Программа курса "Геометрия и алгебра"



Скачать 29,84 Kb.
Дата17.06.2015
Размер29,84 Kb.
ТипПрограмма курса

Программа курса “Геометрия и алгебра” 1 семестр 2006/2007 уч. г. ( Шевченко В. Н. )

1. Развитие понятия числа. Натуральные, целые, рациональные, вещественные, комплексные числа. Замкнутость числовых множеств относительно арифметических операций. Полугруппа, группа, кольца, поля. Изоморфизм, кольцо вычетов. Теорема о минимальности поля рациональных чисел (среди числовых полей). Иррациональные числа. Присоединение к полю рациональных чисел, доказательство иррациональности , где p – простое число, а k – целое, k2. Понятие об алгебраических и трансцендентных числах.

2. Поле комплексных чисел. Сопряженные числа и действия над ними. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Формула Муавра, корни из единицы. Теорема о разложении многочлена в произведение линейных многочлена в произведение линейных множителей над полем комплексных чисел (без доказательства) и ее вещественный аналог.

3. Отображение множества M в множество N, инъекции, сюръекции и биекции. Размещения, сочетания, их число. Формула бинома Ньютона. Произведение отображений, ассоциативность. Полугруппа преобразований множества M (в себя). Группа преобразований множества М. Теоремы об обобщенной ассоциативности и коммутативности. Группа S подстановок n-ой степени, подгруппа четных подстановок. Цикл, его разложение в произведение транспозиций и четность.

4. Мощность множества. Счетные и континуальные множества. Теоремы о счетности рациональных и алгебраических чисел. Теорема Кантора о мощности множества всех подмножеств данного множества.

5. Определение линейного (векторного) пространства на полем. Примеры: геометрические век4торы, арифметическое n-мерное пространство, пространство (mxn) – матриц, пространство многочленов. Следствия из аксиом. Подпространства. Линейная зависимость. Отношение линейной выразимости между системами векторов и его транзитивность, умножение матриц и его ассоциативность. Кольцо квадратных матриц. Действия с блочными матрицами. Эквивалентные системы векторов, теорема о замене. База и ранг системы векторов. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства. Базис и размерность. Координаты вектора в базисе. Изоморфизм линейных пространств. Изменение координат при изменении базиса. Пересечение и сумма подпространств. Прямая сумма. Построение базиса суммы.

6. Аффинная система координат (репер) вещественного линейного пространства, изменение координат точки при изменении репера. Деление отрезка в заданном отношении, параметрическое задание прямой. Координаты центра тяжести. Выпуклая комбинация, выпуклое множество, выпуклая оболочка. Параллелепипед и симплекс.

7. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Жордана-Гауса и его матричная запись. Строчечный и столбцовый ранги матрицы и доказательства их равенства. Нахождение строчечной и столбцовой баз. Теорема о ранге произведения матриц. Свойства матричных операций, обратная матрица, критерий ее существования, единственность. Решение матричных уравнений. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Связь множеств решений однородной и неоднородной систем; линейное многообразие, его размерность. Два способа задания подпространств и линейных многообразий. Задание прямых и плоскостей в аффинной системе координат, условия параллельности.

8. Векторное и смешанное произведение, свойства, выражение через координаты. Определители 2-го и 3-го порядка, геометрический смысл. Различные способы задания прямой и плоскости. Геометрический смысл линейного неравенства. Расстояния между: двумя точками, точкой и прямой, точкой и плоскостью, двумя прямыми, двумя плоскостями. Углы между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью.

9. Евклидово и унитарное пространство. Длина вектора. Ортогональность. Запись скалярного произведения через координаты, матрица Грама. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца, неравенство треугольника, теорема Пифагора. Линейная независимость ортонормированной системы векторов. Процесс ортогонализации, существование ортонормированного базиса. Изоморфизм унитарных пространств. Геометрический смысл линейного неравенства в декартовой системе координат. Условия перпендикулярности прямых и плоскостей. Ортогональное дополнение, свойства. Ортогональная сумма подпространств; доказать, что она – прямая.



10. Детерминант (определитель матрицы) и его свойства, способы вычисления (с оценкой числа действий). Разложение детерминанта по строке (столбцу). Выражение детерминанта через элементы его матрицы. Функциональная точка зрения на детерминант. Теорема Лапласа. Линейные рекуррентные соотношения. Формула Бине-Коши. Определитель Вандермонда. Правило Крамера. Интерполяционный многочлен. Минорный ранг матрицы.

Похожие:

Программа курса \"Геометрия и алгебра\" iconПрограмма дисциплины «алгебра и геометрия»
...
Программа курса \"Геометрия и алгебра\" iconРабочая программа учебного предмета «Математика»
«Алгебра» и «Геометрия». При изучении учебного предмета «Математика» организовано синхронно-параллельние изучение модулей «Алгебра»...
Программа курса \"Геометрия и алгебра\" iconРабочая программа выполняет две основные функции
Умк мордкович А. Г. и др. «Алгебра,7», «Алгебра,8», «Алгебра,9»: Мнемозина,2004; Атанасян Л. С. и др. «Геометрия,7 – 9»: Просвещение,...
Программа курса \"Геометрия и алгебра\" iconРабочая программа дисциплины аналитическая геометрия и линейная алгебра направление подготовки Физика живых систем
Целями освоения дисциплины «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» являются
Программа курса \"Геометрия и алгебра\" iconПрограмма дисциплины Алгебра и геометрия Для направления 230700. 62 «Фундаментальные информатика и информационные технологии»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 230700. 62 «Прикладная...
Программа курса \"Геометрия и алгебра\" iconПрограмма дисциплины Алгебра и геометрия Для направления 230700. 62 «Прикладная информатика»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 230700. 62 «Прикладная...
Программа курса \"Геометрия и алгебра\" iconПрограмма курса :«Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
Линейный оператор. Действия над операторами. Пространство операторов. Образ и ядро оператора (подпространства). Ранг и дефект. Их...
Программа курса \"Геометрия и алгебра\" iconПояснительная записка курс «Математика. 10-11 классы» состоит из учебного курса «Геометрия. 10-11 классы и «Алгебра и начала анализа. 10-11 классы.»
«Алгебра и начала анализа. 10-11 классы.». Последовательность изучения содержательных компонентов изучается блочно по главам, последовательно...
Программа курса \"Геометрия и алгебра\" iconПрограмма курса «Алгебра и геометрия»
Инвариантные подпространства. Собственные векторы и числа. Характеристический многочлен. Теорема о существовании собственного вектора...
Программа курса \"Геометрия и алгебра\" iconЭкзаменационные вопросы курса «Алгебра и геометрия» для специальности «Прикладная математика»
Аффинные оболочки множеств, аффинные подпространства, их опи-сание и взаимное расположение
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com