Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов заочной формы обучения



Скачать 256,12 Kb.
Дата17.06.2015
Размер256,12 Kb.
ТипПрограмма

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА “МАТЕМАТИКА”

ПРОГРАММА И ВАРИАНТЫ




К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №1

по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика»


ДЛЯ СТУДЕНТОВ

ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

Ростов-на-Дону, 2013

Составители: Волокитин Г.И., Лисицына С.О., Редько Ю.С.
Программа и варианты контрольной работы №1 для студентов заочной формы обучения: Методические указания / ДГТУ. Ростов-на-Дону, 2013

Приводится программа по разделам курса: теория вероятностей, случайные величины, математическая статистика, а также варианты контрольной работы Даны основные определения и формулы по курсу теории вероятностей, используемые при решении контрольных заданий, а также образцы решений задач.



Номер варианта студент определяет по последней цифре номера зачетной книжки.

Рецензент Ларченко В.В.

Научный редактор Федосеев В.Б.

 Издательский центр ДГТУ, 2013



ПРОГРАММА


по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов заочной формы обучения


  1. Понятие случайного события. Алгебраические операции над событиями. Множество элементарных событий.

  2. Алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности события. Вероятностное пространство.

  3. Классическое определение вероятности события.

  4. Статистическое определение вероятности события.

  5. Геометрическое определение вероятности события.

  6. Элементы комбинаторики. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме.

  7. Определение условной вероятности. Независимость событий.

  8. Вероятности сложных событий. Формулы умножения вероятностей. Теоремы сложения вероятностей.

  9. Формула полной вероятности, формулы Байеса.

  10. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли.

  11. Предельные теоремы в схеме Бернулли: формулы Муавра-Лапласа и Пуассона.

  12. Определение случайной величины. Дискретные случайные величины (ДСВ) и случайные величины непрерывного типа (СВНТ).

  13. Закон распределения ДСВ.

  14. Числовые характеристики ДСВ: математическое ожидание, дисперсия и другие моменты. Свойства математического ожидания и дисперсии.

  15. Примеры ДСВ.

  16. Задание СВНТ функцией распределения и функцией плотности вероятностей. Свойства этих функций.

  17. Числовые характеристики СВНТ.

  18. Совместное распределение нескольких случайных величин. Функции случайных величин и их числовые характеристики.

  19. Независимость случайных величин.

  20. Примеры непрерывных распределений: равномерное, нормальное и показательное.

  21. Ковариация, коэффициент корреляции.

  22. Неравенство Чебышова. Закон больших чисел. Теорема Чебышова.

  23. Понятие о предельных теоремах. Центральная предельная теорема для суммы одинаково распределенных слагаемых. Теорема Ляпунова.

  24. Математическая статистика. Выборка и способы ее представления. Числовые характеристики выборочного распределения.

  25. Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности по выборке (точечные оценки и их свойства).

  26. Интервальные оценки. Доверительный интервал, надежность и точность оценки.

  27. Доверительный интервал для центра нормального распределения при известной дисперсии.

  28. Доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения нормального распределения.

  29. Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона.

  30. Элементы регрессионного анализа и метод наименьших квадратов. Линейная регрессия. Характер связи и его оценивание по коэффициенту корреляции.

Рекомендуемая литература

Основная

  1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1998.

  2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М: Высшая школа, 1999.

Дополнительная

    1. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ, 2000.

    2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей – М.: Высшая школа, 1998.

    3. Сборник задач по математике для вузов Ч. З. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для втузов / Под редакцией А. В. Ефимова. – М.: Наука, 1990.

Контрольная работа №1
Задача №1 (Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме).

Варианты 1, 2

В магазин поступило n телевизоров. Из них k имеют скрытые дефекты. Покупателю для выбора наудачу предложено l телевизоров. Какова вероятность того, что все предложенные покупателю изделия не содержат дефектов?

1. n=30, k=3, l=2.

2. n=20, k=2, l=3.



Варианты 3,4

Из партии, содержащей n изделий, среди которых k бракованных, наудачу извлекают m изделий для контроля. Найти вероятности следующих событий: А={в полученной выборке ровно l бракованных изделий}, B={в полученной выборке нет бракованных изделий}.

3. n=10, k=3, l=1, m=4.

4. n=12, k=3, l=2, m=5



Варианты 5,6

Имеются два ящика с деталями. В первом n деталей, из них m годных. Во втором ящике N изделий, из них M годных. Сборщик наудачу выбрал по одной детали из каждого ящика. Найти вероятность того, что обе выбранные детали годные. Какова вероятность того, что обе выбранные детали бракованные?

5. n=12, m=8, N=8, M=7.

6. n=14, m=10, N=6, M=4.



Варианты 7,8

Группа, состоящая из 8 человек, занимает места с одной стороны прямоугольного стола. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом, если:

7. число мест равно 8.

8. число мест равно 12.



Варианты 9,10

Из урны, содержащей m+n шаров, из которых m белых и n черных, на удачу отбирают k шаров и откладывают в сторону. Найти вероятности следующих событий: A={все отложенные шары белые}, B={среди отложенных шаров ровно l белых}.

9. m=10, n=6, k=5, l=3.

10. m=8, n=12, k=6, l=4.


Задача №2 (Геометрическое определение вероятности)

Иванов и Петров договорились о встрече в определенном месте между 11 и 12 часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет товарища не более t минут (для нечетных вариантов t=15 минут, для четных – t=20 минут), после чего уходит. Наблюдаемый результат – пара чисел (x,y), где x – время появления Петрова, y – время появления Иванова (время исчислять в минутах). Построить множество элементарных событий Ω и подмножество, соответствующее событию, указанному в Вашем варианте. Найти вероятность этого события.



Варианты 1,2

Событие A={встреча состоялась}.



Варианты 3,4

Событие B={Петров ждал Иванова все обусловленное время и не дождался}.



Варианты 5,6

Событие C={Иванову не пришлось ждать Петрова}.



Варианты 7,8

Событие D={встреча состоялась после 11 часов 30 минут}.



Варианты 9,10

Событие E={Иванов опоздал на встречу}.



Задача № 3 (Вероятности сложных событий и применение теорем сложения и умножения)
Электрическая цепь прибора составлена по схеме, приведенной на рисунке Вашего варианта. Событие Ak={k-ый элемент вышел из строя}. k=1,2,…,6. Отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Известна надежность k-го элемента (соответственно - вероятность отказа). Событие B={разрыв цепи}. Выразить событие B в алгебре событий Ak. Найти вероятность отказа прибора и вероятность надежности схемы. p1=p2=0.9, p3=p4=0.8, p5=p6=0.85.

Вариант 1






Вариант 2


Вариант 3


Вариант 4

Вариант 5



Вариант 6

Вариант 7




Вариант 8




Вариант 9





Вариант 10



Вариант 10


Задача № 4 (Формула полной вероятности и формула Байеса)

Варианты № 1, 2


В сборочный цех поступает некоторая деталь с трёх станков-автоматов. Среди изделий первой линии % стандартных, у второй линии %, % - у третьей линии. Объём продукции первой линии %, второй линии %. Определить вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется бракованной. Определить вероятность того, что деталь изготовлена на третьей линии, если оказалось, что она бракованная.

1. =98% , =95% , =92% , =40% , =30%.

2. =97%, =96%, =95% , =45% , =35%.

Варианты № 3, 4


В тире имеется три вида винтовок: - первого типа, - второго типа, -третьего типа. Вероятность попадания в цель из винтовок первого типа , второго типа , третьего типа . После выстрела из винтовки, выбранной наудачу, цель была поражена. Какова вероятность того, что выстрел был сделан из винтовки третьего типа?

3. =3, =4, =3, =0.9, =0.85, =0.65.

4. =1, =3, =5, =0.65, =0.7, =0.75.


Варианты № 5,6


В магазин поступают телевизоры с трёх заводов. С первого завода поступает % телевизоров со скрытыми дефектами, % со второго завода и % с третьего завода. Какова вероятность того, что в магазин привезут исправный телевизор, если известно, что с первого завода поступило телевизоров , со второго , с третьего ?

5. =10%, =5%, =6%, =3, =3, =4.

6. =15%, =10%, =15%, =5, =3, =2.

Варианты № 7,8


В ящике n теннисных мячей. Из них игранных m. Для первой игры наудачу взяли два мяча и после игры их положили обратно. Для второй игры также наудачу взяли два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

7. n=10, m=2.

8. n=12, m=4.

Варианты № 9,10

Три стрелка произвели по выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания у них соответственно р1, р2, р3. В мишени оказались две пробоины. Определите вероятность промаха n-го стрелка.

9. р1 =0.5, р2=0.7, р3 =0.9, n=1.

10. р1 =0.6, р2=0.8, р3 =0.9, n=2.



Задача № 5 (Схема испытаний Бернулли и предельные теоремы в схеме Бернулли)

Варианты №1,2,3


Вероятность выигрыша в лотерею по одному билету равна р. Куплено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

1. p=0.3, n=15.

2. p=0.4, n=12.

3. p=0.2, n=8.


Варианты № 4,5


В семье n детей. Считая вероятность рождения мальчика и девочки по 0.5, определить вероятность того, что в данной семье мальчиков не менее k, но не более m.

4. n=6, k=3, m=5.

5. n=7, k=2, m=4.

Варианты № 6,7,8


Вероятность выпуска бракованного сверла равна 0.02. Свёрла укладывают в коробки по n штук. Какова вероятность того, что в коробке m бракованных свёрл?
6. n=100, m=2.

7. n=200, m=4.

8. n=150, m=1.

Варианты №9,10


Вероятность того, что поставляемая на сборочный конвейер деталь попадает в сборку, равна р. Какова вероятность того, что из n деталей на сборку не попало деталей от k1 до k2?

9. p=0.8, n=150, k1=15, k2=35.

10. p=0.7, n=200, k1=50, k2=60.


Задача №6 (Дискретные случайные величины)
Составить закон распределения случайной величины Х. Записать функцию распределения, построить её график. Вычислить числовые характеристики М(Х), D(Х), s(Х)).

Варианты №1,2,3,4


Х-число отказавших элементов в одном опыте с устройством, состоящим из n независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента р.

1. n=3, p=0.1.

2. n=4, p=0.15.

3. n=3, p=0.15.

4. n=4, p=0.2.

Варианты №5,6,7


В партии k% бракованных изделий. Наудачу отобрано n изделий. Х- число бракованных изделий среди отобранных. Дискретная случайная величина Х распределена по биномиальному закону:

5. k=15%, n=4.

6. k=10%, n=5.

7. k=20%, n=3.


Варианты №8,9,10


В партии из n деталей имеется m стандартных. Наудачу отобрали k деталей. Х-число стандартных деталей среди отобранных.

8. n=10, m=8, k=3.

9. n=9, m=7, k=3.

10. n=12, m=10, k=3.



Задача№7 (Непрерывные случайные величины: равномерное, нормальное и показательное распределения)

Варианты №1,2, 3


Цена деления шкалы амперметра равна a Ампер. Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка, меньшая e.

1. a=0.1, e=0.04.

2. a=0.2, e=0.05.

3. a=0.1, e=0.02.



Варианты №4,5,6,7


Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально. Проектная длина детали равна l мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее a мм и не более b мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше а мм.

4. l=50, a=32, b=68, а=40.

5. l=100 a=80, b=120, а=90.

6. l=80 a=70, b=90, а=75.

7. l=200 a=160, b=240, а=190.

Варианты №8,9,10


Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, определяемое плотностью при x≥0, при x<0. Найти вероятность того, что за время t часов элемент не откажет.

8. l=0.01, t=50.

9. l=0.02, t=100.

10. l=0.03, t=100.



Задача № 8 (Выборка, выборочные характеристики)

Из изучаемой налоговыми органами обширной группы населения случайным образом отобраны 10 человек и собраны сведения об их доходах за истекший год в тысячах рублей: х1, х2,…, х10. Найти выборочное среднее, исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и принимая в качестве его параметров выборочные характеристики, определить, какой процент населения имеет годовой доход, превышающий 70 тыс. рублей.





№ вар

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

1

50

40

60

80

40

50

60

120

70

50

2

45

65

85

45

55

65

95

75

65

55

3

80

70

60

50

70

90

50

60

70

100

4

65

55

45

65

85

55

45

65

100

80

5

50

60

70

100

80

70

60

50

70

90

6

100

40

80

90

50

60

80

70

70

50

7

100

50

80

90

100

130

55

60

100

80

8

70

40

45

90

110

60

50

40

110

90

9

80

110

90

80

70

60

60

50

65

50

10

90

40

60

40

80

65

90

70

50

60


Краткие теоретические сведения
1. Элементы комбинаторики Размещениями m из n элементов называются m - элементные подмножества множества Е={a1,a2,…,an}, различающиеся либо набором элементов, либо порядком их следования. Общее число таких различных комбинаций обозначается символом .

Перестановками называются размещения из n по n элементов. Общее число перестановок обозначают символом .

Сочетаниями из n по m элементов называются m- элементные подмножества множества Е={a1,a2,…,an}, имеющие различный состав элементов. Два сочетания считаются различными, если хотя бы один элемент входит в одну комбинацию, но не входит в другую. Общее число различных сочетаний обозначают символом .

Число размещений, перестановок и сочетаний определяются формулами:



2. Классическое определение вероятности


, где n – общее число элементарных событий (исходов, которые в данном опыте образуют конечную полную группу равновозможных попарно несовместных событий), m – число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А.

3. Геометрическое определение вероятности



. Вероятность попадания точки в какую либо часть А области пропорциональна мере (длине, площади, объему и т.д.) этой части и не зависит от ее расположения и формы.

4. Основные свойства вероятности

Вероятность любого события А - число, заключенное между 0 и 1. Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность достоверного события равна 1.

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:



Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:



Для любых двух событий A и B имеет место формула (теорема сложения для произвольных событий):



.

Для полной группы несовместных событий



Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:



- теорема умножения.

Если события А и В – независимые, то



- теорема умножения.

5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Если известно, что событие А может произойти с одним из событий (гипотез), образующих полную группу попарно несовместных событий, то вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:

Вероятности гипотез после того как имело место событие А переоценивают по формулам Байеса:






  1. Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p (вероятность «успеха»), то вероятность того, что в этих n испытаниях событие А наступит ровно k раз, выражается формулой Бернулли:

Число k0 называется наивероятнейшим числом наступления события А

в n испытаниях по схеме Бернулли, если значение при

не меньше остальных значений. Число можно найти из двойного неравенства:



.

7. Предельные теоремы в схеме Бернулли



Теорема 1 (Локальная теорема Лапласа). При больших n


Теорема 2 (Интегральная теорема Лапласа). При больших n вероятность того , что в серии испытаний событие А появится от до раз, выражается приближенной формулой:

,

- функция Лапласа.

Теорема 3 (Закон «редких» явлений Пуассона). При и малых p, если среднее число успехов , имеет место приближенная формула

.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1
Пример 1. В ящике находится 10 деталей. Из них 3 дефектные. Наудачу отобраны 3 детали. Какова вероятность того, что:

а) все детали дефектные (событие А);

б) только одна деталь дефектная (событие В);

в) все три детали годные (событие С);

г) хотя бы одна деталь дефектная (событие D).

Решение. Используем классическое определение вероятности.

а) Событие А = {выбранные три детали дефектные};



Элементарное событие в данной задаче - комбинация (сочетание) из трех деталей. - общее число способов выбрать 3 детали из имеющихся 10 деталей. (имеется всего один вариант выбора 3 дефектных деталей)



.

б) Событие В = {из трех выбранных деталей 1 деталь дефектная, две детали без дефекта};



,

где - количество вариантов, благоприятствующих появлению события В, при которых 1 дефектная деталь выбирается из группы 3 дефектных и 2 бездефектные детали выбираются из группы 7 бездефектных деталей

Следовательно, .

в) Событие С = {выбранные три детали бездефектные}



.

г) Событие D = {хотя бы одна из трех выбранных деталей бездефектная}. Рассмотрим противоположное событие .



= { среди трех выбранных деталей нет дефектных}. Так как , то .

Пример 2. Два студента (Петров и Иванов) договорились о встрече в определенном месте между 12.00 и 13.00 часами. Пришедший первым до истечения часа ждет второго в течение 20 минут, после чего уходит. Построить множество элементарных исходов по описанию эксперимента и подмножество, соответствующее событию А = {встреча состоится}. Найти вероятность этого события.

Решение. Используем геометрическое определение вероятности. Наблюдаемый результат- пара координат (х, у), где х - время прихода Петрова, а у – время прихода Иванова. Время исчисляется в минутах, начиная с 12.00 часов

. Точки (х,у) заполняют квадрат стороной 60. Встреча состоится, если (пришедший первым ждет не более 20 минут). Неравенство с модулем заменим двойным неравенством

, .

Решения неравенства - это точки нижней полуплоскости, ограниченной прямой .

Совокупность решений неравенства образует верхнюю полуплоскость с границей .

Решения системы неравенств – это точки области, полученной пересечением полуплоскостей. Т.к. , , то точки, когда состоится встреча, заполняют фигуру А (показана штриховкой). Используем геометрическое определение вероятности:



.

Площадь фигуры . Здесь - площадь не заштрихованных треугольников.





Пример 3. Электрическая цепь прибора составлена по схеме, приведенной на рисунке. Отказы элементов являются независимыми и совоку4пными событиями. Известна надежность pk k- го элемента p1=p2=0.7; p3=0.8; p4=0.9. Найти вероятность надежности схемы P(A).



Решение. Разобьем схему на блоки, состоящие из последовательных соединений. Блок I состоит из элемента 1 .

Блок II состоит из параллельного соединения элементов 2 и 3.

Блок III – из элемента 4.

Вероятность того, что схема работает, равна P(A)=PI·PII·PIII.



PI – вероятность того, что I блок исправен.

PII·- вероятность того, что II блок исправен.

PIII - вероятность того, что III блок исправен.

PI =p1

Вероятность того, что II блок исправен:

Вероятность того, что III блок исправен:

Искомая вероятность что цепь сработает:





Пример 4. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 игранных. Для игры наудачу выбираются два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекается ещё 2 мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

Решение. Рассмотрим предположения (гипотезы):

Н1={на первую игру выбирают два новых мяча}.

Н2={на первую игру выбирают один новый мяч, и один игранный}.

Н3={на первую игру выбирают два игранных мяча}.

Вероятности гипотез соответственно равны:

, , .

Проверка: - выполняется:.

Пусть, событие А = {вторая игра проводится двумя новыми мячами}. Тогда условные вероятности следующие:

, ,

Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности:




Пример 5. а) На грядке высажено 8 луковиц определенного сорта тюльпанов. Всхожесть луковиц 80%. Какова вероятность, что взойдет не менее 5, но не более 7 растений.

Решение. Событие А = {взойдет отдельный тюльпан}.

Событие В = {взойдет от 5 до 7 растений}.

Пусть событие В5={взойдет ровно 5 тюльпанов}, событие В6= {взойдет ровно 6 тюльпанов}, событие В7 ={взойдет ровно 7 тюльпанов}.

Вероятность события , состоящего в том, что событие А произойдет ровно k раз при n независимых испытаниях, рассчитывается по формуле Бернулли:



, где .

В частности,



,

,

.

В данном случае имеем . По теореме сложения для несовместных событий получаем



.

в) Посажено 100 луковиц. Вероятность всхода 80%. Какова вероятность, что взойдут не менее 75, но не более 90.



Решение. Испытания проводятся по схеме Бернулли. Если число испытаний n велико, то используют интегральную теорему Лапласа:

, где - функция Лапласа, значение которой берем из таблицы.

, .

По условию n=100, p=0,8, q=0,2, k1=75, k2=90. Следовательно,





Имеем:


(Здесь учтено, что функция Лапласа нечетная ).

Пример 6. Составить закон распределения случайной величины Х - оценки, полученной на экзамене наугад выбранным студентом. Известно, что в группе из 20 человек 2 студента получили оценку – «2», 6 студентов – «3», 10 студентов – «4» и 2 студента – «5». Построить график функции распределения. Вычислить числовые характеристики

Решение: ДСВ Х -отметка студента, которая может принять значения 2; 3; 4 или 5. Вероятность события {X=2} равна P(X=2)=p1=2/20, (число двоек - 2, а общее число студентов 20). Вероятности других возможных значений равны:

, , .

Следовательно, закон распределения ДСВ имеет вид:





2

3

4

5



0,1

0,3

0,5

0,1

Контроль: 0,1+0,3+0,5+0,1=1

Найдем числовые характеристики данной случайной величины. Математическое ожидание:



.

Дисперсия:



Среднее квадратическое отклонение:



Функция распределения имеет вид:





График функции распределения имеет вид:




Пример 7. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, определяемое плотностью при , при . Найти вероятность того, что за время t=25 часов элемент не откажет, если известно что .

Решение. - непрерывная случайная величина-время безотказной работы устройства, которое работает с момента х=0, а в момент х происходит отказ. Длительность времени безотказной работы имеет показательное распределение с функцией распределения .

- это вероятность отказа элемента за время длительностью .

Вероятность безотказной работы за время длительностью это вероятность противоположного события. Эта функция называется функцией надежности: . Вероятность безотказной работы за х=t=25 часов равна



Пример 8. Из группы населения случайным образом отобрано 10 человек и собраны их доходы за истекший год в тысячах рублей х1, х2, х3…х10. Найти выборочное среднее исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и, применяя в качестве его параметров выборочные характеристики, определить, какой процент населения имеет годовой доход, превышающий 100 тыс. рублей.

х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х8

х9

х10

80

110

130

100

70

90

150

60

90

70

Решение.

Найдем выборочную среднюю:



Вычислим выборочную дисперсию .



, n=10.

Исправленная выборочная дисперсия:



.

.

Чтобы найти процент группы населения, которая имеет доход, превышающий 100 тыс. руб. используем формулу попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный промежуток:



, где – функция Лапласа.

В данном случае принимаем следующие значения параметров:



= 100 тыс.руб.,тыс.руб.,тыс. руб., тыс. руб. (нет ограничений сверху). Имеем:

По таблице находим: , следовательно, .

Похожие:

Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов заочной формы обучения iconКонтрольная работа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
«Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов пиэф всех форм обучения экономических специальностей
Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов заочной формы обучения iconПрограмма дисциплины теория вероятностей и математическая статистика Цикл ен. Ф. Специальность
Рабочая программа дисциплины "Теория вероятностей и математическая статистика" предназначена для студентов 1 курса
Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов заочной формы обучения iconПрограмма дисциплины теория вероятностей и математическая статистика Цикл ен. Ф
Рабочая программа дисциплины "Теория вероятностей и математическая статистика" предназначена для студентов 3 курса
Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов заочной формы обучения iconРабочая учебная программа по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика По направлению подготовки 230700 «Прикладная информатика»
Конечной целью изучения дисциплины является формирование у будущих специалистов теоретических знаний и практических навыков теория...
Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов заочной формы обучения iconЛекция «Теория вероятностей и математическая статистика в строительной акустике»
Мастер-класс профессора И. И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов заочной формы обучения iconУчебно-тематические планы лекционных занятий по дисциплине «Математика» (Теория вероятностей и математическая статистика) для экономических специальностей

Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов заочной формы обучения iconМатематическая теория финансового риска
Учебная программа составлена на основе базовой учебной программы «Теория вероятностей и математическая статистика», утвержденной...
Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов заочной формы обучения icon«Экономика и управление на предприятии (городское хозяйство)» Дневная форма обучения Осенний семестр Вопросы к зачету по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика»
Вероятность как частота события. Классическая вероятностная модель. Аксиомы вероятностей
Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов заочной формы обучения iconВопросы по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика"
Предмет теории вероятностей, два признака случайного явления, постулат теории вероятностей. Примеры построения пространств элементарных...
Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов заочной формы обучения iconРабочая программа дисциплины б. 3 Теория вероятностей и математическая статистика

Разместите кнопку на своём сайте:
docs.likenul.com


База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015
обратиться к администрации
docs.likenul.com