Программа вступительного экзамена Направление подготовки: 01. 06. 01 Математика и механика Раздел 1 Научная специальность

ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет»

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по научной работе

__________________ Е.Н. Пузанкова

«_____» _______________ 2014 г.

Программа вступительного экзамена
Направление подготовки: 01.06.01 Математика и механика

Раздел 1
Научная специальность:

Кафедра геометрии и методики преподавания математики

Орел 2014 г.
1. Вопросы программы вступительного экзамена по специальности 01.01.01. – Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Раздел 1

Теоремы о существовании неявной функции. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Теорема о существовании интеграла Римана. Несобственные интегралы, признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Интегрирование и дифференцирование интегралов по параметру.

Функции комплексного переменного. Условия Коши – Римана. Интеграл по контуру. Теорема Коши. Формула Коши. Интеграл типа Коши и его свойства. Формулы Сохоцкого. Принцип максимума, теорема Лиувилля. Ряды аналитических функций, теоремы Вейерштрасса. Степенные ряды, теорема единственности. Ряд Тейлора и ряд Лорана. Поведение функции в окрестности особой точки, теорема Сохоцкого. Вычеты и их свойства.

Метрические пространства. Теорема о пополнении. Топологические пространства. Сравнение топологий. Непрерывные отображения топологических пространств. Гемеоморфные отображения. Способы задания то-пологий. Индуцированная топология и фактор-топология. Сходимость в топологических пространствах. Компактные топологические пространства и их свойства. Теорема Гейне – Бореля о структуре компактных множеств в Rn.

Декартово произведение топологических пространств. Теорема Тихонова о декартовом произведении компактных пространств. Локально компактные пространства и их свойства. Компактные расширения локально компактных пространств. Связные пространства и их свойства.

Мера Лебега и ее свойства. Борелевская алгебра на числовой прямой (числовой плоскости), измеримые функции. Измеримые по Борелю функции. Сходимость почти всюду. Теорема Егорова. Сходимость по мере и ее связь со сходимостью почти всюду, интеграл Лебега и его свойства. Предельный переход под знаком интеграла. Почленное интегрирование сходящихся рядов. Теорема Фату. Произведение мер. Теорема Фубини.

Заряды (обобщенные меры). Теорема Хана, Неопределенный интеграл Лебега. Теорема Радона – Никодима. Понятие σ-конечной меры. Определенный интеграл по σ-конечной мере.

Раздел 5

Теорема Бэра о категориях. Линейное нормированное пространство. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве. Банахово пространство линейных ограниченных операторов L(E,F). Сопряженное пространство. Теорема Банаха – Хана для полунорм. Принцип равномерной ограниченности. Понятие топологического линейного пространства. Слабая топология в линейном нормировано м пространстве. Абстрактное гильбертово пространство. Теорема об ортогональном разложении. Тео-рема Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала. Ортонормированные системы. Ряды Фурье. Существование полных ортонормированных систем. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств.

Обратимые линейные операторы в банаховых пространствах. Тео-рема Банаха об обратном операторе. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Сопряженный оператор. Замкнутый оператор. Регулярные точки и спектр линейного ограниченного оператора. Классификация точек спектра. Ограниченность, замкнутость, непустота спектра. Свойства спектра вполне непрерывного оператора. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Свойства спектра самосопряженных операторов. Существование ненулевых собственных значений у вполне непрерывного самосопряженного оператора.

Принцип сжатых отображений и его применение к доказательству существования и единственности решения дифференциального уравнения и интегрального уравнения Фредгольма с малым параметром. Относительно компактные множества, критерий Хаусдорфа и Фреше. Теорема Арчела.

Теория Рисса-Шаудера. Нормальная разрешимость оператора Фред-гольма. Теорема Фредгольма. Интегральные уравнения Фредгольма в пространствах L2(a,b) и C(a,b). Случай вырожденного ядра.

Уравнение Фредгольма в абстрактном гильбертовом пространстве. Теория Гильберта – Шмидта. Приложение к интегральным уравнениям с симметрическим ядром. Нелинейный анализ. Непрерывность и дифференцируемость оператора. Производная Фреше и ее свойства. Необходимое условие экстремума функционала. Простейшие задачи вариационного исчисления и уравнение Эйлера-Лагранжа.

Раздел 7

Разложение единиц (проекторные меры). Операторные интегралы Стилтьеса. Спектральное разложение самосопряженных операторов. Интегральное представление группы унитарных операторов. Функции от самосопряженного оператора. Оператор дифференцирования.

Полиномы наилучшего равномерного приближения. Теоремы Чебышева и Бореля. Полиномы Чебышева первого рода. Прямые теоремы конструктивной теории функций. Теоремы Джексона и их обобщения (периодический и непериодический случаи). Обратные теоремы конструктивной теории функций. Теоремы Бернштейна и Зигмунда.

Суммы Фурье, Фейера, Валле-Пуссена, Бернштейна – Рогозинского и их важнейшие свойства. Наилучшие приближения в нормированных пространствах. Положительные операторы и функционалы. Приложения в конструктивной теории функций. Алгебраическое и тригонометрическое интерполирование. Положительные и отрицательные результаты. Аппроксимация в среднем интерполяционными полиномами. Аппроксимация и интерполяция сплайнами. Теоремы типа Джексона. Экстремальные свойства сплайнов. Квадратурные формулы. Экстремальные задачи теории квадратур. Теорема Банаха – Штейнгауза и ее приложения к конструктивной теории функций.

Раздел 9

Геометрический смысл дифференцируемости функции комплексного переменного. Понятие конформного отображения. Свойства дробно-линейной функции (единственность, однолистность, круговое сохранение симметричных точек). Геометрические свойства элементарных функций. Лемма Шварца и теорема Римана. Принцип соответствия границ. Аналитическое продолжение по непрерывности. Принцип симметрии. Ветви и точки ветвления. Общее понятия о римановых поверхностях.

Связь ядер Коши и Шварца. Формула Гильберта. Регуляризующий множитель для задачи Гильберта. Задача Гильберта с разрывными коэффициентами в полуплоскости. Смешанная краевая задача. Задача Дирихле и ее видоизменения для плоскости со щелями. Задача Римана в односвязной и многосвязной областях. Постановка обратных краевых задач. Решение внутренней и внешней задачи. О числе решений внешней задачи. Особые точки контура. Однолистная разрешимость обратных краевых задач.

1. 
   Голубев Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. - М.: Наука, 1987.
   
2. 
   Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл Лебега. – М.: Факториал Пресс, 2002.
   
3. 
   Ефимов А.В. Математический анализ. Специальные разделы, ч.1,2. - М., 1980.
   
4. 
   Иосида К. Функциональный анализ. - М. ЛКИ, 2007.
   
5. 
   Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. Изд. 2. – М.: АФЦ, 1999.
   
6. 
   Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М. Наука, 1976.
   
7. 
   Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1989.
   
8. 
   Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1,2. - М., 1981.
   
9. 
   Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М, Наука, 1965.
   
10. 
    Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. – СПб.: Лань, 1999.
    
11. 
    Садовничий В.А. Теория операторов. М., Дрофа, 2004 г.
    
12. 
    Хелемский A.Я. Лекции по функциональному анализу. М.: МЦНМО, 2009.
    
13. 
    Элварс Р. Ряды Фурье в современном изложении. В 2-х томах.- М.: Мир,1985.
    

1. 
   Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М. Наука, 1967.
   
2. 
   Канторович Л. В. Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. - М.: Наука, 1954.
   
3. 
   Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. - М.: Мир, 1967.
   
4. 
   Шефер Х. Топологические векторные пространства. - М.: Мир, 1971.
   
5. 
   Эдвардс Р. Функциональный анализ. - М. Мир, 1969.
   

MathNet www.math-net.ru

ilib.mccme.ru – библиотека Московского центра непрерывного математического образования

www.rsl.ru – Российская государственная библиотека

www.nlr.ru – Российская национальная библиотека

www.bookchamber.ru – Российская книжная палата

mars.udsu.ru – Межрегиональная аналитическая роспись статей

Math.ru www.math.ru

Зав. кафедрой геометрии и методики

преподавания математики О.В. Тарасова
Начальник отдела аспирантуры и

докторантуры С.П. Вигурская