Через вершины а и в треугольника авс проведена окружность, касающаяся прямой вс



Скачать 28,48 Kb.
Дата17.06.2015
Размер28,48 Kb.
ТипДокументы

Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность, касающаяся прямой ВС, 


а через вершины В и С проведена ещё одна окружность, касающаяся прямой АВ.
Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок АС в точке Е, 
а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.
а) доказать, что площади треугольников АВС и ABF равны;
б) найти отношение АЕ : ЕС, если АВ = 5 и ВС = 9.

Т.к. первая окружность проходит через точки А и В, её центр лежит на серединном перпендикуляре к АВ.


Т.к. она касается прямой ВС, то её центр лежит на перпендикуляре к ВС, проходящем через точку В.

Аналогично рассуждаем при построении центра второй окружности.



Продолжим хорду BD и отрезок AD так, как об этом сказано в условии.


Рассмотрим треугольники АВС и ABF.

Чтобы доказать равенство площадей треугольников с общим основанием АВ,


достаточно доказать равенство их высот, проведённых из вершин С и F.
Здесь для равенства высот необходима параллельность прямых АВ и СF.
А для параллельности прямых необходимо равенство углов ВАF и AFC.

Чтобы показать равенство зелёных углов 1 и 2, рассмотрим третий угол DВС.



∠DВС = ∠DFC, т.к. оба угла вписаны во вторую окружность и опираются на одну и ту же дугу DC.


С другой стороны, ∠DВС - это угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды
Следовательно, угол DВС равен половине дуги BD.
Но и вписанный в первую окружность угол BAD тоже равен половине дуги BD.
Таким образом, ∠DBC = ∠BAD. И значит, ∠DFC = ∠BAD.

Итак, мы доказали равенство углов ВАF и AFC.


Из равенства углов вытекает параллельность прямых АВ и СF.
Из параллельности прямых следует равенство высот треугольников АВС и ABF.
А из равенства высот, проведённых к общему основанию, следует равенство площадей треугольников.

Приступаем к пункту б) и найдём отношение АЕ : ЕС, если АВ = 5 и ВС = 9.


Заметим, что равенство рыжих углов на рисунке аналогично равенству зелёных.

Треугольники ABD и CBD оказываются подобными. И значит, ∠ADB = ∠BDC. Ну и отсюда ∠ADE = ∠CDE.



Получается, что в треугольнике ADC отрезок DE является биссектрисой. И мы близки к решению.



По свойству биссектрисы треугольника АЕ : ЕС = DA : DС.


Второе отношение ищем из подобия треугольников ABD и CBD.











Ответ: АЕ : ЕС = 25 : 81

Углы А, В и С четырёхугольника ABCD относятся как 1:6:17. Найдите угол D,


если около данного четырёхугольника можно описать окружность.




Так как около четырёхугольника можно описать окружность,
то сумма противоположных углов четырёхугольника равна 1800.
∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 1800
Учитывая отношение углов, обозначим углы четырёхугольника так:

Очевидно, что четвёртый угол D равен 12х градусов.

Составим уравнение х + 17х = 180 (или 6х + 12х = 180). Получим, что х = 10.
И наконец, найдём угол D. ∠D = 12·10 = 1200
Ответ: 1200

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС,


если стороны квадратных клеток равны единице.




Прямоугольный треугольник обладает замечательным свойством -
центр описанной около него окружности
лежит на середине гипотенузы.

Окружность с центром в жёлтой точке точно пройдёт через все вершины треугольника.


Попробуйте взять в руки циркуль и убедиться в этом!
Расстояние от точки О до каждой вершины и есть радиус окружности.

Осталось найти его.


.
Ответ: 2,5














Похожие:

Через вершины а и в треугольника авс проведена окружность, касающаяся прямой вс icon«Треугольники и окружность» в 9 классе
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины. В этом случае треугольник называют треугольником,...
Через вершины а и в треугольника авс проведена окружность, касающаяся прямой вс iconМендель Виктор Васильевич
«треугольник и вписанная окружность», которые довольно подробно изучаются в школьном курсе, в меньшей степени изучаются конструкции...
Через вершины а и в треугольника авс проведена окружность, касающаяся прямой вс iconПервый листик
Вершина a остроугольного треугольника abc соединена отрезком с центром o описанной окружности. Из вершины a проведена высота ah....
Через вершины а и в треугольника авс проведена окружность, касающаяся прямой вс icon«Окружность»
Свойство углов, образованных касательными и прямой, проходящей через общую точку касательных и центром окружности
Через вершины а и в треугольника авс проведена окружность, касающаяся прямой вс iconПрактическая работа №1: «Выпуклый многоугольник»
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины
Через вершины а и в треугольника авс проведена окружность, касающаяся прямой вс iconЗадачи на вписанную и описанную окружность
В правильный треугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найти площадь образовавшегося кольца, если сторона треугольника...
Через вершины а и в треугольника авс проведена окружность, касающаяся прямой вс iconОткрытый банк заданий. Вписанные и описанные окружности Треугольник 1
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны...
Через вершины а и в треугольника авс проведена окружность, касающаяся прямой вс iconУрок по геометрии в 9 классе Тема: Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника
Орему об окружности, описанной около треугольника, признак равнобедренного треугольника; сформировать у учащихся понятия «правильный...
Через вершины а и в треугольника авс проведена окружность, касающаяся прямой вс iconСимедианы и. Пусть прямые
Пусть прямые aa1, bb1 и cc1, проходящие через вершины треугольника abc, пересекаются в точке P. Докажите, что если точки A2, B2,...
Через вершины а и в треугольника авс проведена окружность, касающаяся прямой вс iconИдз аналитическая геометрия в пространстве
Составить уравнения: а прямой ab, б плоскости abc, в прямой L, проходящей через точку d перпендикулярно abc
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com