Понятие несобственного интеграла первого и второго рода. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
Признак сравнения сходимости несобственных интегралов в форме неравенств и в предельной форме.
Признак Дирихле-Абеля.
Основные методы интегрирования несобственных интегралов.
Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
Понятие функции ограниченной вариации. Теорема о сумме полных вариаций.
Теорема о необходимых и достаточных условиях ограничен-ности вариации функции.
Понятие интеграла Стилтьеса и его свойства.
Формула для вычисления интеграла Стилтьеса.
Пространство . Сходимость и полнота в . Критерий компактности в
Пространство . Неравенство Коши-Буняковского для векторов.
Непрерывные функции в Непрерывность отображений конечномерных пространств.
Равномерная непрерывность функций в Теорема Кантора.
Квадратичные формы. Лемма о знакоопределенных квадратичных формах. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм (без доказательства).
Понятие дифференцируемости функции многих переменных. Необходимое условие дифференцируемости.
Понятие частной производной. Первое достаточное условие дифференцируемости.
Теорема о дифференцировании сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Правила дифференцирования.
Производная по направлению. Градиент функции и его свойства.
Геометрический смысл дифференциала функции. Касательные и нормальный векторы поверхности.
Частные производные высших порядков. Теоремы Шварца и Юнга. Второе достаточное условие дифференцируемости.
Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функций многих переменных с остаточным членом в форме Пеано.
Формула Тейлора для функций многих переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.
Понятие локального экстремума функции многих переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума функции многих переменных.
Теорема о неявной функции.
Теорема о системе неявных функций и следствие из нее.
Понятие условного экстремума функции многих переменных и методы его нахождения: метод исключения (прямой метод), метод множителей Лагранжа. Экстремум функции на множестве.
Общие правила получения оценок
«3» балла
0 уровень. Отчитаться по всем семестровым работам по всем задачам.
1 уровень. Определения и формулировки. Простое выборочное воспроиз-ведение формулировок и определений из программы.
«4» балла
0 уровень. Отчитаться по всем семестровым работам по всем задачам.
1 уровень. Определения и формулировки. Простое выборочное воспроиз-ведение формулировок и определений из программы.
2 уровень. Уметь доказывать приведенные в программе теоремы, леммы и утверждения. Комментировать доказательства.
«5» баллов
0 уровень. Отчитаться по всем семестровым работам по всем задачам.
1 уровень. Определения и формулировки. Простое выборочное воспроиз-ведение формулировок и определений из программы.
2 уровень. Уметь доказывать приведенные в программе теоремы, леммы и утверждения. Комментировать доказательства.
3 уровень. Уметь строить контрпримеры и решать теоретические задачи на применение различных теорем.