КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. АЛЬ-ФАРАБИ
Утверждено на заседании
Научно-методического совета
КазНУ им. аль-Фараби
протокол №_________
от «_____»_____2012 г.
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В
PhD ДОКТОРАНТУРУ
по специальности «6D060100 – Математика»
АЛМАТЫ 2012
Программа составлена в соответствии с Государственным общеобразовательным стандартом 7.10.017-2009 по специальности «6D060100-Математика» Программа разработана д.ф.-м.н., профессором Б.Е. Кангужиным и д.ф.-м.н., профессором С.Т. Мухамбетжановым.
Программа рассмотрена на заседании кафедры фунтаментальной математики, дифференциальных уравнений и теории управления.
Протокол № _______от_________________2012 г.
Зав.кафедрой ФМ д.ф.-м.н., проф. ____________________ Б.Е. Кангужин
Зав.кафедрой ДУ и ТУ д.ф.-м.н., проф._______________С.Т. Мухамбетжанов
Одобрена на заседании методбюро механико-математического факультета
Протокол №______от__________________2012 г.
Председатель метод бюро___________ А.А. Елеуов
Утверждена на заседании Ученого совета
Протокол №______ от ________________ 2012г.
Председатель Ученого совета,
декан факультета д.т.н. ____________________ Д.Ж. Ахмед-заки
Ученый секретарь к.п.н. ____________________ Л.Н. Оразбекова
Содержание
-
Цели и задачи вступительного экзамена по специальности Математика.
Цель программы – сформулировать у лиц, способных и желающих приобрести высшую квалификацию в области математики, запаса знаний, достаточный для быстрой и квалифицированной переработки фундаментальных теоретических исследований и получения новых результатов в процессе практической работы над теми или иными проблемами современной математики.
Форма приема экзамена – устная.
-
Требования к уровню подготовки лиц поступающих в докторантуру PhD.
К освоению программы допускаются: Специалисты, имеющие академическую степень магистра, ученую ступень не ниже кандидата наук.
Поступающий должен быть подготовлен к обучению в докторантуре, а также к исследовательской деятельности в области математики. Поступающий должен владеть разнообразным арсеналом современных методов исследования, включая использование специализированных компьютерных программ для проведения разнообразных вычислений. Кроме того, поступающий должен владеть следующими научно-методологическими навыками и умений:
-
формулировать проблему, цель и задачи исследования;
-
выбирать адекватные задачам методы исследования;
-
вести информационно-аналитическую и информационно-библиографическую работу с привлечением современных технологий;
-
анализировать собранную информацию и объяснять полученные результаты;
-
представлять итоги проделанной работы в виде отчетов, рефератов, статей, оформленных в соответствии с современными требованиями.
3. Перереквизиты образовательной программы: Линейная алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ 1, 2, 3, 4, дифференциальная геометрия, дифференциальные уравнения, теория вероятностей, функциональный анализ.
4. Перечень экзаменационных тем
«Математический анализ»
-
Числовые последовательности и свойства сходящихся числовых последовательностей
-
Пониятие функций . Предел функций и непрерывность функций.
-
Свойства непрерывных функции на отрезке
-
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши .
-
Формула Тейлора для функции одной переменной
-
Пониятие определенного интеграла
-
Теорема о среднем для определенного интеграла
-
Фунциональные и степенные ряды.
-
Формула Грина для двух кратного интеграла.
«Теория функций комплексного переменного»
-
Геометрические изображения комплексных чисел. Теоремы о модуле и аргументе.
-
Дифференцирование функций комплексного переменного, Условия Коши-Римана, элементарные функции.
-
Ряд Лорана. Изолированные особые точки.
-
Общая теорема о вычетах.
-
Интегральная теорема Коши.
«Функциональный анализ»
-
Метрическое пространство.Непрерывные отображений отображений в метрическом пространстве.
-
Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.
-
Топологическое пространство. Примеры
-
Линейное нормированное пространство. Примеры.
-
Банаховы и гильбертовы пространства. Примеры
-
Общий вид линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса.
-
Интеграл Лебега.
-
Линейные операторы. Обратные операторы и их свойства.
-
Дуальное пространство.
-
Измеримые множества. Измеримые функции. Мера Лебега.
«Дифференциальная геометрия»
-
Элементарные линии. Общие линии. Регулярные линии. Особые точки на регулярной линий.
-
Векторные функций со скалярными аргументами.
-
Огибающее семейства кривых, зависящих от параметра.
-
Элементарная поверхность. Общая поверхность. Регулярная поверхность. Особые точки на регулярной поверхности.
-
Касательная плоскость поверхности.
«Теория вероятностей»
-
Общее вероятностное пространство. Классическое и геометрическое определение вероятностей.
-
Условная вероятность. Формула пройзведения вороятности.
-
Независимые события, независимые испытания.
-
Случайные величины. Законы распределения случайных величин.
-
Математичечкое ожидание случайных величин. Дисперсия.
-
Функция распределения случайной величины и их свойства.
-
Закон больших чисел.
-
Неравенства Маркова и Чебышева.
-
Центральные предельные теоремы для последовательностей независимых случайных величин и их следствия.
«Численные методы»
-
Методы решения СЛАУ. Метод Гаусса. Существование и устойчивость решении . Метод квадратичных корней.
-
Общая схема решения СЛАУ итерационным методом. Метод Зейделя.
Интерполяционные формулы Ньютона, Гаусса, Стирлинга-Бесселя, Лагранжа. Оценки погрешности интерполяционных формул.
-
Оценка интеграла методом Монте-Карло. Общая схема метода Монте-Карло.
-
Разностные уравнения и их решения. Разностные сетки и сеточные функции.
-
Существование решения краевых задач трехточечных разностных уравнении. Метод прогонки.
«Линейная алгебра»
-
Матрицы. Основные операции над матрицами и их свойства. Опредители и их свойства. Определитель суммы и произведения матриц. Понятие обратной матрицы.
-
Понятие линейного пространства и его базиса. Размерность подпространства.
-
Вешественное и комплексное Евклидово пространство, Неравенство Коши-Буняковского.
-
Понятие линейного оператора и их свойства. Собственые значения и собственые векторы линейных операторов. Сопряженные операторы и их свойства.
-
Унитарные и нормальные операторы.
«Алгебраические структуры»
-
Группа . Нормальные подгруппы и их свойства.
-
Понятие кольца.
-
Поля.
«Аналитическая геометрия»
-
Понятие вектора и линейных операции над векторами. Линейные независимостьи, линейная зависимость системы векторов, базис, система аффинных координат, координата точки.
-
Уравнения линии на плоскости, расстояние от точки до прямой, взаиморасположение прямых на плоскости.
-
Уравнение линии в пространстве и их взаимные расположения в пространстве.
-
Поверхности второго порядка в пространстве, их общее уравнение и простое уравнение, классификация поверхностей второго порядка в пространстве.
-
Теорема о полярном разложении линейных операторов.
-
Теорема о спектральном разложении самосопряженных операторов.
-
Приведение матрицы к Жордановой форме.
«Дифференциальные уравнения»
-
Фундаментальные решений однородных дифференцальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами.
-
Неоднородное дифференцальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами.
-
Системы однородных линейных уравнений, свойства решении.
-
Формула Остроградского-Лиувилля.
-
Неоднородые линейные системы. Метод вариации постоянных (Метод Лагранжа) .
«Уравнения математической физики »
-
Классификация уравнений в частных производных с двумя переменными II порядка и их канонические формы.
-
Задачи для гиперболических уравнений. Уравнение колебаний струны.
-
Постановка задачи для параболических уравнений.
-
Принцип максимума для параболических уравнений на ограниченной области.
-
Неоднородное уравнение теплопроводности, решение методом Фурье.
-
Общие свойства гармонических функций. Формулы Грина.
-
Потенциалы и их свойства. Поверхностные потенциалы.
5. Список рекомендуемой литературы
Основные литературы:
-
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть I. М. : «Наука» 1982. 616 С.
-
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть II. М.: «Наука» 1980. 447 С.
-
Б.В. Шабат. Введение в комплексный анализ. Часть I. М.: Издательство «Наука» 1982. 616 С.
-
А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функциольного анализа. М.: Издательство «Наука» 1976. 542 С.
-
А.В. Погорелов. Дифференциальная геометрия. М.: Издательство «Наука» 1974. 176 С.
-
Н. Ақанбай. Ықтималдықтар теориясы. (I – бөлім) Алматы: “Қазақ университеті”, 2001. 296 бет.
-
Н.Ш. Кремер. Теория вероятностей и математическая стахатистика. М.: “ЮНИТИ”, 2000. 544 с.,
-
Б.Е. Кангужин. Теория функций комплексного переменного. Лекции. Практические занятия. Тесты: Учебное пособие. Алматы: Қазақ университеті, 2007. 186 C.
-
С.А. Бадаев. Сызықтық алгебра мен аналитикалық геометрия. Алматы: “Қазақ университеті”, 2010. 258 бет.
-
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра. М.: «Наука» 1984. 294 С.
-
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия. М.: «Наука» 1971. 232 С.
-
А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. (Основные структуры). М.: Физматлит, 2001. 271 С.
-
Жүсіп Сүлеймен. Дифференциялдық теңдеулер курсы. Оқулық. Алматы: “Қазақ университеті”, 2009.- 440 б.
-
Н.М.Матвеев. Методы интегрироваия обыкновенных дифференциальные уравнений» 4-е изд .Минск: «Высшая школа». 1974. 768 С.
-
Ж.Ә. Тоқыбетов, Е.М. Хайруллин. Математикалық Физика теңдеулері. ҚазҰТУ, Алматы: 1995. 297 бет .
-
А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Издательство «Наука» 2004. 798 С.
-
Ө. Сұлтанғазин, С. Атанбаев. Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы. 1-кітап (Қателіктер теориясы. Алгебралық теңдеулерді шешу әдістері және жуықтаулар) Алматы: «Білім». 1995. 272 бет.
-
Ө. Сұлтанғазин, С. Атанбаев. Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы. 2-кітап (Дифференциялдық және интегралдық теңдеулерің сандық шешу әдістері) Алматы: «Білім». 2001. 287 бет.
-
Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele, Anne Schilling. Linear Algebra As an Introduction to Abstract Mathematics. Copyright c 2007 by the authors. pp. 246
-
С.А. Бадаев. Сызықтық алгебра мен аналитикалық геометрия. 1-бөлім.
-
С.А. Бадаев. Сызықтық алгебра мен аналитикалық геометрия. 2-бөлім.
-
С.А. Бадаев. Сызықтық алгебра мен аналитикалық геометрия. 3-бөлім. Сызықтық операторлар және шаршылық тұлғалар.
-
А.Ы. Омаров, П.Т. Досанбай, С.С. Заурбеков. Математикалық логика және алгоритмдер теориясының негіздері.
-
Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы. Алматы. Мектеп, Т.1,2. 1963-1970.
-
Жәутіков О.А. Математикалық анализ курсы. Алматы. Мектеп, 1958.
-
Ахметқалиев Е. Математикалық талдау. Алматы, РБҚ, 1997.
-
Бұлабаев Т., Матақаева Г. Математикалық талдау негіздері. Алматы, Қайнар, 1996.
-
Токибетов Ж.А., Хайруллин Е.М. Математикалык физика тендеулерi. Алматы, 1995.
-
Сахаев Ш.С. ,,Математикалық физика теңдеулері” Оқу құралы, ,,Қазақ университеті” 2007 ж. Көлемі-270 бет.
-
Орынбасаров М.О., Оршубеков Н.А. «Математикалық физика теңдеулері» Алматы, «ҚУ» 2009.-320 с.
-
Орынбасаров М.О., Сахаев Ш. «МФТ есептері мен жаттығулар жинағы». Алматы, «ҚУ» 2009.-230 б.
-
Сүлейменов Ж. Дифференциалдық теңдеулер курсы, Оқулық. Алматы, Қазақ университеті, 2009.- 440 б.
-
Қадыкенов Б.М. Дифференциалдық теңдеулердiң есептерi мен жаттығулары. Алматы, 2002.
-
Наурызбаев Қ.Ж., Нақты анализ, Алматы, “Қазақ университеті”,2004.
-
Темиргалиев Н.Т., Математикалық анализ, т. I-III, 1987,1991 ж.ж.
-
Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа,-М.:Наука,1989
-
Люстерник Л.А.,Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.- М.:”Высшая школа”,1982
-
Треногин В.А. Функциональный анализ.- М.:Наука,1967
-
Н. Ақанбай. Ықтималдықтар теориясы (I – бөлім) – Алматы.: “Қазақ университеті”, 2001. 296 бет.
-
Н. Аканбай Ықтималдықтар теориясының есептері мен жаттығуларының жинағы – Алматы,: “ Қазақ университеті”, 2004. 377 бет.
-
Н.Ақанбай. Ықтималдықтар теориясы (3-бөім). Алматы.: «Қазақ уни верситеті», 2007, 297 бет.
-
Н.Ақанбай. Ықтималдықтар теориясының есептері мен жаттығуларының жинағы (3-бөлім). Алматы.: «Қазақ университеті», 2007, 256 бет.
-
Н.Ақанбай. Ықтималдықтар теориясы (2-бөім). Алматы.: «Қазақ университеті», 2006, 368 бет.
-
Н.Ақанбай. Ықтималдықтар теориясының есептері мен жаттығуларының жинағы (2-бөлім). Алматы.: «Қазақ университеті», 2007, 332 бет
Дополнительные литературы:
-
Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по фнкционалному анализу.- М.:Наука,1984
-
Иосида К., Функциональный анализ.- М.: “Мир”, 1967.
-
Канторович Л.В., Акилов Г.П Функциональный анализ.- М.: Наука,1984
-
Садовничий В.А. Теория операторов.-М.”Высшая школа”,2000.
-
Натансон И.П., Теория функций вещественной переменной, М.: Гостехиздат, 1957.
-
Севастьянов Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: «Наука», 1982. 256 с.,
-
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей и математическая статистика. М.: «ЮНИНТИ», 1988. 448 с.,
-
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: “ЮНИТИ”, 2000. 544 с.,
-
Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. М.: “Высшая школа”, 1985. 112 с.
-
В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский Теория вероятностей и математическая статистика – М.: “Высшая школа”, 1991. 400 с.
-
Н. Аканбай, З.И. Сүлейменова, С.Қ. Тәпеева Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистикадан тест сұрақтары, Алматы, “Қазақ университеті”, 2005 ж., 254 бет.
-
Краснов, М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: УРСС, 2002.- 253 с.
-
Федорюк, М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения :Изд. 3-е, стер.- СПб.: Лань, 2003.- 447 стр.
-
Филиппов, А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям : Изд. 2-е.- М.: Изд-во ЛКИ, 2008.- 235, [5] с.
|