Пирамида и ее элементы. Построение пирамиды

Скачать 179,01 Kb.

Дата	17.06.2015
Размер	179,01 Kb.
Тип	Решение

Урок №1

Тема: Пирамида и ее элементы. Построение пирамиды.

Цели:

рассмотреть понятие пирамиды и подчиненные понятия (основание, вершина, боковые рёбра и грани, высота);
разобрать построение пирамиды.

Ход урока

I Анализ контрольной работы

Указать ошибки, допущенные учащимися в работе.
Разобрать решение задач, вызвавших затруднения у учащихся.

II Изучения нового материала

Определение пирамиды и ее элементов: основания, вершины, боковых ребер и граней, высоты (рис. 418).
Определение n-угольной пирамиды; тетраэдра.
Разобрать построение пирамиды. Слайды «Пирамида. Основные элементы».

III Закрепление. Решить задачи №42 и № 41

1. Задача №42

Решение

ак как все боковые рёбра равны, то вершины основания одинаково удалены от основания высоты пирамиды, то есть АО = ВО = СО = DО. Значит, основанием высоты пирамиды является центр окружности, описанной около основания, то есть точка пересечения диагоналей прямоугольника. Поэтому

Высота пирамиды равна катету прямоугольного треугольника, у которого другой катет равен половине диагонали основания, а гипотенузой является боковое ребро. Диагональ основания АС = . Поэтому высота пирамиды

МО =

2.Записать в тетрадях: если две боковые грани пирамиды образуют с ее основанием равные двугранные углы, то вершина пирамиды равноудалена от сторон основания, принадлежащих этим боковым граням. ( Доказательство провести учащимся дома самостоятельно).

3. Задача № 41

Решение

Основанием высоты PO будет центр вписанной в треугольник ABC окружности. AB = AC =10 см, BC = 12 см; точка О лежит на медиане АМ изображения основания АВС. Проведём перпендикуляр PH

AB (или соединим
Р с М ); в прямоугольном треугольнике

РОН= 45◦ . Значит, это будет равнобедренный прямоугольный треугольник, и искомая высота РО = ОН = r,
где r радиус вписанный в треугольник АВС окружности. Его находим из формул для площадей:

, откуда 16r =

= 48 и r = 3 см

IV. Итоги урока

V. Домашнее задание: из § п.176, п. 177; повторить § 9, из §11 п.100-п.102; п.103-105; из §14 п.128, п.126; решить задачи №45, №46 и №44

Уроки №2-№3

Тема: Пирамида. Построение плоских сечений пирамиды.

Цели:

закрепить изученный материал в ходе решения задач;
разобрать построение плоских сечений пирамиды;
способствовать развитию логического мышления учащихся.

Ход урока

I Проверка домашнего задания:

двое учащихся работают на доске, решают домашние задачи № 45 и
№ 46.
с остальными учащимися в это время устная работа: ответить на контрольные вопросы 27-30 на странице 312 учебника.

II Сечения пирамиды плоскостями; диагональные сечения (рисунок 419 и рисунок 420).

III Построения сечения четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из ее боковых ребер (рис.422). Слайды «Построение сечений в пирамиде».

IV. Решение задач.

Задача 1 . В треугольной пирамиде стороны основания равны 13 см, 14 см, 15см, все боковые ребра составляют с основанием углы, равны. Найти высоту пирамиды.

Решение.

Определим положение точки О относительно АВС. Так как прямоугольные треугольники AOD, COD и BOD имеют по равному катету OD и по равному острому углу , то они равны. Значит, AO = OC = OB. А это означает, что точка O является центром описанной около основания окружности радиуса АО. Найдем радиус описанной окружности из формулы . Для этой цели нам необходимо найти площадь треугольника АВС, по формуле Герона:

. Тогда

Высоту пирамиды найдём из прямоугольного треугольника АОD с острым углом

: tg

, или АО tg= OD. Значит, OD =

.
Задача 2. В основание треугольника пирамиды лежит равнобедренный треугольник АВС , угол С прямой. Длины боковых ребер пирамиды равны b , длина гипотенузы основания равна С. Найдите углы, которые боковые рёбра образуют с основанием, и двугранный угол при ребре CE.
Решение.

Из равенства боковых ребер вытекает равенство углов, которые боковые ребра образуют с плоскостью основания пирамиды. При этом высота пирамиды проектируется в центре окружности, описанной вокруг основания, то есть в середину гипотенузы прямоугольного треугольника АВС.

Итак, ЕОАВС и ЕАО = ОВЕ = ЕСО = х. Для нахождения этих углов рассмотрим треугольник АЕО, где АЕ= b, АО=. Тогда
cos х = .

Д
M

D

O

ля построения линейного угла при ребре ЕС проведем

и точку D соединим
с точкой В. Так как треугольник АЕС и ВЕС равны, то , и, значит, АВD = и есть искомый линейный угол. Треугольник АВD равнобедренный, DO – его медиана, а значит, и высота, и биссектриса. Поэтому ОDВ = . В треугольнике ОDВ имеем ОВ=., а сторону ВD найдем из треугольника ВЕС , площадь которого, с одной стороны, равна , а с другой , . Таким образом, =, или ЕС*ВD=ВС*ЕМ (1) . Из Равенства (1) имеем: ВD= (2)

BC найдем из прямоугольного равнобедренного треугольника АВС
с гипотенузой, равной с: . ЕМ найдём из прямоугольного треугольника ЕМС, где ВМ = МС = . Таким образом, EM=

. Подставим в равенство (2) значения ВС и ЕМ, получим: . Из прямоугольного треугольника DOB находим:

, откуда
a= 2 arcsin

Задача № 43.

V Итоги урока

VI Домашнее задание: из §19 п.176 и п.177; повторить из §18 п. 159; повторить из §14 п. 128, п. 126, п. 127; решить № 50,№51, №52.

Урок №4

Тема: Усеченная пирамида.

Цели:

повторить понятия гомотетии и преобразования подобия в пространстве;
разобрать теорему 19.5 о сечениях пирамиды, параллельных основанию;
ввести понятия усеченной пирамиды и ее элементов.

Ход урока.
I Подготовка учащихся к усвоению материала:

Повторить понятия гомотетии и преобразования подобия в пространстве.
Рассмотреть понятия подобных фигур в пространстве и коэффициента подобия.
Дать определение трапеции и записать формулу площади трапеции.
Как относятся площади подобных фигур?

II Изучение нового материала:

Доказательство теоремы 19.5 о плоскости, пересекающей пирамиду и параллельной её основанию.
Разобрать по учебнику решение задачи №54.
Понятие усечённой пирамиды.
Определение оснований, боковых граней и рёбер, высоты усечённой пирамиды. Слайды «усеченная пирамида»

III Закрепление изученного материала

Объясните, что такое усеченная пирамида.
Назвать элементы усечённой пирамиды.
Решите задачу: в пирамиде сечение, параллельное основанию, делит высоту в отношении a: c (считая от вершины к основанию). Найдите площадь сечения, зная, что она меньше основания на 20 квадратных единиц.

Решение.

Всё рассуждения решения данной задачи будут аналогичны для пирамиды любого вида. Согласно теореме «площади сечения основания относятся как квадраты их расстояний от вершины» - имеем: . По условию задачи или . Пусть Sсеч. = х , тогда

Sосн. = х +20. Для нахождения х составим уравнение и решим его:

Решить задачу № 55 (самостоятельно).

Решение

Сечение гомотетично основанию, причём квадрат коэффициента подобия
(или коэффициента гомотетии) равен отношению площади сечения к площади основания: k²=50:512=

. Откуда k=

. Высота пирамиды KO=16м, сечения отсекает от неё отрезок KD = k *KO = 5 м, поэтому искомая расстояние от плоскости сечения до плоскости основания равно: DO = KO- DK = 16-5=
11 (м)

IV Итоги урока

V Домашнее задание: из §19 п.176 -178; №53; повторить §14, п. 122-128.

Уроки №5-№6

Тема: Правильная пирамида и ее боковая поверхность
(бинарный урок: геометрия+информатика)
Цели:

1. добиться понимания учащимися основных понятий и определений по данной теме (правильная пирамида ее элементы);

2. выработать у учащихся умения и навыки применения новых понятий и формул при решении практических задач с использованием вычислительной техники;

3.научить применять одномерные массивы при решении задач по геометрии с практическим содержанием;

4. развивать самостоятельность логическое мышление;

5. прививать любовь к родному городу на примерах архитектурных памятников;

6. развивать познавательную активность у учащихся.
Оборудование:

комплект моделей правильных пирамид;
репродукции с изображениями архитектурных памятников Казани;
ПВЭМ.

Ход урока.

I Повторение изученного материала

а) проверка домашнего задания;

б) актуализация опорных знаний учащихся:

какая фигура называется пирамидой?
что является основанием пирамиды?
что называется высотой пирамиды?
что представляют грани пирамиды?

II Изучение новой темы:

1.Вопросы к учащимся:

а) какая пирамида называется правильной?

б) как найти центр правильного многоугольника? С чем он совпадает?

в) по аналогии с правильными фигурами, например, правильной призмой, скажите, пожалуйста, что присуще правильной пирамиде?

2.Дайте определение правильной пирамиды.

3.Объяснить:

как построить правильную пирамиду;
провести ось симметрии правильной пирамиды;
что такое апофема правильной пирамиды;
что собой представляют боковые грани правильной пирамиды.

4. Задача.

Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания 6 м и боковым ребром 5 м. Найдите апофему пирамиды.

Практическая работа. Каждому ученику даётся модель правильной пирамиды. Найти боковую поверхность пирамиды, изменив сторону её основания и боковое ребро.
Учащимся предлагается стенд с репродукциями архитектурных памятников Казани: Спасская башня Кремля, Башня Сююмбике, храмы. Учащиеся отмечают, что каждый памятник, каждое архитектурное сооружение - совокупность многогранников, заканчивающихся пирамидой. Слайды «Архитектурные памятники Казани».

Задача. Необходимо покрыть крышу минарета мечети. Крыша минарета имеет форму правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания а м и высотой h м. Для крыш минаретов мечетей используется нержавеющая сталь, которую напыляют нитритом титана с помощью специального оборудования на заводе ВАКУУММАШ. Сколько квадратных метров металла потребуется. Если на сгибы идёт 5% от всей площади? Какова будет стоимость такого покрытия, если 1 кв.м стоит 1300 рублей? Составить программу решения задачи и сделать расчёты на компьютере для а=1,8 м и h= 4,3 м. Слайды «Практическая работа»
7. По учебнику задача № 61.

8. Из истории. Египетские пирамиды. Самая большая пирамида была воздвигнута для захоронения Фараона Хеопса (в начале 27 в. до нашей эры). Её высота 146,6 м, длина каждой из сторон –233 м. Слайды «Египетские пирамиды»

1V. Завершение урока.

V Домашнее задание: п. 179, №№ 62, 65.

Урок №7-№8.

Тема: Правильная пирамида.

Цели:

закрепить понятие правильной пирамиды (её оси, апофемы);
доказать теорему о боковой поверхности правильной пирамиды.

Ход урока.
I Организационный момент.

II Закрепление и повторение материала.

Определение правильной пирамиды.
Как правильно построить чертёж правильной пирамиды?

а) для четырёхугольной правильной пирамиды построение совсем простое: строим произвольный параллелограмм ( лучше не прямоугольник и не ромб, тем более не квадрат), находим центр основания как точку пересечения диагоналей, через него вертикально проводим высоту, отмечаем на ней вершину пирамиды, строим боковые ребра. Слайд «Построение пирамиды»

б) центр основания правильной треугольной пирамиды строиться на проекционном чертеже основания как точка пересечения его медиан, из центра вертикально проводиться высота и т.д., как выше.

в) центр основания правильной шестиугольной пирамиды строиться на проекционном чертеже основания как точка пересечений диагоналей шестиугольника, из центра вертикально проводиться высота, на ней отмечается вершина пирамиды, строятся боковые рёбра.

3. Определение оси правильной пирамиды, апофемы.

Вопрос: во что проектируются апофемы правильной пирамиды (при ортогональном проектировании на плоскость основания)?

Ответ: в радиус вписанной в основания окружности.

4. Понятие боковой поверхности пирамиды. Доказательство
теоремы 19.6 о боковой поверхности правильной пирамиды.

5. Понятия правильной усеченной пирамиды; её боковые грани; апофемы боковых граней правильной усеченной пирамиды.

Разобрать решение задачи 69, доказать теорему о боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.

III Рассмотрение медианного сечения

На примере задачи №60 (1) рассмотрим важный при решении задач с правильной треугольной пирамидой прием - рассмотрение медианного сечения.

Решение.

Пусть РАВС – данная пирамида, РО – ее высота, РМ - апофема.

Отрезки РА, РО и плоскости РМ лежат в одной плоскости, именно в плоскости, проведенной через ребро РА и медиану основания АМ.

то следует из того, что треугольник РВС равнобедренный, поэтому основание М его высоты РМ (апофемы пирамиды) является серединной стороны ВС; значит, АМ – медиана основания. Она же и серединный перпендикуляр к стороне ВС, и поэтому точку О (центр описанной около треугольника АВС окружности) лежит на отрезки АМ. При этом АО:ОМ =2:1 ( по теореме о точке пересечения медиан треугольника: на рисунке отрезок АО = ВО =
ОМ:sin 30 = 2*ОМ). И если сторона основания равна a , то

, где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей. Эти соотношения лучше запомнить. Для отыскания апофемы l = PM нарисуем сечение АРМ отдельно. При этом нужно соблюсти пропорцию АО :ОМ = 2:1_ разделить отрезок АМ на три равные части и в правой точке О деления восставить перпендикуляр ОР к этому отрезку. Апофема l есть гипотенуза треугольника РОМ с известными катетами: РО = b , ОМ = r =

Значит,

Отметим, что формула

верна для любой правильной пирамиды, ибо апофема всегда проектируется в радиус вписанной окружности. Кроме того, обратим внимание на «левый» треугольник медианного сечения АРМ – на треугольник РОА; его можно использовать для отыскания бокового ребер пирамида:

Опять – таки формула справедлива для произвольной правильной пирамиды, так как боковое ребро всегда проектируется в радиус описанной окружности.

IV . Итоги урока

V . Домашнее задание : из §19 повторить п.п.166 -179; готовиться к зачёту по теме « Многогранники»; №57, №59, №60 (2;3).

Урок №9

Тема: Объем пирамиды

Цель:

формировать умение применять формулу объема пирамиды при решении задач.

Ход урока
I Повторение ранее изученного материала и проверка домашнего задания.

Проводя индивидуальный опрос по решению задач из домашнего задания предложить обосновать:

а) построение угла наклона прямой к плоскости или построение линейного угла данного двугранного угла;

б) положение высоты пирамиды.

Повторить формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей

правильных многоугольников.

II Закрепление нового материала

Решение задач № 35, 37, 40.

Задача№35.

Решение

Данная пирамида является правильной, основание О высоты РО есть центр основания пирамиды

ABC. Сторона основания

, тогда площадь основания равна:

Рассмотрим прямоугольный треугольник POA: его

гипотенуза РА =b, а катет ОА является радиусом описанной около основания окружности, то есть равен . Значит, высота

Н=РО равна .

Искомый объем есть .

Можно предложить учащимся другой способ решения этой задачи. Будем считать, что основание пирамиды , так что вершиной становится точка С. Из условия следует , так что боковое ребро СР является высотой пирамиды САВР.

Задача №37.

Решение

Площадь основания и высота тетраэдра равны ,

, а искомый объем

.
Задача №40.

Решение

Пусть АВ=АС = 6 см, ВС = 8см. АО - высота основания. .

Отсюда .

так как боковые ребра пирамиды равны, основание О высоты пирамиды РО есть центр описанной около основания окружности.

. Рассмотрим

.
Следовательно,

Объем пирамиды .

III Итоги урока
IV Домашнее задание; из § 21 п. 198 - 201, вопросы 6 - 9; № 33, 34, 36.

Задача № 34.

Решение

PABCDEK - данная пирамида M — середина стороны АВ основания пирамиды ABCDEK. О - основание высоты РО пирамиды. - линейный угол двугранного угла при основании, при его стороне АВ, и равен 45°.

ОМ - радиус вписанной в основание окружности, он равен . Высота пирамиды и объем пирамиды:

.

Урок №10

Тема: Объем пирамиды и усеченной пирамиды
Цель:

формировать умение применять формулу объема пирамиды и усеченной пирамиды при решении задач.

Ход урока
I Проверка домашнего задания

а) провести индивидуальную проверку решения задач из домашнего задания; б) вспомнить формулу объема усеченной пирамиды и теоремы синусов.

II Закрепление ранее изученного материала
Решение задач № 45,42, 43.
Задача №45.

Решение

Рассмотрим соответствующую полную пирамиду PABCD. РМ- апофема, РО - высота полной пирамиды. = а - линейный угол данного двугранного угла,

Рассмотрим осевое сечение полной пирамиды : МК=а, МО=ОК=а/2,

Н=РО= MO·tgPMO=a/2·tgα. Н₁=РО₁;

M₁O₁= M₁K₁:2=b/2; ; h₁ = b/2·tga.

S = a², S₁ =b² - площади оснований пирамид PABCD

и PA₁ B₁ C₁ D₁, а их объемы равны:

;

Искомый объем усеченной пирамиды: .

А можно решить задачу с использованием формулы. Чтобы найти высоту h усеченной пирамиды, опустим перпендикуляр . В треугольнике , ,

.

.
Задача №42.
Решение
Из равенства боковых ребер данной пирамиды PABCD следует, что основание О высоты РО пирамиды является точкой пересечения диагоналей прямоугольника ABCD, Проведем апофемы РК и РМ. В прямоугольных треугольниках РКА и РМА гипотенуза РА = l, острые углы , , отсюда находим стороны основания ; .Найдем половину диагонали AO:

и высоту пирамиды РО: .

Площадь основания .

Искомый объем .

Задача№43.

Решение

Найдем площадь основания AВС пирамиды РАВС. По теореме синусов , где R - радиус описанной около треугольника окружности, отсюда ,. треугольника равен , площадь основания .

Так как боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания, их проекции равны, поэтому основание О высоты РО является центром описанной около треугольника ABC окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник

РОА:ОА =R, , поэтому .

Искомый объем: .

III Итоги урока

IV Домашнее задание: из § 21 п. 198 - 201, вопросы 6 - 9; № 41, 38, 39,47.

Задача №38.
Решение

Октаэдр составлен из двух правильных четырехугольных пирамид, все ребра которых равны а. Найдем объем одной пирамиды. Площадь ее основания

S = a², а высота

Объем пирамиды равен ; а объем октаэдра вдвое больше: .

Задача №39.
Решение

Из равенства боковых ребер следует, что основание О высоты РО данной пирамиды PABCD - центр описанной около основания ABCD окружности.

R =АО - половина диагонали AC:

. Из треугольника РОА:

, H=10м.

Площадь основания: .

Искомый объем: .
Задача №41 решается, как задача № 40, только с другими числовыми данными. Сторона ВС = 4см основания ABC пирамиды РАВС.
Задача №47 решается аналогично № 46, только вместо «серединного» сечения используется медианное сечение полной пирамиды.

Урок №11

Тема: Решение задач
Цели:

1. формировать умение применять свойства подобных тел при решении задач;

2. закрепить знания о свойствах многогранников.
Ход урока
I Повторение ранее изученного материала

Проверить правильность решения задач № 38, 39. Повторить формулировку свойства подобных тел,

П Решение задач № 48,49,45.
Задача № 49.

Решение

Это расстояние есть высота отсекаемой от данной пирамиды гомотетичной ей пирамиды: , так как из условия .

Задача №45.

Решение

РО - высота пирамиды, О₁ - точка пересечения ее с плоскостью сечения, O₁ O = h. Так как основание пирамиды и сечение подобны, то

, откуда

. Но и

подобен

, причем с тем же коэффициентом
подобия k. Пусть высота пирамиды х, то PO₁ = РО· k и

. Значит,

;

III Повторение ранее изученного материала

Самостоятельная письменная работа по вариантам.

I вариант

Обосновать, каким свойством обладает точка, в которую проектируется вершина пирамиды:

в основании прямоугольный треугольник, и известно, что все боковые ребра одинаково наклонены к основанию пирамиды;

все двугранные углы при сторонах основания пирамиды имеют равные
величины, если в основании пирамиды: 1) ромб; 2) прямоугольная трапеция. Выяснить, можно ли за основание указанных пирамид взять параллелограмм, равнобедренный треугольник.

II вариант

Обосновать, каким свойством обладает точка, в которую проектируется вершима пирамиды, если:

все боковые ребра одинаково наклонены к основанию пирамиды, если в основании пирамиды: 1) прямоугольник; 2) равнобочная трапеция;

2) в основании прямоугольный треугольник, и известно, что все двугранные углы при сторонах основания пирамиды имеют равные величины. Обосновать построение данных углов пирамиды.

После выполнения работы собрать письменные решения. Обсудить правильность решения по рисункам на доске.

III Итоги урока

IV Домашнее задание: § 21. Подготовиться к зачету.

Вопросы и задачи для самопроверки:

Сформулируйте основные свойства объемов многогранников.
Сформулируйте теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда.
Измерения прямоугольного параллелепипеда 3, 4 и 5 см. Найти объем.
Объем куба равен V, Чему равна длина ребра этого куба и длина его
диагонали?
Как изменится объем куба, если длину каждого его ребра увеличить в
два раза?
Выведите формулу объема прямой призмы.
Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы - квадрат,
длина стороны которого равна 2 см. Найдите объем призмы.
Длина каждого ребра правильной шестиугольной призмы равна а. Найдите объем призмы.
Площадь поверхности куба равна 96 см². Найдите объем этого куба.
Основание прямого параллелепипеда - ромб, площадь которого равна
1 м². Найдите объем этого параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны 3 и 6м².
Основанием наклонной призмы служит параллелограмм, длины сторон
которого 10 и 20 см, а величина острого угла 45°. Боковое ребро этой
призмы длиной 12 см наклонено к основанию призмы под углом 30°.
Найдите объем призмы.
Выведите формулу объема пирамиды.
Найдите объем треугольной пирамиды, если длина каждого ее ребра
равна 3 см.
Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, длины катетов которого равны 6 и 8 см. Боковые ребра пирамиды наклонены к
основанию пирамиды под углом 45°. Найдите объем пирамиды.
Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, длины катетов которого равны 6 та. 8 см. Боковые грани пирамиды наклонены к
основанию пирамиды под углом 45°. Найдите объем пирамиды.
Основанием пирамиды служит прямоугольник, длины сторон которого
4 и 3 см. Длина каждого ребра пирамиды 10 см. Найдите объем пирамиды.

Пирамида и ее элементы. Построение пирамиды

Ход урока

Решение

Решение

Ход урока

Решение

Уроки №5-№6

Похожие: