применяется в жизни.