Программы экзамена по курсу «Математический анализ» за 2-ой семестр 1-го курса для студентов дневного отделения имэи игу, обучающихся по направлению

1. 
   Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
   
2. 
   Основные методы интегрирования неопределенного интеграла.
   
3. 
   Понятие определенного интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости. Геометрический смысл определенного интеграла.
   
4. 
   Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу и их свойства.
   
5. 
   Понятие верхнего и нижнего интегралов Дарбу. Критерий Римана интегрируемости функции.
   
6. 
   Классы функций интегрируемых по Риману.
   
7. 
   Свойства определенного интеграла.
   
8. 
   Понятие множества Лебеговской меры нуль и их свойства.
   
9. 
   Критерий непрерывности функции в точке в терминах колеба-ния функции в точке.
   
10. 
    Критерий Лебега-1 интегрируемости функции по Риману. Аль-тернативная формулировка критерия Лебега-2.
    
11. 
    Интегрируемость сложной и монотонной функций.
    
12. 
    Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница.
    
13. 
    Основные методы интегрирования определенного интеграла.
    
14. 
    Первая теорема о среднем для определенного интеграла и следствия из нее.
    
15. 
    Вторая теорема о среднем для определенного интеграла и следствия из нее.
    
16. 
    Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
    
17. 
    Неравенства содержащие интегралы (неравенства Гельдера, Минковского, Коши-Буняковского).
    
18. 
    Понятие несобственного интеграла первого и второго рода. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
    
19. 
    Признак сравнения сходимости несобственных интегралов в форме неравенств и в предельной форме.
    
20. 
    Признак Дирихле-Абеля.
    
21. 
    Основные методы интегрирования несобственных интегралов.
    
22. 
    Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
    
23. 
    Понятие функции ограниченной вариации. Теорема о сумме полных вариаций.
    
24. 
    Теорема о необходимых и достаточных условиях ограничен-ности вариации функции.
    
25. 
    Понятие интеграла Стилтьеса и его свойства.
    
26. 
    Формула для вычисления интеграла Стилтьеса.
    
27. 
    Пространство . Сходимость и полнота в . Критерий компактности в
    
28. 
    Пространство . Неравенство Коши-Буняковского для векторов.
    
29. 
    Непрерывные функции в Непрерывность отображений конечномерных пространств.
    
30. 
    Равномерная непрерывность функций в Теорема Кантора.
    
31. 
    Квадратичные формы. Лемма о знакоопределенных квадратичных формах. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм (без доказательства).
    
32. 
    Понятие дифференцируемости функции многих переменных. Необходимое условие дифференцируемости.
    
33. 
    Понятие частной производной. Первое достаточное условие дифференцируемости.
    
34. 
    Теорема о дифференцировании сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Правила дифференцирования.
    
35. 
    Производная по направлению. Градиент функции и его свойства.
    
36. 
    Геометрический смысл дифференциала функции. Касательные и нормальный векторы поверхности.
    
37. 
    Частные производные высших порядков. Теоремы Шварца и Юнга. Второе достаточное условие дифференцируемости.
    
38. 
    Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функций многих переменных с остаточным членом в форме Пеано.
    
39. 
    Формула Тейлора для функций многих переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.
    
40. 
    Понятие локального экстремума функции многих переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума функции многих переменных.
    
41. 
    Теорема о неявной функции.
    
42. 
    Теорема о системе неявных функций и следствие из нее.
    
43. 
    Понятие условного экстремума функции многих переменных и методы его нахождения: метод исключения (прямой метод), метод множителей Лагранжа. Экстремум функции на множестве.
    

Общие правила получения оценок