Прямоугольный треугольник Обозначения

Обозначения:

а, b – катеты, с – гипотенуза,

а_с, b_с – проекции катетов на гипотенузу,

α, β – углы, противолежащие катетам а, в соответственно,

h_c – высота, опущенная на гипотенузу,

m_a, m_b, m_c – медианы, проведённые к соответствующим сторонам,

R – радиус описанной окружности,

r – радиус вписанной окружности,

S – площадь,

p = (а+b+с) – полупериметр.

с² = а²+b² – теорема Пифагора

a² = c²-b²

b² = c²-b²

R = m_c =– центр описанной окружности есть середина гипотенузы

Гипотенуза – диаметр описанной окружности,

т.е. прямой угол опирается на диаметр АВ описанной окружности

а= - катет, лежащий против угла в 30^о, равен половине гипотенузы

Если один из углов 45^о, то треугольник равнобедренный

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Пример:
ВК – биссектриса
Основные задачи.

№ 1 Найти: r, c, b, R, S и CK_, т.е. расстояние от точки С до прямой АВ

№2 АВ = 2 Найти: b, a, R, S и CK, r

№ 3 Найти: AB, BC, R, S, CK, r

Задачи по сложности примерно соответствуют обязательной подготовке выпускников средней школы.

№ 2 Найти площадь треугольника, если его катеты относятся как 3:4, а гипотенуза равна 25.

№ 3 Гипотенуза равна 13, один из катетов 5. Найти площадь.

№ 4 Найти площадь равнобедренного треугольника по гипотенузе равной 4√2

№ 5 Один из катетов 12 см, а гипотенуза больше другого катета на 8 см. Найти гипотенузу.

№ 6 Найти S треугольника, у которого гипотенуза 313, а один из катетов 312.

(а²-b² !)

№ 7 Катеты 6 и 8. Найти длину медианы, проведённой к гипотенузе.

№ 8 В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна одному из катетов. Найти меньший угол треугольника.

№ 9 Углы острые относятся как 1:2. Больший катет . Найти R.

№ 10 Катеты 3 и 4. Найти R.

№ 11 Один из катетов 3, . Найти другой катет.

№ 12 Вокруг треугольника описана окружность. Катеты треугольника 8 и 6. Найти R.

№ 13 Диаметр окружности, описанной около треугольника, равен 10, а один из катетов 6.

Найти другой катет.

№ 14 Катет и гипотенуза равны 10 и 26. Найти r.

№ 15 Один из катетов 3, а котангенс прилежащего угла равен 0,75. Найти гипотенузу.

№ 16 В треугольнике гипотенуза 20, косинус одного из углов 0,8. Найти больший угол.

№ 1 Из вершины прямого угла А к гипотенузе проведены АМ – медиана и АК – высота. Найти МК, если катеты 6 и .

№ 2 Гипотенуза 25, один из катетов 10. Найти проекцию другого катета на гипотенузу.

№ 3 Катеты относятся как 1:3. Найти высоту, проведённую к гипотенузе, если гипотенуза равна 40.

№ 4 Из одной точки проведены перпендикуляр и две наклонные 10 и 17 к данной прямой. Проекции наклонных относятся как 2:5. Найти длину перпендикуляра.

№ 5 Гипотенуза 10, а проекция меньшего катета на гипотенузу 3,6. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

№ 6 Радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны соответственно
2 и 5. Найти больший катет.

№ 7 В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что он имеет с треугольником общий прямой угол. Периметр этого прямоугольника 25. Найти катеты треугольника.

№ 1 В прямоугольном треугольнике внешний угол при основании 120^о, тогда отношение гипотенузы и катета, перпендикулярного основанию, равно …

№ 2 Треугольник АВС, А=90°, АН – высота, СН=1, АС=2. Чему равен СВА?

№ 3 Гипотенуза 8. Один из углов 30°. Чему равно произведение длин отрезков, на которые делит гипотенузу высота, проведённая из вершины прямого угла.

№ 4 Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4; высота, опущенная на гипотенузу, равна 12. Найти S, проекции катетов на гипотенузу, длину окружности, вписанной в треугольник, площадь круга, описанного около треугольника.

№5 Проекции катетов на гипотенузу 2 и 8. Найти площадь.

№ 6 Найти площадь прямоугольного треугольника, вписанного в круг, площадь которого 100π, если высота, проведённая на гипотенузу 9,6

№ 7 Найти высоту прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе, если биссектриса острого угла делит катет на отрезки, равные 2 и 4.

№ 8 В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла разделила катет на 15 и 12.

Найти площадь треугольника.

№ 9 Треугольник АВС, С=90°, О – центр вписанной окружности, ОВ=12, ВОС=105°.

Найти радиус вписанной окружности.

№ 10 Треугольник АВС – прямоугольный, О – центр вписанной окружности соединён с вершиной прямого угла С и с вершиной В. ОВ=36, ВОС=105°. Найти радиус описанной окружности.

№ 11 Медиана, проведённая к гипотенузе, равна 2√3 и делит прямой угол в отношении 1:2. Найти больший угол.

№ 13 Один из катетов 15, а проекция второго на гипотенузу 16. Найти r

№ 14 Один из катетов 15, а проекция второго на гипотенузу 16. Найти диаметр окружности, описанной около треугольника

№ 15 Периметр 72, r=6. Найти диаметр описанной окружности.

№ 16 R=5, r=2. Найти больший катет

№ 17 В прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найти площадь квадрата, если катеты 10 и 15.

№ 18 Треугольник АВС, С=90°. Через центр О вписанной в треугольник окружности проведён луч ВО, пересекающий катет АС в т.М. АМ=8√3, А=МВС. Найти гипотенузу

№ 19 Найти расстояние от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника до его гипотенузы, равной 25, если один из катетов равен 20