Урок №2 «Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора» Историческая справка



Скачать 64,76 Kb.
Дата17.06.2015
Размер64,76 Kb.
ТипУрок

Урок №2

«Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора»

Историческая справка.

Знаменитая теорема Пифагора звучит так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов построенных на его катетах.

Про картинку, иллюстрирующую эту теорему, сложена шутливая поговорка: «Пифагоровы штаны на все стороны равны».

Изучение вавилонских клинописных таблиц и древнекитайских рукописей показало, что утверждение этой теоремы было известно задолго до Пифагора. Заслуга греческого учёного состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

Сейчас известно более трёхсот доказательств теоремы Пифагора. Самое наглядное из них приведено на рисунке.

Посмотрите внимательно на два квадрата, и вам всё станет ясно. Индусы к этому чертежу добавляли лишь одно слово: «СМОТРИ!»

Позднее выяснилось, что если на сторонах прямоугольного треугольника построить не квадраты, а произвольные между собой фигуры, то сумма площадей фигур построенных на катетах, равна площади фигуры построенной на гипотенузы.

Теорему Пифагора можно сформулировать и так: «Квадрат длины диагонали прямоугольника равен сумме квадратов длин смежных сторон этого прямоугольника».



ТЕОРИЯ

Формулы, используемые при решении прямоугольных треугольников, выделим особо.

Пусть а и b – катеты, с – гипотенуза, a’ и b’ – проекции катетов на гипотенузу, h – высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу.

Тогда справедливы формулы:



  1. a²+b²=c²

  2. S=1/2·a·b=1/2·c·h

  3. r=1/2·(a+b-c)

  4. R=1/2·c

  5. h²=a’·b’

  6. a²=c·a’

  7. b²=c·b’

  8. sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b, ctgA=b/a


Задача №1.

Пусть M — середина стороны AB треугольника ABC. Докажите, что CM = AB/2 тогда и только тогда, когда ACB = 90°.



Решение.

Так как AB/2 = AM = BM, то CM = AB/2 тогда и только тогда, когда точка C лежит на окружности с диаметром AB.



Задача №2.

На медиане BM и на биссектрисе BK треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки D и E так, что DK AB и EMBC. Докажите, что EDBK.

Решение.

Прямая EM проходит через середину стороны AB, поэтому она проходит через середину O отрезка DK. Кроме того, EKO = ABK = KBC = KEO. Поэтому OE = OK = OD. Согласно задаче 1DEK = 90°.


Задача №3.

Сумма углов при основании трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.

Решение.

Пусть сумма углов при основании AD трапеции ABCD равна 90°. Обозначим точку пересечения прямых AB и CD через O. Точка O лежит на прямой, проходящей через середины оснований. Проведем через точку C прямую CK, параллельную этой прямой, и прямую CE, параллельную прямой AB (точки K и E лежат на основании AD). Тогда CK — медиана прямоугольного треугольника ECD, поэтому CK = ED/2 = (AD – BC)/2 (см. задачу 1).




Задача №4.

В треугольнике ABC с прямым углом C проведены высота CD и биссектриса CF;  DK и DL — биссектрисы треугольников BDC и ADC. Докажите, что CLFK — квадрат.

Решение.

Отрезки CF и DK являются биссектрисами подобных треугольников ACB и CDB, поэтому AB : FB = CB : KB. Следовательно,  FKAC. Аналогично доказывается, что LFCB. Поэтому CLFK — прямоугольник, у которого диагональ CF является биссектрисой угла LCK, т. е. он квадрат.


Задача №5.

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC внешним образом построен квадрат ABPQ. Пусть   = ACQ,  = QCP и   = PCB. Докажите, что cos   = cos cos .

Решение.

Так как 






 sin ACQ



AQ

 = 

 sin AQC



AC



, то 







sin 



a

=

sin (180° –  – 90° – )



acos 

=

cos ( + )



acos 



,

где a — сторона квадрата ABPQ,   = CAB. Поэтому ctg   = 1 + tg . Аналогично ctg   = 1 + tg (90° – ) = 1 + ctg . Следовательно,  





tg  + tg   =

1

1 + tg 


+

1

1 + ctg 



= 1

,

а значит,  cos cos   = cos sin  + cos sin   = sin ( + ) = cos .



Задача №6.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1,BB1 и CC1. Биссектрисы AA1 и CC1 пересекают отрезки C1B1 и B1A1 в точках M и N. Докажите, что MBB1 = NBB1.



Решение. Пусть отрезки BM и BN пересекают сторону AC в точках P и Q. Тогда




 sin PBB1

sin PBA



 = 

 sin PBB1

sin BPB1



 · 

 sin APB

sin PBA



 = 

 PB1



BB1

 · 

 AB



PA

.




Если O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, то  






 AP



PB1

 · 

 B1O



OB

 · 

 BC1



C1A

 = 1

, а значит,  








 sin PBB1

sin PBA



 = 

 AB



BB1

 · 

 B1O



OB

 · 

 BC1



C1A



. Заметив, что BC1 : C1A = BC : CA, и проведя аналогичные вычисления для sin QBB1 : sin QBC, получим  sin PBB1 : sin PBA = sin QBB1 : sin QBC. А так как ABB1 = CBB1, то PBB1 = QBB1.



Задача №7.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса CD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно DC, пересекает AC в точке E. Докажите, что EC = 2AD.

Решение. Пусть F — точка пересечения прямых DE и BC;  K — середина отрезка EC. Отрезок CD является биссектрисой и высотой треугольника ECF, поэтому ED = DF, а значит,  DKFC. Медиана DK прямоугольного треугольника EDC в два раза меньше его гипотенузы EC (задача 1), поэтому AD = DK = EC/2.

Д.З.

а) Докажите, что если a + ha = b + hb = c + hc, то треугольник ABC правильный.

б) В треугольник ABC вписаны три квадрата: у одного две вершины лежат на стороне AC, у другого- на BC, у третьего- на AB. Докажите, что если все три квадрата равны, то треугольник ABC правильный.

Решение.

а) Предположим, что треугольник ABC неправильный; например ab. Так как a + ha = a + bsin  и b + hb = b + asin , то (a – b)(1 – sin ) = 0. Поэтому sin   = 0, т. е.   = 90°. Но тогда ac, и аналогичные рассуждения показывают, что   = 90°. Получено противоречие.

б) Обозначим сторону квадрата, две вершины которого лежат на стороне BC, через x. Из подобия треугольников ABC и APQ, где P и Q — вершины квадрата, лежащие на AB и AC, получаем 




 x



a

 = 

 ha – x



ha



, т. е. 





 aha



a + ha

 = 

 2S



a + ha




. Аналогичные рассуждения для других квадратов показывают, что a + ha = b + hb = c + hc.


Похожие:

Урок №2 «Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора» Историческая справка icon"Прямоугольный треугольник"
Пифагора, познакомить учащихся с биографией Пифагора, расширить и углубить знания по теме “Прямоугольный треугольник”
Урок №2 «Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора» Историческая справка iconУрок- конференция в 8 классе Теорема Пифагора Учитель: И. В. Лукьянова Тема урока : Теорема Пифагора (2 часа) Тип урока : Урок конференция
Расширить и углубить знания учащихся по теме: «Теорема Пифагора. Теорема, обратная теореме Пифагора»
Урок №2 «Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора» Историческая справка iconТеорема Пифагора
Пифагор рассмотрел внимательно прямоугольный треугольник и увидел, что у него есть катеты и гипотенуза. Он выпилил несколько фанерных...
Урок №2 «Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора» Историческая справка iconПояснительная записка основные требования к зун учащихся по окончании 8 класса: знать: Треугольник
Треугольник. Теорема Фалеса. Подобие треугольников. Коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников. Теорема Пифагора
Урок №2 «Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора» Историческая справка iconУрок 27. Урок-путешествие по теме "Теорема Пифагора"
Пифагора, обеспечить ее усвоение всеми учащимися; сформировать умение вычислять неизвестные стороны в прямоугольном треугольнике
Урок №2 «Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора» Историческая справка iconУрок по геометрии 8 класс. "Теорема Пифагора"
Образовательная цель: познакомится с биографией Пифагора, изучить теорему Пифагора
Урок №2 «Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора» Историческая справка iconТеорема Пифагора в евклидовой геометрии
Рис. Прямоугольные треугольники. (a) — треугольник с проведенной высотой, где,, — вершины треугольника,, — катеты, — гипотенуза,...
Урок №2 «Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора» Историческая справка iconУрок по теме «Теорема Пифагора жемчужина античной математики» 8 класс
Образовательные –актуализация знаний, умений и навыков, связанных с темой урока, формирование у учащихся новых понятий и способов...
Урок №2 «Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора» Историческая справка iconУрок по теме «Теорема Пифагора»
Образовательная: добиться усвоения теоремы Пифагора, привить навыки вычисления неизвестной стороны прямоугольного треугольника по...
Урок №2 «Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора» Историческая справка iconУрок геометрии в 8 классе по теме «Теорема Пифагора»
Цели урока: Рассмотреть теорему Пифагора и показать её применение в ходе решения задач
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com