Программа дисциплины «Математические методы исследования нелинейных систем естествознания»

Факультет прикладной математики и кибернетики МИЭМ

для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистров

Автор программы:

Данилов В.Г., д. ф.-м.н., профессор, vgdanilov@hse.ru

Одобрена на заседании кафедры прикладной математики « 31 » января 2013 г.

Председатель

Ученый секретарь ________________________

Москва, 2013

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

Область применения и нормативные ссылки

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 010400.68 «Прикладная математика и информатики», обучающихся по магистерской программе «Математические методы естествознания и компьютерные технологии», изучающих дисциплину «Математические методы исследования нелинейных систем естествознания».

Программа разработана в соответствии с:

Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория «Национальный исследовательский университет»;

Образовательной программой «Математические методы естествознания и компьютерные технологии» для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра;

Рабочим учебным планом университета по направлению 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра по программе «Математические методы естествознания и компьютерные технологии», утвержденным в 2013г.

Тематический план учебной дисциплины

1. 
   Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. // М., Наука, 1988, 686 стр.
   
2. 
   DafermosC.M.Hyperbolic conservation laws in continuum physics. //Springer, 2000.
   
3. 
   Dal Maso Gianni,Lefloch Philippe G.,Murat François. Definition and weak stability of nonconservative products. //J. Math. Pures Appl. (9)74 (1995), no. 6, 483–548.
   
4. 
   LeFloch Philippe G. Hyperbolic systems of conservation laws. The theory of classical and nonclassical shock waves. // Lectures in Mathematics ETH Zürichl,BirkhäuserVerlag,Basel,2002, 294 pp.
   
5. 
   KolokoltsovVassili N.,Maslov Victor P. Idempotent analysis and its applications. // Translation of Idempotent analysis and its application in optimal control (Russian), "Nauka'' Moscow, 1994 [MR1375021 (97d:49031)]. Translated by V. E. Nazaikinskii. With an appendix by Pierre Del Moral. Mathematics and its Applications, 401.Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1997.
   
6. 
   Danilov V.G., Omel’yanov G.A., Shelkovich V.M.Weak asymptotics method and interaction of nonlinear waves.//Asymptotic methods for wave and quantum problems,Amer. Math. Soc., Transl. Ser. 2, 208, 33–163, Providence, RI, 2003.
   
7. 
   Danilov V.G.,Mitrovic D. Shock wave formation process for a multidimensional scalar conservation law.//Quart. Appl. Math.69(2011), no. 4, 613–634.
   
8. 
   Danilov V.G.,Shelkovich V.M. Delta-shock wave type solution of hyperbolic systems of conservation laws. //Quart. Appl. Math.63(2005), no. 3, 401–427.
   
9. 
   Danilov V. G. Generalized solutions describing singularity interaction. // Int. J. Math. Math. Sci.29 (2002), no. 8, 481–494.
   
10. 
    Danilov V. G. On singularities of continuity equation solutions.//Nonlinear Anal.68(2008), no. 6, 1640–1651.
    
11. 
    Теория солитонов. Метод обратной задачи.// М., Мир, 1980.
    
12. 
    Дж. Лэм Введение в теорию солитонов.// М., Мир, 1983.
    
13. 
    АбловицМ., СигурX.Солитоны и метод обратной задачи.// М., Мир, 1987.
    
14. 
    Maslov V.P.,Omelʹyanov G.A.Geometric asymptotics for nonlinear PDE. I. // Translated from the Russian original by DmitriiChibisov. Translations of Mathematical Monographs, 202.American Mathematical Society, Providence, RI, 2001, 285 pp.
    
15. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. // пер. с англ., [3 изд.], т. 1-2, М., 1984
16. Freidlin M. I.,Wentzell A. D. Random perturbations of dynamical systems. // Translated from the 1979 Russian original by Joseph Szücs. Second edition. Grundlehren der MathematischenWissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 260.Springer-Verlag, New York, 1998. 430 pp.
17. Albeverio S., Danilov V.G.Global in time solutions to Kolmogorov-Feller pseudodifferential equations with small parameter. // Russ. J. Math. Phys.18 (2011), no. 1, 10–25.
18. Albeverio Sergio, Danilov Vladimir. Construction of global-in-time solutions to Kolmogorov-Feller pseudodifferential equations with a small parameter using characteristics.//Math. Nachr.285(2012), no. 4, 426–439.

Формы контроля знаний студентов

Порядок формирования оценок по дисциплине

• 
  0 ≤К ≤ 3 - неудовлетворительно,
  
• 
  4 ≤ К ≤ 5 - удовлетворительно,
  
• 
  6 ≤К ≤7 - хорошо,
  
• 
  8 ≤ К≤10 -отлично.
  

Программа курса

Тема 1. Обобщенные решения нелинейных уравнений первого порядка в дивергентной форме («скалярные законы сохранения»). Метод характеристик. Условие устойчивости Лакса-Олейник. Метод малой вязкости. Энтропийное условие Кружкова. (2 лекции, 2 семинара)

Литература по разделу:

• 
  Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. // М., Наука, 1988, 686 стр.
  
• 
  Dafermos C.M .Hyperbolic conservation laws in continuum physics. // Springer, 2000.
  
• 
  Dal Maso Gianni, Lefloch Philippe G., Murat François. Definition and weak stability of nonconservative products. // J. Math. Pures Appl. (9)74 (1995), no. 6, 483–548.
  
• 
  LeFloch Philippe G. Hyperbolic systems of conservation laws. The theory of classical and nonclassical shock waves. // Lectures in Mathematics ETH Zürichl, BirkhäuserVerlag,Basel,2002, 294 pp.
  
• 
  Kolokoltsov Vassili N., Maslov Victor P. Idempotent analysis and its applications. // Translation of Idempotent analysis and its application in optimal control (Russian), "Nauka'' Moscow, 1994 [MR1375021 (97d:49031)]. Translated by V. E. Nazaikinskii. With an appendix by Pierre Del Moral. Mathematics and its Applications, 401.Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1997.
  

Тема 1. Введение в метод слабых асимптотик. Асимптотические алгебры обобщенных функций с общим сингулярным носителем. Общие асимптотические алгебры обобщенных функций. Связь с теорией Коломбо. (2 лекции. 2 семинара)

• 
  DalMasoGianni, Lefloch PhilippeG., MuratFrançois.Definition and weak stability of nonconservative products. // J. Math. Pures Appl. (9)74 (1995), no. 6, 483–548
  
• 
  Danilov V.G., Omel’yanov G.A., Shelkovich V.M.Weak asymptotics method and interaction of nonlinear waves.//Asymptotic methods for wave and quantum problems, Amer. Math. Soc., Transl. Ser. 2, 208, 33–163, Providence, RI, 2003.
  
• 
  Danilov V.G., Mitrovic D. Shock wave formation process for a multidimensional scalar conservation law.// Quart. Appl. Math.69(2011), no. 4, 613–634.
  
• 
  Danilov V.G., Shelkovich V.M. Delta-shock wave type solution of hyperbolic systems of conservation laws. //Quart. Appl. Math.63(2005), no. 3, 401–427.
  
• 
  Danilov V. G. Generalized solutions describing singularity interaction. // Int. J. Math. Math. Sci.29 (2002), no. 8, 481–494.
  

• 
  Danilov V. G. On singularities of continuity equation solutions.//Nonlinear Anal.68(2008), no. 6, 1640–1651.
  

Тема 1. Уравнения с малой дисперсией. Метод обратной задачи рассеяния для уравнения КдВ. (1 лекция, 1 семинар)

Тема 2. Метод Маслова построения асимптотических солитонных решений для уравнений типа КдВ с переменными коэффициентами и малой дисперсией. (2 лекции, 2 семинара)

Тема 3. Описание взаимодействия солитонов в интегрируемых и неинтегрируемых уравнениях типа КдВ с малой дисперсией в рамках метода слабых асимптотик. (2 лекции, 2 семинара)

Литература по разделу:

• 
  Теория солитонов. Метод обратной задачи. // М., Мир, 1980.
  
• 
  Дж. Лэм Введение в теорию солитонов. // М., Мир, 1983.
  
• 
  АбловицМ., СигурX.Солитоны и метод обратной задачи. // М., Мир, 1987.
  
• 
  Danilov V.G., Omel’yanov G.A., Shelkovich V.M.Weak asymptotics method and interaction of nonlinear waves.//Asymptotic methods for wave and quantum problems,Amer. Math. Soc., Transl. Ser. 2, 208, 33–163, Providence, RI, 2003.
  
• 
  Maslov V.P., Omelʹyanov G.A.Geometric asymptotics for nonlinear PDE. I. // Translated from the Russian original by DmitriiChibisov. Translations of Mathematical Monographs, 202.American Mathematical Society, Providence, RI, 2001, 285 pp.
  

Тема 1. Параболические псевдодифференциальные уравнения с малым параметром (уравнения типа Колмогорова-Феллера). Неосциллирующие аналоги ВКБ-решений в малом по времени. Асимптотика фундаментального решения при малых временах. Общая схема туннельного канонического оператора Маслова. (2 лекции, 2 семинара)

• Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. // пер. с англ., [3 изд.], т. 1-2, М., 1984
• Freidlin M. I., Wentzell A. D. Random perturbations of dynamical systems. // Translated from the 1979 Russian original by Joseph Szücs. Second edition. Grundlehren der MathematischenWissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 260.Springer-Verlag, New York, 1998. 430 pp.
• Albeverio S., Danilov V.G.Global in time solutions to Kolmogorov-Feller pseudodifferential equations with small parameter. // Russ. J. Math. Phys.18 (2011), no. 1, 10–25.
• Albeverio Sergio, Danilov Vladimir. Construction of global-in-time solutions to Kolmogorov-Feller pseudodifferential equations with a small parameter using characteristics.//Math. Nachr.285(2012), no. 4, 426–439.

1. 
   Решение одномерных и двумерных задач Коши для скалярных законов сохранения.
   

• 
  Вывод условий на скачке из интегрального тождества.
  
• 
  Метод малой вязкости, преобразование Хопфа-Коула.
  
• 
  Взаимодействие ударных волн для уравнения Хопфа.
  
• 
  Обобщенные функции и их гладкие аппроксимации. Моментное разложение.
  
• 
  Малость в слабом смысле и идеал в алгебре Коломбо.
  
• 
  Слабая асимптотика взаимодействия ударных волн.
  
• 
  Рождение ударной волны как взаимодействие слабых особенностей.
  
• 
  Уравнение неразрывности в разрывном поле скоростей. Сравнение различных типов рождения дельта-ударных волн.
  
• 
  Слабая асимптотика солитонного решения уравнения типа КдФ.
  
• 
  Построение двухсолитонного решения уравнения КдФ методом обратной задачи рассеяния.
  
• 
  Слабая асимптотика двухсолитонного решения уравнения КдФ.
  
• 
  Неосциллирующие ВКБ решения прямой задачи Коши для уравнения теплопроводности в малом по времени.
  
• 
  НеосциллирующиеВКБ решения обратной задачи Коши в малом по времени.
  

• 
  Раздел 1, тема 1. Проверить, удовлетворят ли решение в виде неустойчивой ударной волны энтропийному условию Кружкова.
  
• 
  Раздел 1, тема 2. Исследование решения уравнения Бюргерса, описывающего взаимодействие сглаженных ударных волн.
  
• 
  Раздел 1, тема 3. Построение лагранжева многообразия, отвечающего решению уравнения Гамильтона-Якоби — Беллмана.
  
• 
  Раздел 2, тема 1. Слабая асимптотика произведений обобщенных функций, порождающих конечномерные в слабом смысле подалгебры.
  
• 
  Раздел 2, тема 2. Слабая асимптотика взаимодействия ударных волн для скалярного закона сохранения с выпуклой нелинейностью.
  
• 
  Раздел 2, тема 3. Построение решения типа дельта-ударной волны в случае цилиндрической симметрии.
  
• 
  Раздел 3, тема 1. Построение асимптотического решения солионного типа для уравнения типа КдФ с произвольной выпуклой нелинейностью.
  
• 
  Раздел 3, тема 2. Построение слабой асимптотики солитонного решения для уравнеия типа КдФ.
  
• 
  Раздел 3, тема 3. Построение трехсолитонного решения для уравнения КдФ.
  
• 
  Раздел 4, тема 1. Построение асимптотики фундаментального решения одномерного уравнения Колмогорова-Феллера с постоянными коэффициентами.
  
• 
  Раздел 4, тема 2. Построение решения типа ВКБ задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности на конечном интервале времени без использования интегральных преобразований.