Решение заданий по математике



Скачать 129,81 Kb.
Дата17.06.2015
Размер129,81 Kb.
ТипРешение

Решение заданий по математике

олимпиады вузов Росрыболовства

среди учащихся 8 классов 2013-14 уч. год

II тур.

Задача 1. В сообщении о математическом празднике сказано, что процент числа восьмиклассников школы, принявших участие в математическом празднике, заключён в пределах от 98,2% до 98,5%. Определите минимально возможное число восьмиклассников в школе.
Решение.

Процент не участвовавших в празднике заключён в пределах от 1,5% до 1,8%. Если бы в празднике не участвовал 1 школьник, то число восьмиклассников заключалось бы в пределах

от 1· =55,5… до 1· = 66,6… . Значит, минимально возможное число восьмиклассников в школе 56 человек.

Ответ. 56.
Задача 2. Найти количество восьмизначных чисел, состоящих из цифр 1и 2, у которых две цифры 1 не стоят рядом.
Решение. Разобьём все числа на две группы. К первой отнесём те числа, которые заканчиваются цифрой 1, ко второй отнесём те числа, которые заканчиваются цифрой 2.

Зачеркнём у всех чисел из первой группы последние две цифры 21, тогда мы получим все шестизначные числа, у которых никакие две цифры 1 не стоят рядом.

Зачеркнём у всех чисел из второй группы последнюю цифру 2, тогда мы получим все семизначные числа, у которых никакие две цифры 1 не стоят рядом.

Таким образом, если обозначить количество п-значных, состоящих из цифр 1и 2, таких у которых две цифры 1 не стоят рядом, через ап , то



ап = ап-2 + ап-1.
Несложно, посчитать что а1 =2 ( это числа 1 и 2), а2=3 ( это числа 21, 12, 22). Далее находим, а3=5; а4=8; а5=13; а6=21; а7=34; а8=55.
Ответ. 55.
Задача 3. Биссектрисы углов трапеции образуют при пересечении четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями. Доказать, что трапеция равнобедренная.
Решение.


Пусть EFGH – четырёхугольник, образованный биссектрисами.

Так как АE и ВE – биссектрисы смежных углов трапеции, то =90°. Аналогично, =90°. Поэтому 2 +2 =2 +2 (1).

Кроме того, так как диагонали четырёхугольника EFGH перпендикулярны, то выполняется равенство 2 +2 =2 +2 (2).

Вычтем из (1) равенства (2), получим 2 2 = 2 2. Отсюда следует, что = , и = . Поэтому треугольник EFG – равнобедренный. Точки E и G, как точки пересечения биссектрис смежных углов, равноудалены от оснований трапеции, AD. Треугольники EFG и АFD

подобны, AD = DА, AD= DА, трапеция равнобедренная.

Задача 4. Число х + является целым. Доказать, что число х3 + также является целым.
Решение.

Воспользуемся формулой = х3 +3 х2 · + 3х· + , откуда следует, что х3 + = - 3 (х + ). Так как куб целого числа является целым числом, 3 (х + ) – целое число, то число х3 + также является целым.


Задача 5. Два приятеля одновременно начали спускаться по движущемуся вниз эскалатору метро, причём один шёл вдвое быстрее другого. Один из них насчитал 60 ступенек, а второй насчитал 40 ступенек. Сколько ступенек пришлось бы им отшагать по неподвижному эскалатору.
Решение.
Пусть S – длина эскалатора, выраженная в ступеньках; у, х, 2х – скорость эскалатора и скорости приятелей, измеряющиеся в числе ступенек, пройденных в единицу времени.

Приятель, который спускался быстрее, затратил на спуск времени, а его путь составил ступенек, второй приятель затратил на спуск времени, а его путь составил ступенек.

Отсюда получаем: , , или =1, S=120 ступенек.
Ответ. 120 ступенек.

Решение заданий по математике

олимпиады вузов Росрыболовства

среди учащихся 9 классов 2013-14 уч. год

II тур.
Задача 1. Найти количество девятизначных чисел, состоящих из цифр 1и 2, у которых две цифры 1 не стоят рядом.
Решение. Разобьём все числа на две группы. К первой отнесём те числа, которые заканчиваются цифрой 1, ко второй отнесём те числа, которые заканчиваются цифрой 2.

Зачеркнём у всех чисел из первой группы последние две цифры 21, тогда мы получим все семизначные числа, у которых никакие две цифры 1 не стоят рядом.

Зачеркнём у всех чисел из второй группы последнюю цифру 2, тогда мы получим все восьмизначные числа, у которых никакие две цифры 1 не стоят рядом.

Таким образом, если обозначить количество п-значных, состоящих из цифр 1и 2, таких у которых две цифры 1 не стоят рядом, через ап , то



ап = ап-2 + ап-1.
Несложно, посчитать что а1 =2 ( это числа 1 и 2), а2=3 ( это числа 21, 12, 22). Далее находим, а3=5; а4=8; а5=13; а6=21; а7=34; а8=55; а9=89.
Ответ. 89.
Задача 2. Биссектрисы углов трапеции образуют при пересечении четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями. Доказать, что трапеция равнобедренная.
Решение.


Пусть EFGH – четырёхугольник, образованный биссектрисами.

Так как АE и ВE – биссектрисы смежных углов трапеции, то =90°. Аналогично, =90°. Поэтому 2 +2 =2 +2 (1).

Кроме того, так как диагонали четырёхугольника EFGH перпендикулярны, то выполняется равенство 2 +2 =2 +2 (2).

Вычтем из (1) равенства (2), получим 2 2 = 2 2. Отсюда следует, что = , и = . Поэтому треугольник EFG – равнобедренный. Точки E и G, как точки пересечения биссектрис смежных углов, равноудалены от оснований трапеции, AD. Треугольники EFG и АFD

подобны, AD = DА, AD= DА, трапеция равнобедренная.

Задача 3. Найти все значения параметра а, при которых уравнение 2х+=0 имеет решение.
Решение.

Сделаем подстановку t=, тогда уравнение примет вид = t , где t (так как наибольшее значение t=1 достигается в вершине параболы при х=1, и одновременно t0).

Рассмотрим функцию f(t)=, которая является монотонной при t. Наше уравнение имеет вид f(f(t))= t, для монотонной функции это уравнение равносильно уравнению f(t) = t.

Поэтому мы приходим к задаче: найти все значения параметра а, при которых уравнение= t имеет решение, если t. Это уравнение равносильно квадратному t

График параболы h(t)= t имеет вершину в точке с абсциссой t=, поэтому симметричен относительно прямой t=. Квадратное уравнение tимеет решение t, если . Решая эту систему находим, .

Ответ..
Задача 4. Два приятеля одновременно начали спускаться по движущемуся вниз эскалатору метро, причём один шёл вдвое быстрее другого. Один из них насчитал 60 ступенек, а второй насчитал 40 ступенек. Сколько ступенек пришлось бы им отшагать по неподвижному эскалатору.
Решение.
Пусть S – длина эскалатора, выраженная в ступеньках; у, х, 2х – скорость эскалатора и скорости приятелей, измеряющиеся в числе ступенек, пройденных в единицу времени.

Приятель, который спускался быстрее, затратил на спуск времени, а его путь составил ступенек, второй приятель затратил на спуск времени, а его путь составил ступенек.

Отсюда получаем: , , или =1, S=120 ступенек.
Ответ. 120 ступенек.


Задача 5. Число х + является целым. Доказать, что число х3 + также является целым.
Решение.

Воспользуемся формулой = х3 +3 х2 · + 3х· + , откуда следует, что х3 + = - 3 (х + ). Так как куб целого числа является целым числом, 3 (х + ) – целое число, то число х3 + также является целым.



Решение заданий по математике

олимпиады вузов Росрыболовства

среди учащихся 10 классов 2013-14 уч. год

I I тур.
Задача 1. В первом туре конкурса юных математиков приняли участие 50 школьников. Им предложили решить две задачи. Для прохождения в следующий тур необходимо правильно решить хотя бы одну задачу. После подведения итогов оказалось, что с первой задачей справились 72% участников, со второй задачей справились 66% участников, обе задачи решили 40% участников. С какой вероятностью можно утверждать, что участник решил первую задачу, если известно, что он прошёл в следующий тур?
Решение.

С первой задачей справились 0,75·50=36 участников, со второй задачей справились 0,66·50=33 участника, обе задачи решили 0,4·50=20 участников. Выполнили хотя бы одну задачу 36+33-20=49 участников. Искомая вероятность р = .



Ответ. р = .
Задача 2. Найти количество десятизначных чисел, состоящих из цифр 1и 2, у которых две цифры 1 не стоят рядом.
Решение. Разобьём все числа на две группы. К первой отнесём те числа, которые заканчиваются цифрой 1, ко второй отнесём те числа, которые заканчиваются цифрой 2.

Зачеркнём у всех чисел из первой группы последние две цифры 21, тогда мы получим все восьмизначные числа, у которых никакие две цифры 1 не стоят рядом.

Зачеркнём у всех чисел из второй группы последнюю цифру 2, тогда мы получим все девятизначные числа, у которых никакие две цифры 1 не стоят рядом.

Таким образом, если обозначить количество п-значных, состоящих из цифр 1и 2, таких у которых две цифры 1 не стоят рядом, через ап , то



ап = ап-2 + ап-1.
Несложно, посчитать что а1 =2 ( это числа 1 и 2), а2=3 ( это числа 21, 12, 22). Далее находим, а3=5; а4=8; а5=13; а6=21; а7=34; а8=55; а9=89; а10=144.
Ответ. 144.
Задача 3. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и ВТ. Известно, что АВ=5, МТ=3. Во сколько раз площадь треугольника АВС больше площади треугольника СМТ.
Решение.

Треугольник АМС – прямоугольный, СМ =АС·. Треугольник ВТС – прямоугольный, СТ=ВС·. Поэтому Δ АВС ΔСМТ (по двум сторонам и углу между ними) с коэффициентом подобия к==.

Так как площади относятся как квадрат коэффициента подобия, то площадь треугольника АВС больше площади треугольника СМТ враз .
Ответ..
Задача 4. Найти все значения параметра а, при которых уравнение 2х+=0 имеет решение.
Решение.

Сделаем подстановку t=, тогда уравнение примет вид = t , где t (так как наибольшее значение t=1 достигается в вершине параболы при х=1, и одновременно t0).

Рассмотрим функцию f(t)=, которая является монотонной при t. Наше уравнение имеет вид f(f(t))= t, для монотонной функции это уравнение равносильно уравнению f(t) = t.

Поэтому мы приходим к задаче: найти все значения параметра а, при которых уравнение= t имеет решение, если t. Это уравнение равносильно квадратному t

График параболы h(t)= t имеет вершину в точке с абсциссой t=, поэтому симметричен относительно прямой t=. Квадратное уравнение tимеет решение t, если . Решая эту систему находим, .

Ответ..
Задача 5. Решить уравнение. .
Решение. Сделаем подстановку t=, так как , то t.

, поэтому уравнение сводится к квадратному 2+ t3=0.

Среди корней этого уравнения t= , t=1.


, , где n
Или , где n
Ответ. , где n

Решение заданий по математике

олимпиады вузов Росрыболовства

среди учащихся 11 классов 2013-14 уч. год

I I тур.



Задача 1. Найти количество одиннадцатизначных чисел, состоящих из цифр 1и 2, у которых две цифры 1 не стоят рядом.
Решение. Разобьём все числа на две группы. К первой отнесём те числа, которые заканчиваются цифрой 1, ко второй отнесём те числа, которые заканчиваются цифрой 2.

Зачеркнём у всех чисел из первой группы последние две цифры 21, тогда мы получим все девятизначные числа, у которых никакие две цифры 1 не стоят рядом.

Зачеркнём у всех чисел из второй группы последнюю цифру 2, тогда мы получим все десятизначные числа, у которых никакие две цифры 1 не стоят рядом.

Таким образом, если обозначить количество п-значных, состоящих из цифр 1и 2, таких у которых две цифры 1 не стоят рядом, через ап , то



ап = ап-2 + ап-1.
Несложно, посчитать что а1 =2 ( это числа 1 и 2), а2=3 ( это числа 21, 12, 22). Далее находим, а3=5; а4=8; а5=13; а6=21; а7=34; а8=55; а9=89; а10=144, а11=233.
Ответ. 233.
Задача 2. Решить уравнение. .
Решение. Сделаем подстановку t=, так как , то t.

, поэтому уравнение сводится к квадратному 2+ t3=0.

Среди корней этого уравнения t= , t=1.


, , где n
Или , где n
Ответ. , где n
Задача 3. В первом туре конкурса юных математиков приняли участие 50 школьников. Им предложили решить две задачи. Для прохождения в следующий тур необходимо правильно решить хотя бы одну задачу. После подведения итогов оказалось, что с первой задачей справились 72% участников, со второй задачей справились 66% участников, обе задачи решили 40% участников. С какой вероятностью можно утверждать, что участник решил первую задачу, если известно, что он прошёл в следующий тур?
Решение.

С первой задачей справились 0,75·50=36 участников, со второй задачей справились 0,66·50=33 участника, обе задачи решили 0,4·50=20 участников. Выполнили хотя бы одну задачу 36+33-20=49 участников. Искомая вероятность р = .



Ответ. р = .
Задача 4. При каких значениях параметра а уравнение

= имеет решение?
Решение. Преобразуем правую часть уравнения:

= или
Отсюда следует, что, что равносильно системе .
Из первого уравнения выражаем х=а2, подставляем во второе уравнение: .
. Это уравнение имеет два решения: а =1; а =.

Следовательно, исходное уравнение имеет решение при а =1; а =.



Ответ. а =1; а =.
Задача 5. В прямом круговом конусе сумма образующей и радиуса его основания равна 3. Какие значения может принимать объём шара, вписанного в конус?

Решение.

Обозначим длину образующей конуса l , радиус его основания r, радиус шара, вписанного в конус R. По условию задачи l + r = 3.

Рассмотрим осевое сечение конуса равнобедренный ΔFPK, PH его высота.

Точка О – центр шара, вписанного в конус, является также центром круга, вписанного в ΔFPK. ОH=ОL= R.



ΔPHK ΔPLO, ⇒ .

Так как =KL=r, ⇒ PL = l - r . По теореме Пифагора находим = .

=, откуда находим, что ====.
R=.
Выразим объём шара, вписанного в конус, как функцию радиуса основания конуса r.
; , где r.
Найдём множество значений функции .


.
Ишем критические точки из условия ;

.

При переходе через точку производная изменяет свой знак с «+» на «», поэтому является точкой максимума. Так как на открытом интервале функция имеет единственную точку экстремума, точку максимума, то в этой точке функция достигает своего наибольшего значения ==.



Если ; если , . Поэтому множеством значений непрерывной на функции является промежуток (0; ].
Ответ. (0; ].

Похожие:

Решение заданий по математике iconПримеры дидактических материалов (индивидуальных карточек заданий) по математике
Примеры дидактических материалов (индивидуальных карточек заданий) для повышения уровня языковой компетенции детей-инофонов в рамках...
Решение заданий по математике iconГеометрическое задание егэ по математике
Геометрическое задание егэ по математике базового уровня. Начнем с прямоугольного треугольника, ведь основная масса заданий связанна...
Решение заданий по математике iconСборник тестовых заданий по математике для 5-6 классов
Компьютерный набор, корректуру и редактирование сборника
Решение заданий по математике iconБанк заданий для индивидуальной работы обучающихся по подготовке к егэ по математике Перечень учебных изданий

Решение заданий по математике iconБанк заданий для индивидуальной работы обучающихся по подготовке к итоговой аттестации в 9 классе по математике

Решение заданий по математике iconПрограмма элективного курса по математике, 9 класс «Решение задач по планиметрии»

Решение заданий по математике iconПрограмма спецкурса по физике для 7 класса: «Познай физику в задачах и экспериментах»
Целью данного спецкурса является развитие интеллектуальных умений учащихся через выполнение экспериментальных заданий и решение качественных...
Решение заданий по математике iconСборник задач по стереометрии. Мазур лариса ивановна, учитель математики мбоу сош №1
Задачи по геометрии включены в варианты заданий егэ. Однако эти задачи вызывают затруднения у школьников. Поэтому возникла идея приобщить...
Решение заданий по математике iconПрограмма вступительного испытания по математике Объяснительная записка
Вступительные испытания проводятся в форме контрольной работы, содержащей 10 заданий, оценивается по стобалльной шкале, в соответствие...
Решение заданий по математике iconПрактикум по выполнению типовых тестовых заданий егэ
Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий егэ: 2010. Биология. Никишова Е. А., Шаталова С. П. (2010, 192с.)
Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com