Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочного отделения Варианты контрольной работы Киров 2010
|
Скачать 316,12 Kb.
|
                 
Высшая математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочного отделения Варианты контрольной работы Киров 2010 СОДЕРЖАНИЕ Введение 4 Основные определения и теоремы 4 Вопросы для самоконтроля 8 Список рекомендуемой литературы 9 Задачи для практических занятий 9 Требования к оформлению контрольной работы 11 Разбор варианта контрольной работы 12 Варианты контрольной работы 15
Введение Методические рекомендации предназначены для студентов заочного отделения всех специальностей Русского университета инноваций и имеют своей целью помочь студентам в освоении курса «Теория вероятностей». Методы теории вероятностей используются при изучении массовых явлений, обработке результатов наблюдения и выявлении статистических закономерностей, в теории надежности, теории массового обслуживания. Теория вероятностей является теоретической базой статистических дисциплин, изучаемых студентами на старших курсах. Поэтому теория вероятностей занимает важное место во всем курсе высшей математики. Между экономическими явлениями действуют многосторонние связи, и на их изменения оказывает влияние множество факторов, действующих по-разному в различные моменты времени, то есть изменения носят случайный характер. Поэтому определение общих закономерностей из наблюдаемых случайных явлений становится особенно важным. В достижении этой цели большую роль играет теория вероятностей, методы которой позволяют выделить общие закономерности, охарактеризовать процессы и явления «в среднем», «с данной степенью достоверности». Основная трудность в изучении этого курса состоит в том, что для успешного его освоения надо научиться переводить жизненные ситуации на теоретико-вероятностный язык, пользуясь абстрактно-логическими рассуждениями. Для преодоления этих трудностей надо решить достаточно много задач. В настоящем пособии приведены основные понятия комбинаторики и теории вероятностей, дан список задач для практических занятий, основные вопросы, которые обычно бывают включены в экзаменационные билеты, приведены решения основных типов задач, даны варианты контрольной работы и список рекомендуемой литературы. Основные понятия комбинаторики и теории вероятностей Решение комбинаторных задач заключается в подсчете числа тех или иных выборок из конечных множеств. Сформулируем два основных правила комбинаторики. Правило произведения: Если объект А можно выделить из совокупности объектов т способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то пара объектов (А,В) в указанном порядке может быть выбрана т • п способами. Правило суммы: Если объект А можно выбрать из совокупности объектов т способами, а другой объект В может быть выбран п способами, то выбрать либо А, либо В можно п+т способами. Отметим, что в первом случае мы выбираем А и В, а во втором А либо В. То есть, если нужно выбрать и тот и другой объект, то это можно сделать nm, а если выбирается только один из объектов, не важно какой, то это можно сделать n+т способами. Наблюдаемые нами события можно подразделить на три вида.
Под событием в теории вероятности понимают результат испытания. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Р(А) = m/n т - число элементарных исходов, благоприятствующих А; п - число всех возможных элементарных исходов испытания. Заметим, что вероятность события - неотрицательное число, меньше или равное единице. События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.
Подчеркнем разницу между вероятностью и относительной частотой события. Первая величина вычисляется эмпирически, а вторая получается при эксперименте. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А или события В или обоих этих событий. Произведением двух событий А и В называют событие А•В, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Сумма двух событий соответствует событию «А или В». Произведение - событию «А и В». Условной вероятностью РА (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, то есть
Заметим, что если события несовместны, то они не могут произойти одновременно, то есть вероятность их совместного появления равна нулю. Тогда формула примет вид: Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Теорема 3. Сумма вероятностей несовместных событий А1,А2,...,Ап, образующих полную группу, равна 1: Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Ап) = 1. Теорема 4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: Р(А) + Р(А) =1. Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1,А2,...,Ап, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий А1,А2,...,Ап : А - вероятность появления одного из событий А1, А2,...,Ап, Р(А) = 1-Р(А1) •Р(А2)•...•Р(Ап). Теорема 6. (Формула полной вероятности) Вероятность события А, которая может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,...,Вп, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А : Р(А) = Р(В1)• РВ1 (А) + Р(В2)• РВn (А) +... + Р(Вп)• РВп (А). Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2 ,...,Вп, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности. Допустим, что произведено испытание в результате которого, появилось событие А. Поставим своей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами РА(В1),РА(В2),...,РА(Вп). На этот вопрос отвечают формулы Бейеса:
где Р(А) вычисляется по формуле полной вероятности. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Дискретной (непрерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений может быть конечным или бесконечным. Непрерывной называют величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Законом распределения конечной дискретной величины называют таблицу, в которой занесены все возможные значения этой величины, с указанием вероятностей, с которыми эти значения могут приниматься. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. М(Х) = х1• р1+х2• р2+... + хп • рп Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Свойства математического ожидания: 1. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожида- ний: М(Х•У) = М(Х)•М(У). 2. Математическое ожидание суммы двух случайных величин рав- но сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х + У) = М(Х) + М(У). Способ задания дискретной случайной величины, перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей, не является общим. Он не применим для непрерывных случайных величин. Чтобы получить более общий способ задания случайных величин вводят функции распределения. Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е. F(х) = Р(Х<х). Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция». Свойства функции распределения 1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0, 1]: О ≤ F(х) ≤ 1.
3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, за- ключенное в интервале (а,b), равна приращению функции распре деления на этом интервале: Р(а ≤ Х ≤ b) = F(b) - F(а). 4. Если возможные значения случайной величины принадлежат ин- тервалу (а,b), то 1) F(х) = 0, при х ≤ а; 2) F(х) = 1, при х ≥ b. Вопросы для самоконтроля
4. Несовместимые события; события, образующие полную группу; равновозможные. 5. Вероятность события.
10.Противоположные события. Сумма вероятностей противоположных событий. 11.Уровень значимости. 12.Произведение событий. Условная вероятность событий. Вероятность совместного появления событий. 13.Независимые события. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий. 14.Совместные события. Вероятность суммы двух совместных событий. 15.Формула полной вероятности. 16.Формулы Бейеса. 17.Случайные величины: дискретные и непрерывные. 18.Закон распределения дискретной случайной величины. 19.Сумма и произведение дискретной случайной величины. 20.Математическое ожидание дискретной случайной величины. 21.Петербургский парадокс. 22.Функция распределения случайной величины, ее свойства.
Задачи для практических занятий
ных матчей. Итог каждого матча - победа одной из команд или ничья; счет роли не играет).
10.В классе, в котором 30 учеников, нужно выбрать трех дежурных сколькими способами можно это сделать? 11.Двое играют в следующую игру. Бросают кость четыре раза. Первый выигрывает, если хоть раз выпадет шестерка, второй в противном случае. Для кого вероятность выигрыша больше? 12.В ящике лежат две пары носков. Вы вытаскиваете наугад два носка. Какова вероятность того, что они образуют пару? 13.Рассеянный почтальон случайным образом разносит 4 письма по четырем адресатам. Найдите вероятность того, что к адресату попадет: 1) ровно одно письмо, 2) ровно два письма, 3) ровно три письма, 4) ровно четыре письма, 5) хотя бы одно письмо? 14.Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков. 15.В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной. 16.Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в мишень, равна р=0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание. 17.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, затем из оставшихся четырех - вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) в первый раз; б) во второй раз; в) в оба раза. 18.В студии телевидения 3 телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера. 19.Три команды А1 А2, Аз спортивного общества А состязаются соответственно с тремя командами общества В. Вероятности того, что команды общества А выиграют у команд общества В, таковы: при встрече А1с В1- 0,8; А2 с В2 - 0,4; А3 с В3 - 0,4. Для победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трех. (Ничьи во внимание не принимаются). Победа какого из обществ вероятнее? 20.В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятности выполнить квалификационную норму таковы: для лыжника - 0,9, для велосипедиста - 0,8, для бегуна - 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму. 21.Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую извлеченную наудачу кость можно приставить к первой. 22.Для участия в спортивных студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы курса - 4, из второй - 6, из третьей -5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7; 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего он принадлежал? 23.Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения: X 2 4 3 Y 2 1 р 0,1 0,7 0,2 р 0,4 0,6 Найти математическое ожидание произведения ХY двумя способами: составив закон распределения ХY и пользуясь свойством математического ожидания; найти математическое ожидание суммы Х+Y. Требования к оформлению контрольных работ
Разбор варианта контрольной работы Задача №1 составлена на тему «Элементы комбинаторики». Задача решается непосредственным применением правила произведения или суммы. Важно понять, как именно происходит выбор того или иного объекта, важен ли порядок выбора или нет. Пример: Игральный кубик бросают трижды. Сколько разных последовательностей цифр можно при этом получить? Мы три раза подбрасываем кубик и следим, какая цифра выпала. Каждый раз у нас есть шесть вариантов: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. При этом нам важно, какая цифра выпадает в какой последовательности. Так наборы 3, 4, 5 и 4, 3, 5 для нас различны. По правилу произведения имеем 6•6•6 = 216. Задача №2 на прямое применение определения вероятности события, как отношения числа благоприятствующих событию исходов к общему числу исходов. Пример: Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4. Посчитаем общее количество исходов нашего испытания. На одной из костей может выпасть любое количество очков от 1 до 6 и на второй кости так же шесть вариантов, то есть всего по правилу произведения 6•6 = 36 исходов. Посчитаем количество благоприятных исходов. Их всего 3: на первой кости 1, а на второй кости 3 очка; наоборот, на первой кости 3, а на второй 1 очко; на обеих костях по два очка. А значит, вероятность выпадения четырех очков равна: 3 1
P= = 36 12
В задачах №3 и №4 важно понять на какие более мелкие события разбивается данное событие, и как эти события связаны: должно быть одновременное выполнение их (союз «и»), или важно выполнение одного из них (союз «или»). После чего, следует применить формулу вероятности суммы или произведения. Пример: Три команды А1, А2, Аз спортивного общества А состязаются соответственно с тремя командами общества В. Вероятности того, что команды общества А выиграют у команд общества В, таковы: при встрече А1 с В2 — 0,8; А2 с В2 — 0,4; Аз с Вз — 0,4. Для победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трех. (Ничьи во внимание не принимаются). Победа какого из обществ вероятнее? Для того чтобы ответить на вопрос задачи, нужно знать какова вероятность победы каждого из обществ. Заметим, что победа одного из обществ означает поражение для второго, т. е. события: А - победило общество А и В — победило общество В - являются противоположными, а значит сумма их вероятностей равна единице. Нам достаточно найти вероятность одного из этих событий, пусть А. Для того, чтобы произошло событие А, общество А должно победить по крайней мере в двух матчах, т. е. в двух или в трех. Пусть событие А1 - общество А1 победило у общества В1; событие А2 - общество А2 победило у общества В2; событие А3 - общество А3 победило у общества В3. Тогда событие А можно представить в виде: А= А1 • А2• А3 + А1 • А2 • А3 + А1 • А2 • А3 + А1• А2• А3 События А1 • А2 • А3; А1 • А2 • А3; А1 • А2 • А3; А1 • А2 • А3 являются несовместными, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей. А события А1, А2 и А3 являются независимыми. Поэтому: Р(А) = Р(А1) • Р(А2) • Р(А3) + Р(А1) • Р(А2) • Р(А3) + Р(А1) • Р(А2) • Р(А3)+ + Р(А1) • Р(А2) • Р(А3 ) = 0,8 • 0,4 • 0,4 + 0,8 • 0,4 • (1 - 0,4) + 0,8 • (1 - 0,4) • 0,4+ + (1-0,8)•0,4•0,4 = 0,544 Тогда Р(В) = 1- Р(А) = 1-0,544 = 0,456. То есть победа общества А более вероятна.
Нам требуется найти вероятность события А - лампа, наудачу извлеченная из первой коробки стандартная. Это событие зависит от того, какую лампу - стандартную или нестандартную - мы переложили из второй коробки в первую. Пусть событие В1 - из второй коробки в первую переложили стандартную деталь; В2 - из второй коробки в первую переложили нестандартную деталь. События В1 и В2 несовместны и образуют полную группу событий, то есть мы находимся в условиях формулы полной вероятности. 9 19 1 18 189 Р(А) = Р(В1)-РВ1(А) + Р(В2)•РВ2(А) = • + • = =0,9 10 21 10 21 210 Задача №6 на тему «Математическое ожидание дискретной случайной величины». Пример: 2 стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятности попадания для первого стрелка при одном выстреле — 0,5, для второго — 0,4. Дискретная случайная величина X — число попаданий в мишень. Найти закон распределения и математическое ожидание величины X. Наша дискретная величина может принимать 3 значения: 0 -никто не попал, 1 - один попал, а второй нет, 2 - оба стрелка попали. Составим закон распределения:
Математическое ожидание равно: М(Х) = 0 • 0,3 +1 • 0,5 + 1 • 0,5+2 • 0,2 = 0,9. Задача №7 на тему «Функция распределения случайной величины». Пример: Дискретная случайная величина задана таблицей распределения:
Найти функцию распределения и начертить ее график. Если x ≤1, то F(х)= 0 (четвертое свойство). Если 1 ≤ х ≤ 4, то F(х) = 0,3. Действительно X может принять значение 1 с вероятностью 0,3. Если 4 < х ≤ 8, то F(х) = 0,4, как сумма 0,3+0,1. Если х > 8, то F(х) =1. Так как событие X ≤ 8 является достоверным. Итак функция распределения аналитически может быть записана как: 0, при х≤1 F(х)= 0,3, при 1<х≤4 1 0,4,при 4<х≤8 1,при х>8 8 4 1 0 X Варианты контрольной работы Контрольная работа составлена в пяти вариантах, выбор которого зависит от начальной буквы фамилии студента:
ВАРИАНТ№1
ВАРИАНТ №2
Найдите функцию распределения F(х) и используя ее, найдите вероятность события х ≤ 1. Постройте график функции F(х). ВАРИАНТ №З
дачу изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется первого сорта.
Найдите функцию распределения F(х) и используя ее, найдите вероятность события х ≤ 2. Постройте график функции F(х). ВАРИЛНТ №4
X 1 2 Y 0,5 1 р 0,2 0,8 р 0,3 0,7 Найти математическое ожидание произведения ХУ двумя способами: составив закон распределения ХУ и пользуясь свойством математического ожидания .
Найдите функцию распределения F(х) и используя ее, найдите вероятность события х ≤ 0. Постройте график функции F(х). ВАРИАНТ №5 1 Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок одинаковой стоимости. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма? Какова вероятность, что в написанном на удачу трехзначном числе 2 цифры одинаковые, а третья отличается от них? В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу достает 4 детали. Найти вероятность того, что все взятые детали окрашены.
Чему равна вероятность Р4? Найти математическое ожидание дискретной случайной величины. 7. Дискретная случайная величина X задана таблицей распределения:
Найдите функцию распределения F(х) и используя ее, найдите вероятность события х ≤ 0. Постройте график функции F(х). |
